“我不理解你怎么能在数学中进行研究？我认为这里面的每一件事情都是已知的。”我时常听到这种问题，它不仅出自那些并不搞数学的人们，也出自那些在大学读了五学期数学后的工科学生。我们似乎已相当有效地使其他人对我们正在做的事情和我们取得了多少进步感到神秘。为了对每个有足够兴趣提出这种问题的人进行解释，我考虑了下面的图式：

思辨的层次

在标有0，1，2，3，……层次上的陈述大概全是真的，但是证明它们的困难显然是逐步增长的。陈述0实际上并不需要一个证明。然而它需要一个我们关于“数”的定义的清楚的概念。这个思辨层次可以看作是数学的开端。层次1上的陈述需要一个欧几里得已得到的真正的证明。在说明只有通过数学证明才能接受的事实方面，它是一个很吸引人的例子。对层次2上的陈述的证明是一个数论中著名的尚未解决的研究课题。从1到紧靠近2的地方，这段间距描绘出至今已取得的进步（当然，这里未涉及在数论已扩展的其它很多方向上的进步，它们都是通过付出成百万人的工作量的努力和每年上千部研究论著所推进的）。或许在1.5层我们已接触到著名的素数定理。用放大镜人们能看到在1.8，1.9甚至1.95层上朝着孪生素数猜想的更近一些时候的进步。

上述图景在整个数学领域是有代表性，还是仅仅表示数论（一个分支）的一些不很重要的特性呢？高斯似乎认为数学是精确科学的模型而数论应被看作是数学的模型。如果他是对的，事情会怎样？——我的确考虑到也许有异议。实际上，每个人都有机会在他自己的研究领域中变“层次2”为无限并且拒绝可能超出这种想法的很多有益的材料。——考虑到数学的这种能力和限度，人们可以严肃地提出这个问题：数学家自己真的了解事件的确实的、至少是相似的叙述吗？（白蚁知道如何从外边看它们的建筑吗？）

上述问题在某种意义上涉及数学与现实世界之间的关系。解决一个科学问题的传统处方是从数学角度构造问题——只要是可能的——然后解这个数学问题。显然，当适合的工具最终被发展起来时，以这种自然的方式提出的所有数学问题都是能被解决的。不过，这种幻想的乐观主义现在还能说是有道理的吗？倘若并非如此，事情就变得复杂得多。把一个困难的科学问题归结为一个不可解的数学问题，实际上是没好处的，在许多情况下使用实验方法和数学方法的混合物，对于那些对这两种方法都充分了解的研究人员来说更巧合适一些，它可以免除只知其中一种方法的那些_观者的忧虑。人们屡次看到一种很成问题的原则的应用，即通过改变定义或者附加简单性假定随意改变已给定的问题，直到相应的数学问题经过适当的努力能被解决。然后就不顾已经发生的变化，宣称最初的问题已得到了解决。相反也会发生这种事情，给定的问题借助极简单的数学方法就能解决。在这种情况下必须当心，不要为使工作看来更为体面，就采用需要较高等的数学的更为复杂的数学陈述。

人们被引诱根据能否使工作主要用于澄清或混淆问题来区分有适当的和不适当的数学应用。

我们在改善这种情况方面能做些什么呢？我建议以信任数学的客观性作为根据。一种数学证明是否正确，能够用客观的方法加以判定，它（在大多数情况下）不依赖于任何个人的随意判断。毋庸置疑的是，真理超出任何个人或利益集团的武断。这条原则值得尽可能扩展到人类活动的其他领域，我们应认真予以注意。然而不幸的是，如果我们考虑给定的数学规则（假定一切有关的数学证明都是正确的）是否重要和有益这个问题，我们会感到事情看来或多或少得到满足。这样的答案就完全依赖于有影响的专家们的判断而没有任何客观的标准了。此时一个数学规则当它而且仅仅当它取悦于某些个人时才是重要的。显然，它不仅随时间变化，而且也依赖于所有各种其他参加者。这种不受限制的专家评议的毛病有使我们倒退到中世纪的危险，并取消数学作为精确科学模型的资格。这里我们应该做些事情，但是作什么呢？

如果我们有过一个经细心选择和清晰阐述的未解决问题的可靠核心，它的重要性能以这种方式证明，即它在后来不会为重新估计所改变，特别是即使不正常的人在不正常的时间和不正常的环境下用不正常的方法（这里“不正常”意味着不为一时有影响的个人所喜爱）解决这个问题，它仍然是一个重要的问题，那是相当有好处的。这样的问题能用于对不同方法的价值和局限性作客观的检验，因而有助于澄清有争议的原则性问题。我一直认为、有了某些强烈愿望，至少这一点在很大程度上是能够达到的。

[书名原文：B.Booss and M.Niss，Mathematics and the Real World.Switzerland，1979年。]

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* 沃尔夫冈·黑肯（Wolfgang Haken）美国数学家，1976年同阿佩尔（Appel）—起用电子计算机证明了数学上著名的“四色定理”。