查尔斯·凯恩（Charles Kane）从未想到过，他会和拓扑学家一起共事。“我不像数学家一样思考。”凯恩如此承认。他是一位理论物理学家，研究对象更多地聚焦于关于固体材料的实际问题。并不单单只有他这么想。物理学家通常极少关注拓扑学――那是对形状和它们的空间排列的数学研究。但现在凯恩和其他物理学家蜂拥到拓扑学领域。

 

　　在过去的10年内，他们已经发现拓扑学提供了独特的视角，令人能洞悉材料的物理性质，譬如：一些绝缘体如何能够沿着表面的单个原子层传导电流。

 

　　一些拓扑效应在20世纪80年代被发现，但直到过去数年里，研究者才开始意识到，拓扑效应可能比任何人的预期更加普遍和怪异。拓扑材料一直“在大家眼皮子底下，而大家没想到去寻找。”在宾夕法尼亚大学工作的凯恩说道。

 

　　如今，拓扑物理在不断发展，很少看到关于固体物理的论文标题里没有“拓扑”这两个字。实验物理学家会变得更加忙碌。最近出版的《自然》杂志上发表的一篇研究揭晓了一组可能拥有拓扑效应的材料，给予物理学家更多空间去寻找奇异的物质形态（譬如外尔费米子或量子自旋液体）。

 

　　科学家希望：拓扑材料最终能够在更快、更高效的计算机芯片或量子计算机上获得应用。拓扑材料已经用作虚拟实验室来检验关于未发现、奇异基本粒子与物理定律的预测。许多研究者声称，拓扑物理的真正奖赏会是对物质本身性质的更深理解。“拓扑物理的涌现现象大概在我们周围到处可见――甚至在一块石头上。”普林斯顿大学的物理学家扎希德·哈桑（Zahid Hasan）说道。

 

　　亚原子粒子的一些最基本的性质从本质上来说就是拓扑的。以电子自旋为例，自旋方向可以向上或向下。翻转一个电子，让它的自旋方向从向上变成向下，接着再变成向上，你也许会认为这种360度的旋转会让粒子回到最初的状态。但事实并非如此。

 

　　在量子物理的奇异世界里，一个电子可以表示成波函数，关于粒子的各种信息被编码在这个波函数里，譬如发现电子处于某种旋转状态的概率。虽然与直觉相反，但一次360度的旋转实际上让波函数的相位发生偏移，于是波峰变成了波谷，波谷变成了波峰。要再来一次360度的旋转，才能最终让电子和它的波函数回到初始的状态。

 

　　这正是数学家最喜爱的一个拓扑奇异结构（莫比乌斯带）中发生的事情。将一条缎带旋转半圈，再把两端粘在一起，就形成了莫比乌斯带。假如有一只蚂蚁沿着缎带爬行一整圈，它会发现自己来到了出发点的另外一面。它必须再爬行整整一圈后才能回到它最初的位置。

　　蚂蚁的处境不只是电子波函数相关情况的类比，实际上，这种情况发生在量子波构造的抽象几何空间里。好比是每一个电子中都包含了一条迷你的莫比乌斯带，莫比乌斯带具有一些有趣的拓扑性质。包括夸克和中微子在内的各种粒子分享着这个特性，它们被称为费米子；那些不具有这项性质的粒子――譬如光子――被称为玻色子。

 

　　大多数物理学家研究自旋之类的量子概念，却不担心它们的拓扑学含义。然而，在20世纪80年代，诸如华盛顿大学的戴维·索利斯（David Thouless）等理论物理学家开始猜测，也许拓扑学可以解释刚刚发现的“量子霍尔效应”的惊人现象。当材料被放置在不同强度的磁场中，在一层单个原子厚度的晶体中，量子霍尔效应会引起电阻的不连续跃迁。关键的是，电阻不会因为温度的变动或者晶体内的杂质而改变。哈桑说，这样的稳定性是拓扑状态的关键特性之一，而拓扑状态是物理学家急切想要利用的。

　　1982年，索利斯与同事揭示了量子霍尔效应背后的拓扑现象，这一发现最终帮助索利斯分享2016年诺贝尔物理学奖。就像电子自旋，这种拓扑现象发生在抽象空间中。但在这个事例中，潜在形状不是莫比乌斯带，而是像甜甜圈的表面。随着磁场的逐步上升和下降，表面有涡旋形成和消失，就像飓风眼周围的风场模式。

 

　　涡旋有着一项被称为“卷绕数”的性质，它描述了涡旋绕着中心点环绕了多少次。卷绕数是拓扑学不变量，不会随着形状的变形而改变。当一个磁场施加在“甜甜圈”周围时，突然存在和突然消失的涡旋卷绕数的总和永远保持一样。这个总和叫做“陈数”，以美籍华裔数学家陈省身的名字命名。从20世纪40年代起，拓扑学家们就知道了这个数。

 

　　最让人震惊的发现尚未出现。直到21世纪，量子霍尔效应和其他拓扑效应仍然只有在强磁场的存在下才被观察到。但凯恩、他的同事和另一支研究团队意识到，用重元素形成的一些绝缘体通过电子和原子核之间的内部相互作用，自身就能够提供磁场。这就给予材料表面的电子一种稳定的、“拓扑保护”的状态，这种状态使得电子能够在接近无电阻的条件下流动。到了2008年，哈桑的研究团队已经演示了锑化铋晶体（被称为拓扑绝缘体）内的这种效应。“那是乐趣的起始。”他说道。

 

　　这个发现震撼了物理学世界，理论物理学家爱德华·威滕（Edward Witten）说道。威滕在普林斯顿高等研究院工作，也是至今唯一1位荣获了菲尔兹奖的物理学家，菲尔兹奖是数学家们觊觎的奖项。现在看来，拓扑状态完全不是奇异的例外情况，反而是为发现自然中的未知效应提供了广泛的可能性。威滕说道：“范式已经改变。”

 

　　一个最大的惊喜在于，这些状态常常能够用既有的理论来解释，而这些理论当初是为了解决完全不同的问题，如让万有引力与量子物理学相一致。威滕的拓扑量子场论之类的概念催生了纯数学领域的突破，如今正在出人意料的地方回归到物理学。“这是种奇迹般的思想循环。”数学家迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）说道，他也是菲尔兹奖得主，目前在剑桥大学工作，也致力于研究拓扑理论。

　　另一件让人大感惊奇的事是，在拓扑材料中，电子和其他粒子有时能够形成特殊形态，在这种形态下，这些粒子的共同行为仿佛它们是基本粒子。这些“准粒子”形态也许拥有任何已知基本粒子中都不存在的特殊性质，它们甚至能够模拟物理学家尚需发现的粒子。

 

　　科学家最为翘首以待的一种准粒子发现于两年之前。这种被称为外尔费米子或者无质量费米子的准粒子在21世纪20年代由数学家赫尔曼·外尔（Hermannn Weyl）推测。在常规粒子群落中发现的所有费米子都有质量。但哈桑计算得出，砷化钽晶体内的拓扑效应能产生行为方式像外尔费米子的无质量准粒子。对于一个准粒子来说，无质量意味着它的移动速度与它的能量的移动速度相同。2015年，哈桑的研究团队用实验方法确认了这个结论，中国科学院翁红明带领的研究团队也做出了这一发现。研究者希望，这几类材料在未来某天也许能被用在超高速晶体管之类的应用上。在晶体内移动的电子撞击到杂质时，通常会发生散射，这样就拖慢了它们的进程，但哈桑研究的砷化钽晶体内的拓扑效应允许电子以没有干扰的超高速行进。

 

　　与此同时，麻省理工学院的物理学家马林·索尔亚契奇（Marin Soljacic）和他的同事观察到一些与外尔费米子非常相近的东西，不过是在电磁波中，而不是在固态晶体中。首先，他们通过在一叠塑料平板中钻洞而构建螺旋24面体结构（这个让人入迷的三维图是一系列互相连结的螺旋楼梯）；然后，他们向螺旋24面体发射微波，看见光子（光子是无质量的玻色子）的行为像哈桑研究的材料中的外尔费米子准粒子一样。快速发展的拓扑光子学最激动人心的前景之一是：使用晶体来制造光纤，这样的光纤只允许光从一个方向进入，这样会避免光在瑕疵处反弹，就会大幅度提升远距离传输的效率。

　　按照奇异性的衡量尺度，在索尔亚契奇的玻色子-费米子中，居首的唯一准粒子是一种名叫“任意子”的奇异物质。一般来说，单个粒子要么属于费米子，要么属于玻色子。但任意子――存在于二维的、原子厚度的材料中的准粒子――打破了这条规则。当两个相同的粒子交换位置时，研究者能观察到这种对规则的僭越。在玻色子中，交换对共同波函数没有影响；对费米子来说，位置交换让波函数的相位偏移了180度，类似于单个电子进行360度翻转时的情形。但是对任意子而言，波函数的相位改变的角度视任意子的种类而定。不仅如此，这个理论间接表明在某些情况下，将任意子再次换回到原先位置并不会恢复最初的波函数。

 

　　于是，假如研究者能够创造出好几个这种任意子，让它们紧挨着彼此，再将它们交换位置，它们的量子化状态会“记住”它们交换位置的过程。将任意子的二维空间运动增加代表时间的第三维，物理学家能够让这个过程可视化。结果是一系列线条的辫形结构，这些线条彼此纠缠。原则上，这样的量子辫能够用来将量子位（或称为量子位元，是量子计算机内的信息单位）译成密码。它们的拓扑性质会保护量子位元免受外部噪声干扰，外部噪声对其他任何一种储存量子信息的技术都造成了麻烦。

 

　　2005年，微软公司在量子辫上做出大笔投资，任命数学家迈克尔·弗里德曼（Michael Freedman）负责微软公司在量子计算机上的研究工作。弗里德曼在1986年荣获了菲尔兹奖，凭借的是攻克四维球体拓扑性质的工作，他在20世纪90年代发展出一些让量子位元形成量子辫的关键构思。最初，弗里德曼的团队主要聚焦于理论方面。但是在2016年下半年，微软公司从学术界雇用了几位明星级的实验物理学家。其中有一位是荷兰代尔夫特理工大学的物理学家莱奥·考恩霍文（Leo Kouwenhoven），他在2012年率先用实验方法确认了任意子这类粒子记忆了它们交换位置的过程。他目前在代尔夫特理工大学的校园内建立起一家全新的微软实验室，目标是论证任意子能够将量子位元译成密码，做简单的量子计算。这种方式比起其他的量子计算形式起码落后了20年，但弗里德曼认为，拓扑量子位元的稳定性会最终取得完全胜利。“假如你要构建一项新技术，你必须让基础正确。”他说道。而哈桑正在试图做类似的实验，但他认为：拓扑量子计算机至少还要40年。“我的预测是，未来很多年里，物质的拓扑相只会停留于大学实验室里。”哈桑说道。

　　然而，也许有办法能加快研究工作。但寻找新的拓扑绝缘体的实验物理学家会依赖费力的步骤，包括计算每种材料中电子的可能能量来预测该材料的性质。

 

　　普林斯顿大学的理论物理学家安德烈·伯恩维格（Andrei Bernevig）领导的团队发现了一条捷径。研究人员通过查看在材料晶体结构中存在的所有230种不同的对称型，创造出一份拓扑材料的图集。然后，他们系统预测：这些对称型中的哪些从原则上来说能够容纳拓扑态，这样就不必首先计算它们的所有能级。他们认为，在所有材料中有10%到30%的材料能够表现出拓扑效应，可能总共有几万种化合物。到目前为止，只有几百种拓扑材料得以确定。“结果显示，我们至今所知的只是可能存在的大量拓扑材料中的一小部分而已，还有更多拓扑材料等待发现。”伯恩维格说。

 

　　这支研究团队中包括有来自西班牙毕尔巴鄂的巴斯克大学的3位专门研究晶体的数学理论的专家，研究者很快就能够查阅“毕尔巴鄂晶体学服务器”上的资料，查明某一种晶体材料是否有可能拥有拓扑性质。北京清华大学的物理学家李渭说，伯恩维格的方法用来搜寻新的拓扑绝缘体肯定是更有效率的办法。“我相信，未来会有许多新材料出现。”他说道。

 

　　“然而，知道一种材料拥有某种拓扑物质状态，这并不意味着立刻能预测它的性质。”共同作者克劳迪娅·费尔泽（Claudia Felser）警告道，她是位于德国德累斯顿的马克斯·普朗克固体化学物理研究所的一位材料科学家。“仍然需要针对每一种材料计算和测量这些性质。”她说道。

 

　　至今研究过的多数拓扑材料――包括在伯恩维格的图集中出现的那些――相对来说容易理解些，因为材料内的电子感受到的彼此间的静电排斥微乎其微。理论物理学家遇到的下一个巨大挑战是理解“强相互作用”的拓扑材料，这些材料中的电子会互相推动。假如理论物理学家能攻克这个难题，哈桑说，“你会发现一大批全新的、我们甚至无法想象的物理现象。”

 

　　这个领域的核心是这种数学和物理学间的相互影响，凯恩说道，“驱动我不断研究的是这种彼此交叉的东西，一方面有着难以置信的数学美感，另一方面能在现实世界中变得鲜活。”