我们认为时间无情地移动着，其历程从不重复。但物理学的基本定律却不能区别过去与未来。如何解释这一奇特的佯谬呢？

变化是时间的量度。我们对时间的认识取决于我们对周围世界变化的感觉。脉冲的规则跳动、太阳与恒星的运动以及季节的周期性变动，全都使人联想到时间是以永不停息的重复模式有规律地流动着。然而，正如诗人约翰 · 多恩所说，我们也可以认为时间像“无情的手”，它导向衰败、破坏、死亡和毁灭。事物迟早要变化，其变化方式的这种不可思议的二重性 · 乃是我们居住的宇宙的基本特征。

这种二重性也在更基本的层次上表明了一个独特的佯谬。我们认为宇宙由物质构成，物质由大量的粒子、核子、原子或分子组成，视周围环境而定。支配着个别质点运动的经典牛顿物理定律，以及在很多情况下量子力学的定律，把过去与未来看作是对称的。换言之，如果我们把气体分子遇到器壁的反跳运动逆转——好比我们把反跳运动的影片倒过来放映——正向与反向两种情况分子的运动轨迹看起来是一样的。

然而，质点集合的行为似乎是不可逆的。充气气球里的气体，如果被释放，就会向无限空间扩散，也就永远不会自动地回到气球里。更复杂的系统，例如我们自己，最终会死亡与腐朽。物理学定律，把时间看作是对称的，它如何能解释质点集合的行为时间如此明显的不可逆呢？这个问题曾引起某些最伟大的物理学家，例如玻尔兹曼和麦克斯韦的注意。我想通过简单的例子和类比说明何以能使这两种矛盾的时间观协调一致。

我们对时间的认识开始于牛顿的有时钟机制的宇宙。在17世纪，牛顿对于力对物体或质点的作用做了数学描述。他引用了一套力与运动物体质量关系的方程式，物体的速度与加速度用距离和时间表示。他的运动定律解释了行星绕太阳的运动。他们还对台球桌上球的碰撞行为做了预测。如果把球的运动反转过来，把正参量时间t和速度v换成负参量-t和-v，运动方程式保持不变，我们说，该方程是“时间逆转不变式”。

维多利亚时代的物理学家和工程师们在开始研究大量质点的运动与热能的关系以及热机做功问题时不得不重新考虑时间的本质。这就是热力学的诞生。当气体在气缸内膨胀，把气体质点的随机运动（热）转换成单向的活塞运动，工程师们意识到，转换永远不可能有百分之百的效能。系统所有的紊乱或熵，必然增加。如果一个系统，例如氦气气缸，与宇宙的其余部分绝缘，只留下它自己，它的熵将连续增加，一直达到一最大值。此最大值决定于系统的整体性质，例如压力、体积和温度。熵不能减少；过程是不可逆的。熵的概念自然而然地赋予系统以“时间箭头”。

大约在同一时期，麦克斯韦和玻尔兹曼利用构成气体的各个质点的运动和碰撞，总加起来以及取平均值，终于导出气体的整体性质——即所谓的气体运动理论。他们用牛顿的时间对称定律确定每一个气体质点的动力学行为。然后他们用统计的方法导出描述整个气体行为的方程式。玻尔兹曼方程破坏了时间逆转的对称性。

玻尔兹曼和其它物理学家都对事情的这种转变深感困惑。虽然玻尔兹曼坚持认为、他从牛顿运动定律推导气体的不可逆行为在数学上是严格的，但很多人，包括物理化学家约瑟夫 · 洛喜米特在内认为，从逻辑上，你不可能从可逆的牛顿力学推导不可逆的玻尔兹曼方程，除非有附加的假设。

在用亨利 · 庞加莱的定理时、马克 · 普朗克的学生，数学家厄恩斯特 · 策尔梅洛提到，牛顿定律将意味着有下面的结果：不管气体开始时位形如何，如果等待的时间足够长，最终它将回到原来的初始状态。换言之，你能证明，从长远观点来看，玻尔兹曼方程是错误的。贫穷的玻尔兹曼由于受到这种批评非常消沉并最终自杀。令人啼笑皆非的是、对玻尔兹曼和麦克斯韦的深奥著作做适当的解释所形成的分子运动理论却经受住了时间和实验的考验，站住了脚。

但洛喜米特和策尔梅洛提出的异议又有什么含义呢？回答是，像太阳系这种牛顿模式是只含少量的组成物的系统，而气体却含有大量的质点，两者之间的行为表现有差异。这影响到我们如何观察和测量它们的动力学性能。这不是普普通通的问题。它已影响到几乎每一科学学科，从宇宙学到心理学。

我想用一个简单的典型的牛顿系统例子来分析这两种不同的行为表现。设想一小球在环形丝线上滑动。暂且不考虑诸如摩擦、重力或小球成分等琐碎细节。假设我们忽略环箍作用，只是把它想象为钟面或跑道。在环上对应于12点处取固定点，并把它和环心连接起来。在某一瞬间，小球在环的一定位置上。我们能够用两种方法确定小球的位置。一种是，通过精确测定从起点12点开始小球所走过的弧长，另一种是，通过测定圆环弧长所张的圆心角。

小球无摩擦运动的牛顿力学非常简单。按照牛顿定律，力与加速度成正比，加速度是速度的变化。要记住速度有大小和方向。小球做圆周运动意味着它不断改变方向，因而感受到加速度，与之等效的力把小球拉向圆环中心。

如果在某个初瞬时我们让小球从12点位置开始运动，小球将沿顺时针或逆时针的方向永远运动下去，显然小球走完一个环路要用一定的周期，它等于圆环周长除以质点的速率。如果我们已知质点在任何瞬时的速率，我们便能确定过去或未来任何时刻它的位置。毕竟，这和一辆汽车以不变的速率沿环形路行驶没什么两样；简单地用花费的时间乘上速率便得从起点开始所走过的总路程。重要的是，仅仅用两个参数，初位置与初速率，便能确定小球的运动。我们把这种类型的圆周运动称为匀速圆周运动，在这种运动中速率保持不变，不会偏离它的圆周方向。

引人注意的是，用于小球的一套公式对太阳系中的圆周运动同样有效，在太阳系中，行星相对地较轻，围绕着处于中心位置大而重的太阳运行。在这个例子中，运动是由把行星拉向太阳的引力作用的结果。引力所起的作用和环一样。严格地说，行星沿椭圆轨道运行，虽然纯圆周运动是牛顿方程的一个可能的解，而且是合理的近似解。然而重要之处在于，轨道的半径与行星运行一周的轨道长度有关。轨道越靠近太阳，行星必须运动得越快才能避免沿螺旋线落到太阳上。这种关系式称为开普勒行星运动第三定律。该定律表明，轨道半径的立方与运行周期的平方成正比。它提供了对牛顿引力理论正确性的人所共知的检测证明。

按照牛顿定律，小球的运动是匀速的，在任何瞬时我们都需要用两个数：它的位置和它的速率，以描述质点的情况。似乎质点的状态以某种“守恒”性质，或不随时间变化的性质为特点。正如多恩喜欢的，质点的速率永不衰减。小球（或行星）的位置是周期性的，以致时间好像在重复它自己，循环周期与守恒速率有关，像台球运动那样，牛顿方程无法辨别什么时候我们把电影片倒着放映，从未来到过去，逆转了小球的运动。这种情况造成对时间的认识好像在用永不停息不断重复的模式，用多恩的话来说是“没有明天，也没有昨天”的模式，有规则地流动着。

当引入另外的非有心力于小球，事情变得异常复杂。会发生什么情况取决于力的类型。某些力，例如重力，是重物体在远离中心点的位置上发生的，其作用是使由速率（速率提供动能，它和质量及速率的平方成正比）和势能（它取决于小球的位置）决定的总能量守恒。速率能随时间变化。设想重力与环平面垂直，而后让环略有变形来模拟沿环线的“小山和低谷”，我们：便能看到速率是变化的。小球的运动不是严格的圆周运动，但如果小山高度较之圆环半径为小，模型还是有用的s当小球在山峰，其速率最低而势能最高。当小球沿小山下滑，以势能消耗为代价，其速率加快，因而其动能增加。虽然这种运动也许是复杂的，但它迟早仍可逆转，这里不存在衰减。

其它类型的非有心力，例如摩擦力，又如何？它们形式多样，但有一共同点：力总是与质点运动方向祖反，使其运动变慢。最简单的情况，摩擦力的影响是这样的：如果初始速率是每秒100米，那么经过一定时间之后，比方说5分钟，速率减少为每秒50米，又经过5分钟，速率下降到每秒25米，依此类推。我们可以用速率减半来表述时间，写作t（半），摩擦力使速率，或更精确地说使动能，按等比级数减少。

这种情况有点像某人在银行里有一定数量的存款，每年花结算账目的一半，而没有任何进项。其结果是完全可以预测的。这个人的财富肯定会慢慢地以等比级数减少，就像小球的速率减少一样。其主要不同之处在于速率是连续不断地减少，而财富是以货币的最小单位一份一份地量度，最后会完全消失。顺便说明，放射性衰变规律与之完全相同。时间t（半）是所谓的半衰期。用衰变来说明过去与现在的时间差值是精确的，因而允许考古学家用碳14的放射性测定古物的年代。

回到圆周运动的小球，注意摩擦力引出两种不同的时间量程：运行周期（在没有摩擦力的情况下，它决定于初始条件）和衰减时间t（半），如果衰减时间远较运行周期为长，摩擦力就很弱，这种运动类似于钢琴声调的衰减。另一方面，如果摩擦力很强，衰减时间较之运动周期为短，这就有点像摆锤在稠密糖浆中的运动。

违反牛顿方程中时间可逆对称性的不可思议的力起源于何处？我正打算论证，答案在于引入了极大数量质点的力学并对所有这些质点取其平均性质的结果。它还和我们测量的参数的种类以及这种测量所固有的求平均值过程的自然性质很有关系。这一点非常重要。通过考察非常基本的情况便能获得意想不到的见识。

摩擦力的第一个例子来自“波阻尼”。记得当小球沿圆环滑动时它实际上是加速的，因为它不断改变方向_同样的情况也适用于行星运动：在引力作用下行星不断地加速。事实上，爱因斯坦对运动的牛顿理论和引力做了重要的修正，他的广义相对论证明，加速度与引力是等效的。因此，我们预期我们的加速度小球会发射引力波，虽然比率极小。这样，在引力波向空间传播的同时，小球的动能实际上一直在减少。

同样的情况也适用于行星，原来，地球绕太阳的运动，由于动能损失而有的衰减时间t（半）大约为10×10²⁴年。它比宇宙年龄的估计值：10×10¹²年 ~ 15×10¹²年之间，要长得多，更不必说和太阳系的年龄相比较。可见，由于引力波造成的运动衰减是很小的、然而，如果小球是带电质点，例如是一个电子，那么根据经典电磁学，它将发射光波，或回旋加速器辐射。这种波能衰减得很快，电子损失大量的动能，因而衰减时间能比运行周期短很多。

我们能用下面的类比解释波衰减。假设有一平静的湖面，把软木塞放到水上使之在水面忽沉忽浮。如果水没有摩擦，换言之，没有粘滞性，你会期待软木塞忽沉忽浮永不停息。而事实上，它总要产生水面波，向外传播，并从软木塞身上带走能量。如果此湖是个小池塘，水面波会被池塘边反射回来，最后又回到软木塞。如果反射是“完全的”，软木塞的能量将总体上守恒。如果湖面很大，以致可以看作是“无限的”，那么被波带走的能量就将永远也回不来。软木塞将不断失去能量，逐渐趋于停止。尽管无粘性流体运动的牛顿方程中并不包含任何与时间不可逆性有关的项，但还是出现这种情况。我们从这个例子可以知道，像湖中软木塞这样的动力学系统，不仅要看牛顿方程，而且要看系统“边界”出现的情况以及边界的位置。回到发射引力波的小球，如果我们把此系统放在不大的盒子里，盒壁能完全反射引力波，那么这个系统将不会衰减 · 时间逆转对称性将不会被破坏。

在小球和环之间的普通摩擦——这种摩擦是由于小球和环粗糙表面相互摩擦产生的——情况又如何？这种力很复杂。它是由于环表面无数小分子阻碍和反抗小球表面的分子而产生的，虽不容易看到这种情况下的无数作用，但小球失去的能量总会迅速地分配给环上无数的分子，这样它就永远没有机会回到未衰减的情况。

在这一点上，我无法阻止这样的质问：如果我们朝不管什么原因产生的摩擦力的相反方向驱赶我们的小球，大体上是用不变的非有心“拉”力，那又会怎么样呢？这类似于在不太陡的小山上骑自行车下山，在重力作用下会有加速度，但当风阻力和自行车制动阻力与引力效应相平衡时，最终会达到常速运动，小球的这种情况，其最终速率与初速率毫无关系，初速率已被“遗忘”。这种记忆力的丧失发生在衰减的时间量程t（半），用它可以量度摩擦强度。于是，健忘症成了含有摩擦力的不可逆系统的特征。

一个最极端的例子是用手刹车以每小时100公里的速度环绕跑道驾车，尽管明显是周期运动，但由发动机和手刹车组成的这个系统并不具有时间逆转不变性，因为存在外部作用一汽油箱，它供给能量以补偿经过手刹车摩擦力所损失的能量。这个系统因此是“非守恒”的。时间逆转对称性只适用于有界范围内的守恒系统，例如在全反射盒子内做圆周运动的小球，或漂浮在小池塘中的软木塞。这种系统像一个牛顿守财奴，他没有净收入，没有净花费，实际上，与外部世界没有任何联系，只是把他的财富在他的住宅内从一个房间简单地移到另一个房间，永远如此。

类似于摩擦力的那些力破坏了过去与未来的对称性。它们引进了时间箭头。我已提到，这与引进大数量质点有些关系。我们能够通过扩充小球模型证明这一点。考虑两个同样的环带有同样的小球。设想这两个环被分开固定在测量仪器上，一个在另一个上边。两个小球彼此并不“了解”。如果我们知道它们开始的位置和速度，我们便能预测每一个小球在任何时候要做什么，因为速率是守恒的。和单个小球不同的是，我们有四个数用来描述该系统。如果我们有n个小球和环用同样方式排列，我们需要2n个数来描述该系统。仅仅增加小球数，我们并不曾改变系统的时间逆转对称性。如果能同时监视所有的小球，我们核实这一点并不费事。

如果我们让所有的小球都从它们各自环上的同一初始位置出发，它们全都会像一个小球一样运转。具有2n个数的系统等同于两个数的系统，假设我们让它们从同一位置出发但给予不同的速率。一个有趣的替代模型是沿圆形轨道绕土星运行的单个人造卫星。假设该人造卫星突然分裂成N块。我们设想这些碎块离得足够远以避免发生碰撞，它们从接近同一半径的圆形轨道上以分散的速度开始运动，如果N很大，比如说一百万，迟早我们会看到由百万碎块组成的环圈形成，它们将永远存留下去。

回到环与小球，如果我们不重视圆环，我们将看到当在圆形轨道上运行时，初始的小球群分离并稳步扩散。经过稍长的时间，平均来说，弧段每度的小球数在圆周的任何一段都将和其它段一样多。假如有两个小球分别在各自的环上运动，球1比球2快一倍，那么，每当最慢速的球2沿轨道走完一整周时，整个系统就要回到初始位形。

对任何数量的小球都能算出这种“复现时间”。它只不过是各小球运行周期的最小公倍数。现在，有7个小球，它们的运行周期以秒计，等于1 ~ 13之间的素数——即1，2，3，5，7，11和13，看看会出现什么情况。复现时间为1×2×3×5×7×11×13等于30030秒。它远大于最慢小球的周期（13秒）。你可以在家庭计算机上用不同颜色的小球做这个“思维”试验。

你能看到，系统的时间逆转性与各个小球周期的时间量程无关。可以肯定，如果小球的数量有限，不论数量有多大，系统最终要复原到它们的初始位形，所有小球都回到它们所在圆环的同一起始位置上——如果我们等待的时间足够长。当所有的小球以同一位置为起点却用各式各样的速率开始，它们便很快地分散开来。这时的时间量程取决于最快与最慢小球速率差值。分布程度最终达到一均衡值——环圈各段小球密度的平均值。对于大数量的小球，我们很快便失去有关各个小球的信息，不得不满足于量度平均值，例如小球密度，它表现在时间上是不可逆的。

如果所有的小球动作一致，那么复现时间就会和环绕周期相同，系统处于可逆状态。例如，如果从一玻璃器皿落下一冰立方体，你可很容易地把冰立方体恢复它原来的状态，简单地把它拾起来放回玻璃器皿就行了。结冰水分子是不能自由移动的，因而它们的动作一样。冰立方体融化之后再这样做，你会发现很难把进程倒过来，因为水分子移动很自由，因而它们的相对位置扩展得非常快，当你把一个充气气球放气，可以允许的位置扩展发生得还要快。空气猛冲出来，气球各处都是飕飕声。没有人看见过无气空气球吸进空气，使自身膨胀，虽然这是牛顿方程的一个可能的解。

总之，即使一个系统的动态特性是服从牛顿定律的，各个质点在微观尺度上是可逆的，由于大数量或无限的周围介质的介入，也会产生时间箭头。这种情况发生在“宏观”系统，例如在气体中，不可逆性不一定需要系统本身的固有性质就是如此，若对质点做个别观测，质点的数目实在太多，因而不得不做平均值测量，这时就会出现不可逆性。这也正是玻尔兹曼推导他的方程时所发生的事。

我们的圆周运动小球这个简单的例子证明，虽然气体分子之间的碰撞促进了气体的不可逆行为，正如玻尔兹曼在其分子运动理论中所证明的，不可逆性在不知不觉中来临，甚至当我们的质点集合没有碰撞也是如此。时间箭头看来取决于我们如何观测一个系统以及我们能用哪一种测量方法。“全面地看”，在一个有界的牛顿宇宙中是没有过去与未来的。至于其它，正如雅克在《当你喜欢它》中所说，“时间随各种人以各种步伐行进”。

［New Scientist，1989年4月8日]