直线是一维的，平面是二维的，立体是三维的，那么什么东西是四维的？
有时人们说时间是第四维。在爱因斯坦的相对论物理学中，使用的四维几何是由三维空间和一维时间组成的一个四维连续统。但我们不想谈论相对论和时空。我们只想知道在几何维数表上一步一步走下去是否有意义。
例如，在二维中，我们有熟悉的图形圆和正方形，它们的三维类似物是球和立方体。我们能谈论四维超球和超立方体，并使其有意义吗？
我们可以从一个点出发，用三步得到一个立方体，第一步，我们取相距1英寸的两个点并连接它们。我们得到两点间的一条线段，一维图形。下一步，取这样两条相距1英寸且彼此平行的线段，联结各对端点，我们得到1平方英寸的正方形，二维图形。再下一步，取这样两个相距1英寸且彼此平行的正方形，使第一个正方形位于第二个的正上方。联结对应顶点，我们得到1立方英寸的立方体。
因此，要获得边长1英寸的超立方体，必须取两个1立方英寸且彼此平行的立方体，使其相距1英寸，联结对应顶点。以这种方式，我们应获得边长1英寸的超立方体，一个四维图形。
麻烦的是我们每次必须转向一个新的方向，新的方向必须垂直于原来所有的方向。在我们已经前后、左右、上下移动之后，已使尽了我们可以理解的所有方向。我们是三维生物，不能从三维空间遁到四维里去。事实上，四个物理维度可能仅仅是幻觉，是用于科学假设的方法。关于它的唯一证据是我们能理解它。我们的想法中不存在任何不合逻辑和不相容之处。
我们能指出四维超立方体应有的很多性质，如果它存在的话，我们能算出它应有的顶点数、边数和面数。因为它通过联结两个立方体构成，每个立方体有8个顶点，那么超立方体必定有16个顶点，它应有两个立方体的所有的边，还应有联结每对顶点的新的过，这样就给出12+12+8=32条边。只要简单算一下，人们就可看到它应有24个正方形面和8个立方体的超面。
下面这个表显示线段、正方形、立方体和超立方体的“部件”数，令人吃惊的是部件之和总是3的幂。
在高中师生的解题教学中，关于超立方体的逐步发现要用上一两个星期。我们能找出关于超立方体的这么多明确信息这一事实，似乎意味着它在某种意义上必然存在。
显然，超立方体在物理存在的意义上只是一种虚构。当我们问起超立方体有多少顶点时，我们是在问如果有这种东西存在，它该有多少顶点。这就像那个古老笑话的妙语——“如果你曾有过一个兄弟，他会喜欢鲱鱼吗？”不同之处在于，关于不存在的兄弟的问题是一个愚蠢的问题，而关于不存在的超立方体顶点的问题并不蠢，因为它有确定答案。
事实上，通过使用代数方法，通过对应来规定超立方体，我们（至少在原则上）能回答有关超立方体的任何问题。至少，我们可以把它归结为代数，恰如普通的解析几何把二维和三维图形的问题归结为代数一样。然后，由于四个变量的代数基本上不比两个或三个变量的困难，我们可以像对待正方形和立方体那样很容易回答有关超立方体的问题。这样，超立方体就成为我们所说的数学存在的一个很好例子。它是虚构的或想象的对象，但它无疑有很多端点、边、面和超面（或者说应该有，如果人们提供一个谈论它的有条件的模型的话）。
通常的三维或二维几何也是数学的对象，就是说，它们是想象的和虚构的，然而它们接近于物质实体，不像超立方体那样无法构造。
数学的立方体是理想的对象，但我们可以观察一个木方块，并用它来确定立方体的性质。立方体的边数是12，因而方糖的边数是12。我们通过画图或建造模型并加以考察，能获得二维和三维几何的许多信息。尽管误用图形或模型有可能出差错，实际做起来更为困难。它把创造性用来造成一种人们在其中可能出毛病的处境。但在一般情况下，使用图形和模型是有益的，在理解二维或三维几何方面甚至是必不可少的。
基于模型或图形的推理，无论是真实的还是对它们的心智想象，都应称为与形式的或严格的推理相反的直觉推理。当进入四维几何时，似乎由于我们本身是三维生物，我们生来就被排除在四维对象的直觉推理的可能性之外，然而，并非如此，四维图形的直觉把握并非不可能。
在布朗大学，数学家T. 班乔夫（Thomas Banchoff）和计算么科学家C. 斯特劳斯（Charles Strauss）已制造出在我们的三维空间内外运动的超立方体的计算机生成活动图像。为理解他们所做的事，想象一个扁平的二维生物生活在池塘表面，它只能看到这个平面（不上也不下）的其它对象。这些扁平的家伙将局限在两个物理维度上，如同我们局限于三维一样。他只有通过扁平世界的二维横截面，才可能产生对三维对象的意识。如果一个立方体从空中掉到水里，他看到的是当立方体进入平面，穿过它，最后离开它的时候，立方体在平面上的截面。
如果这个立方体从很多方向和角度重复穿过平面，他显然会有关于立方体的足够信息去“理解”它，即使他不能逃离他的二维世界。
斯特劳斯——班乔夫的电影显示了如果超立方体从不同角度穿过我们的三维空间时看到的情景。我们将看！到各种复杂程度不等的顶点和边的构形，它描述了我们通过数学公式才认识到的事物。这完全是观察图像的另一种方式，在运动中的观察当然更好一些。当我看到班乔夫和斯特劳斯演示的电影时，我对他们的成就和看电影时纯粹的视觉愉快有深刻印象。但我有一点失望，我并没有获得超立方体的任何直观感觉。
几天以后，在布朗大学计算机中心，斯特劳斯为我表演了能产生这种电影的相互作用图像系统。使用者坐在电视屏幕前的控制台，有三个按钮使他能在四维空间的任何一组轴向上转动一个四维图形。当他这样做时，他在屏幕上看到的三维图形将是四维图形旋转穿越我们的三维空间时遇到的情景。
另一个手动控制器使人们利用这个三维切片，让它在三维空间中随意转动。还有一个按钮可以使人们放大或缩小这个影像。这个效果使观察者感到似乎从图像中飞出来，或者飞向并实际上进入屏幕中的图像。（正是以这种方式，通过计算机制图，可以造成星际战争中穿越战星飞行的某些效果。）
在计算机中心，斯特劳斯告诉我如何用所有这些控制器获得各种角度的超立方体的三维投影。我一边看，一边力图掌握看到的东西。接着他站起来，把控制台的椅子让给我。
我尝试转动超立方体，把它移开，把它拉近，用其它方式转动它。突然我能感觉它了。超立方体一跃成为明显可见的实体。当我练习操纵它时，在我的指尖上感受到改变我所看到的东西并再变回去的力量。计算机控制台上的积极控制创造了动觉和视觉思维的统一体，使超立方体进入了直觉理解的水平。
在这个例子中，我们可以只从抽象的或代数的理解出发。这样可用于设计一个能模拟超立方体的计算机系统，它运用处理、移动和观察真实立方体的各种经验，给予我们的是三维直觉。因而四维直觉只是对那些想要或需要它的人来说，才是合用的。
这种可能性的存在揭示了研究数学直觉的一个新的方面。我们研究四维直觉，并不是像研究初等几何直觉的发生（从皮亚杰学派的观点考虑）那样，去分析儿童的、人种学的或历史的材料，而是要研究受过数学训练的或自然状态的成年人，努力通过客观的心理实验记录四维直觉的发展，大概要通过视觉的（被动观察）和动觉的（主动操作）实验弄清其作用。通过这样的研究，我们对四维直觉的理解将会深入。把直觉当作解释各种事物神秘性或成问题方面的大口袋，是没什么道理的。
现在回到认识论问题上来。人们会怀疑在四维和三维之间原则上是否真有差别、我们能够发展四雉想象事物的直觉。一旦这样做了，它似乎不会比像平面曲线或空间曲面那样“真实”的事物有更多的想象成分。这些完全理想化的对象是我们从视觉（直觉）上和逻辑上都能加以掌握的。
（The Mathematical Experience Birkhauser，1981，pp400—405）