[提要]突变理论出现以后，在国外数学界引起了激烈的争论。赞勒（Zahler）和萨斯曼（Sussmann）是具有代表性的激烈反对者。他们批评汤姆（Thom）和齐曼（Zeeman）等人证明不严格，用词含糊，一词多义，甚至用武断代替证明，滥用数学理论，结果，各种应用模型不可靠，不能由它们得出什么结论。有的作者还把这种理论嘲笑为“皇帝的新衣”，即用根本不存在的华贵新衣招摇撞骗。

突变理论之所以受到欢迎，反对者认为，主要是因为数学家缺乏把数学应用于实际问题的知识，社会科学家需要一种数学工具，而突变理论又是图画多于方程，又有一套数学术语，似乎具有严格数学意义，结果许多人上当受骗。

此文原载英国《自然》杂志，第269卷，第5631期（1977年10月27日），萨斯曼在英国新Brunswich - 新Jersey的Rutgers研究院工作，赞勒是他的助手。

胚胎学、人性学、生态学和地质学，物理学、经济学、动力学和语言学，囚犯骚动、文学符号和越南战争——这就是所谓能够应用突变理论的一部分题目。它所用的新的数学手段似乎是万能的，用提倡者的话来说：“这是一种真正的理解和启发，这种用概念张成的网使得人类有希望获得一种无可匹敌的克服愚昧无知的武器，得到一种关于宇宙的深奥的洞察力。”

我们不同意这种说法。鉴于许多研究者目前正受到突变理论的吸引，然而他们毫无所获，只是带来失望、白费时间，我们已经写了一篇批判突变理论应用的研究报告。我们的结论是：应用这种理论的主张被过分地夸大了，应用的结果至少在生物学和社会科学领域内是毫无意义的。

原因在于：突变理论家们滥用基础数学提出不正确的前提条件；他们提出的模型基于一些毫无根据的假定；他们作的预测不是空洞无物、同义反复、含糊不清，就是根本不可能进行检测试验。我们不说突变理论不可能应用。它们可能合理地用于物理学或工程中，使用拓扑学方法也可能会从思想上鼓励一些研究工作者。然而到目前为止，这方面的报告很少。

必须强调指出，我们不讨论突变理论作为一种纯粹数学理论的正确性和重要性，而仅仅怀疑它在数学范围之外作为应用的工具是否有效。我们介绍这样一幅批判的画面，是因为我们被数学新应用的前景所鼓舞，也担心许多人对现代数学着了迷，而当他们像我们那样发现突变理论是一条死胡同时，他们将会清醒过来。

从突变理论在生物学和社会科学应用模型中我们找出十类主要缺陷，本文将按这些问题加以组织，其中每一类缺陷用一、二个例子加以简短的说明。

尖顶突变

大多数加以应用的突变理论是基于一种“尖顶突变”（图1）。图中平面代表两个控制参量a和b的可能值，系统的行为画在垂直的x轴上。例如，假定我们把球蛋白放在溶液里，研究由于变性剂浓度a和温度b引起球蛋白变性的状况。变性的程度x₀（可用光旋色散的消失量加以测定）作为变性剂浓度a₀和温度b₀的函数，画在通过（a₀，b₀）的垂线上，按照柯札克（Kozak）和本海姆（Benham）的表示方法，所有这类点构成了弯曲的“尖顶”曲面。

图1 尖顶突变的一个例子，已用作蛋白质变形模型

到此为止，这是标准的解析几何学。细心的读者可能会注意到，在上述图形中阴影区域R中，在每个点（a₀，b₀）之上，行为曲面不止一个点，而有三个点与之对应。哪一个点代表在（a₀，b₀）的真实行为？按照滞后规则作出的回答是：这依赖于怎样接近（a₀，b₀）。当a和b连续变化，a也在尖顶曲面上尽可能跟着连续变化。当α不能进行连续变化时，那么x将跳到曲面的另一叶。例如，假定控制参量的变化使得点（a，b）从Q?沿着路径P?移向Q?（如图1所示）。开始时，在P?的每个点之上，只有一个点在尖顶曲面上，因此我们从Q?向J引一条线。即使我们穿过点J，滞后规则使我们仍旧保持在基叶上。但是到达点K时，我们必须如图所示，跳到上面一叶的K?。这就是在突变理论模型中出现的情况，它说明当控制参量光滑改变会怎样引起行为状态的突然变化。

为什么这是“尖顶”？突变理论研究者认为，按照汤姆的“深奥的数学定理”，对于任何发生突然变化的系统，那里的两个控制参量的出现可用尖顶加以刻划，这是不可避免的，普遍对的。根据柯札克和本海姆的说法，图1正确地预测胶质或RNA在温度和氯化钙浓度影响下的变性行为。例如，沿路径P?从Q?到Q?，或沿P?从Q?到Q?，给出x的一条S形的曲线，它和适当的实验数据相对应。据他们说，只要尖顶M稍微加以变动（这在理论上是允许的），那么来自其它系统的数据也能适合模型。

混淆了连续性概念

但是，当我们更仔细地观察这个模型，问题就接踵而来了。首先，从一种结构到另一种结构的转换，真是不连续的跳跃吗？作者自己就允许试验曲线没有尖点，这还只是问题的一部分。对于给定的小的蛋白，例如RNA范霍夫（Van't Hoff）关系：

意味着焓（enthalpy）的改变量ΔH与温度变形曲线可能陡到什么程度有严格的必然联系，甚至在二级变形模型中也是如此（按通常假定，分子间没有相互作用）。因此对一给定的蛋白分子，我们甚至连不连续性跳跃表示极限情况的话也不能说。现今突变理论的一个主要主张是：它是把数学应用于不连续现象的唯一途径。我们刚才已经看到，真正的变形本质上是连续的。这对大多数曾尝试用突变理论的生物现象来说也是如此。可以说为科学家熟悉的模型多半是连续的。在这些情况下，突变理论没有任何好处却带来更大的复杂性。还有，在社会科学模型中，如同我们下面看到的那样，突变理论常常得出完全颠倒的错误结果，把一个明显间断的变量说成是连续变量。

这个连续性的问题不能只用纯粹数学的观点来看。由于随意把本来意义上急剧增长的“跳跃”和数学上不连续“跳跃”加以混淆，突变学家进行的论证是错误的或者使人误解的。

我们下面的批评更加严重。在图1的区域R′上，相应于尖点部分的实验数据假定已经标出。图的作者声称：在两个变量的情况下，“数学理论证明：如果已经观察到从一种情况到另一种情况的生态学变化”，那么系统必定能用尖顶突变加以描写。甚至说：

“如果从一个给定的变性试验的分支集合上，有一个、二个或三个表示点，那么就能构造出曲面M，因而可以预测系统的行为，而不必再受实验研究的限制。”确实，倘若有一种理论允许科学工作者在一个实验系统中得出两种或三种实验观察记录，而且不借助其它信息和假定，就能推断其它一切情况下的系统行为，这当然将是一个伟大的成功。然而，这个结果未免好得使人难以相信：作者至少犯了三次大错误。

用汤姆的定理论证外推

应用突变理论的一名领导人E。C。齐曼曾建议说：运用汤姆的定理可能根据某些

部分的信息推断行为曲面的整个样式。（例如说通过突变理论，“我们可以由行为在某些控制点的双重性推断出整个曲面的形式”）。然而齐曼的陈述是错误的。我们以变性模型的曲面M为例。从数学上看，硬说汤姆定理把曲面M看成图1那个样子显然是不正确的。曲面可能会有尖顶或折叠，但它不必局限于原点，也不会像图中所表明那样地有方向。而且汤姆的定理不能用于从曲面的局部知识推论出整个曲面的样式。事实完全相反：一个曲面如果和满足汤姆定理的那种曲面十分接近，那么这一定理不能告诉我们关于行为的任何新东西（因为所有的观察记录都是有误差的）。这一结论，无疑对一切突变模型都适用。齐曼建议说，人们无须物理学和实际行为的任何前提条件，就能从“一切可能平衡曲面”里推论出新的事实来。这种观点等于说“整个世界可以由纯粹的思想推演出来”，但能够接受这种观点的科学家是很少的。

预测和事实相矛盾

那种把区域R′上的曲面扩展到整个平面上的做法，不仅在数学上得不到支持，从生物化学的事实看也是错误的，它所导致的结论是实验数据相矛盾。例如，假设路径P?是自右向左的，按上述的滞后规则，当温度下降到低于发生变性的温度时，将会引起Renaturation。但这种滞后现象并不像图1所假设那样真正在胶质和RNA上发生。因此尖顶突变模型对于这类或其它大多数类型的单蛋白来说是不适用的。某些大蛋白分子会呈现滞后现象，但是人们不能根据一些特例就得出一般理论。事实上，作者为了把他们的想法强加给某些单蛋白系统，硬造了一个模型（图2），而这一模型和尖顶突变模型甚至连微分同胚也做不到（他们似乎没有注意到在原点之上的垂线），因此它和整个突变理论没有什么关系。

图2 扭曲了的尖顶突变

预测缺乏可检验的真实性

实际上，这种突变理论分析即使是正确的，也没有告诉我们什么。尽管作者提出当沿图1的路径P?和P₃走时，会产生S形的曲线，但这是极不真实的。它们不过是实验数据的图表。同样，齐曼关于胚胎学和细胞物理学的突变理论研究结果，要么（1）包括在数据之中，要么（2）简直没有核实的希望，或者（3）与突变理论无关，或者（4）完全错误。

例如，齐曼研究一个胚胎的同种组织怎样由于边缘的分割而分化为两种类型。这篇文章的“主要定理”可用这样几句话全部加以概括：“等度稳定性、连续性、可分性和可重复性意味着初期波动的存在。”换句话说，一种边缘形成、移动和加深，然后减缓并稳定下来，最终又进一步深化。

从如此令人吃惊的含糊陈述中，很难想象人们可从中学到什么东西。其证明也是错误的，我们不必对它进行太多的考虑。

属性的滥用

有一点应该指出：最后被选定为模拟细胞变异的那个曲面，并不是由汤姆的定理推出来的，而是由一系列随意的选择得到的。这些选择又根据所谓“属性”而被认为合理。“属性”这个数学概念原是一种排除例外和退化情况的方法（例如，“从属性上说，椭圆的两个轴不相等”，这意味着圆是椭圆的例外情况，或者更直观地说，随便“挑出一个椭圆”，极不可能是圆）。在齐曼的证明过程中，他把含糊不清的“可重复性”这个词调换为“属性”这样精确的概念。但是另一方面，他的整个定理却说，如果没有例外情况发生，那么边缘就会移动。

齐曼的证明没有超出观察的结果：如果边界不动，将是十分例外的情况。看看这一类推论，注意它们同样的逻辑，如果它们正确，就不仅研究细胞边缘可以用，无论对什么情况都可以用。这样，齐曼推出的“证明”就是：除了不运动的例外情况之外，任何事物都是运动的。

在上述论文的后半部分，齐曼“证明”了边缘的移动最初是匀速的。他的证明如下：边缘可恢复到初始状态，再用切线作一级近似，证毕。还有，这一推论的正确性并没有限于对生物组织的边缘或者限于正在形成边缘的时候。这样，齐曼实际上证明了任何东西的运动都是等速的。现在让我们再次应用上述同样的逻辑。我们为什么不用二级Taylor近似呢？为什么不像齐曼处理速度那样讨论加速度呢？我们可以作出加速度不是0的结论，因为如果加速度是0，那将是例外情况。这就使我们得到任何事物的运动都不是匀速。

最后，为什么不取0级近似呢？这将得出没有任何运动的结论。

我们看到，用这种方法，无论怎样不合理的事情都是可以证明的。

大约两千年以前，芝诺（Zeno）建立了他的著名的关于飞箭的悖论。考虑一支正在飞行的箭。在它飞行的每一时刻，箭头产生一确定的位置。在那一时刻箭不动，因为每一瞬时没有持续一段时间。因此，在每一时刻箭都不动。由于这对每一时刻都是正确的，那么箭始终都不动。这一悖论是令人惊奇的，它似乎向逻辑本身挑战了。

微积分的发展解决了这一悖论，告诉我们：为什么事物既在变化同时又在每一时刻到达不同地方这件事是可能的。箭头的位置说明在每一时刻它在什么地方，而且在不同时刻它的位置是不同的。因此箭在每一时间有确定的位置并不意味着停止不动。这种关于位置的论断同样可用于有关速度的论断。在每一点上，速度有一个值，但这不意味着它是常数。齐曼，一个20世纪的芝诺，竟把悖论改成推论，其无知远远超过了二千年前的数学家。

齐曼的主要定理的谬误还有其它的原因，这很容易从齐曼的一个反例看出来。齐曼得出边缘不稳定和变异加深的结论，并不是基于他的前提条件。突变理论工作者在研究这些反例时，定理是由术语和猜想的新解释来决定的。比方说，关于“变异”的假说现在应该理解为：过了一些时候会发现两种不同类型的组织，而且没有进一步的变化发生。如果这是对的，那么过了一段时间边缘不再发生变化，所以边缘事实上是稳定的。这种关于稳定性的所谓“证明”，显然是循环论证。

一般说来，在许多突变理论中根据猜想所作的论证往往是含糊的。当类似“变异”、“可重复性”等术语没有精确的含义时，那些“证明”的正确性是很难接受的。突变理论的论著一贯违反科学方法中的最基本规则：把你的含义清楚地加以叙述，而且在推论过程中间不能改变定义。

骗人的数学应用

关于齐曼的胚胎学突变理论，人们主要批判他使用数学基础的方法。其它人指出，关于变异在初期和第二期将以波动的形式出现的推论，并不是根据突变理论本身，而是根据变异过程初始阶段状况的假定（例如细胞状态的变化梯度）。事实上，这篇文章的大多数结果都没有值得注意的价值，与突变理论毫无关系。

想弄清楚所以会如此的原因，很重要的是使读者记住什么是突变理论，什么不是。首先，明显地发生突然变化的事件，不一定是数学意义上的“突变”。突变理论家同意把“突变”这个词专指光滑映照的某种奇异性，其中 七个已被描述出来，并由汤姆漂亮地作了分类。事实上，突变理论的主旨在于汤姆的深奥的定理。因为这一定理允许人们将给定的状态表示为尖顶突变或者其它的初等变换，所以人们才相信突变理论是用数学演绎推理出来的。

然而，我们已讲过，大多数突变理论模型 没有使用汤姆定理。那种尖顶突变并非不可避免或者唯一有效。

这种尖顶突变又是怎样产生的呢？如同胚胎学模型那样，通常这种尖点的出现是由 于精心挑选了那些必然产生尖点的假设。另一种情况是，根据实验数据画成的图形会发 现类似于尖点突变。这是毫不奇怪的：如果我们画出一条二维的滞后回路（图3a），其中垂直的跳跃代之以水平的移动，然后想象这 一回路连续地缩小（图3b），最后回路消失成为一条连续曲线（图3c），我们得到了一个类 似于图1的曲面。因此我们可以把尖点曲线看作一种描画滞后程度变化的好办法。然而 这种情况并非唯一的：一个带有双层折叠的曲面，投影是一条光滑曲线，例如抛物线（见图4），也是办得到的。所以我们必须再问一个问题：一个看上去像尖顶突变的模型应该具有什么特点？虽然已经找到某些满足美观要求的图形或者反映本质的观点，但我们只能说：某些数据碰巧形成类似尖点曲线的形状，并不能告诉我们关于系统状态的任何新东西。

图3 下降情形的滞后回路

图4 一个折叠曲面并不是尖顶的，因为折叠曲线在控制平面上投影没有尖顶

轻率地议论证据

突变理论家们曾断言他们的模型已得到实验的证实。例如，齐曼写道：“我已构造了心脏跳动的突变模型以及神经脉冲、胚囊形成和胚胎原节等模型。现在已由库克和爱耳斯塔耳进行的实验巩固了我的预测。”事实是这样：（1）没有人做过检测齐曼关于神经脉冲模型预测的实验。至于心脏跳动模型，齐曼说在1972年做过，但结果从未发表（见齐曼的私人通信）。（2）突变理论的神经脉冲模型不接受许多方面的实验电压夹子数据，拒绝统一采取的钠漏斗概念及钠和钾来路的独立性，因而导出错误的传播速度。（3）齐曼的胚胎学论文，除了在数学上是错误的以外，也暴露了作者对胚胎学很不熟悉。例如把胚胎的神经管比喻为一卷保持卷曲的硬纸板。但是实验指出，剪下的神经管僵直地保持不卷曲。（4）爱耳斯塔耳等写道：“我们还不能断定这些观察结果会证实库克和齐曼的模型而排斥其它结论。”（5）库克（私人通信）写道：“至少我没有注意到我已做了任何加深突变理论模型预测的事。”

假造的量

突变理论家们常常企图把离散的变量看作连续变量，以便突变理论可以用上去。例如在齐曼的狗的进攻模型中，一只狗的攻击水平可看成连续变量x，排列为“从最初的仓皇逃走，继而退缩、回避、漠然、惊叫，直到咆哮进攻”，他还说，当X值从行为曲面的一叶跳到另一叶时攻击突变就发生了。撇开这些含糊不清的说法，它的意思是说，不管哪一种攻击都能在连续变化的一族行为中找到相应的位置。这是荒唐的：说一只狗“半攻击”，或者一条正在慢慢咬人的蛇，都是完全没有意义的。

更好的代替

突变理论的捍卫者们声称，突变理论在历史上第一次提供了研究不连续现象的数学方法。这是错误的。正如我们已指出的那样，它根本不能导出令人满意的模型。其所以错误，还因为它完全不顾整个研究间断现象的数学，如激波研究、分支理论以及量子力学中的数学等等。更好的代替是肯定存在的。

此外，一种数学理论，不论它好到什么程度，都不能代替对世界上客观事实的艰苦研究。突变理论是许多想仅仅用思想推演出整个世界的企图之一，它向数学家提供了一种“除数学之外无须其它知识的应用数学”。这是一个对数学家有吸引力的梦，然而梦不可能是真的。

突变理论的魅力

为什么突变理论能获得这么广泛的名气？一个可能的原因是，它给人以深刻印象的

统一性和有用性的声明，是以大量彼此互相过度吹捧的出版物为支持的。另一个原因可能在于突变理论作为应用数学的某种特殊性，它把一些对不专搞数学的人很难弄懂的概念和简单得令人吃惊的若干应用结合起来，以致成果靠直觉就能抓住，而且不会招致批评。

可以说，突变理论是一种新理论，它至今所提出来的应用都有重大漏洞，如果使之完善起来，则对每个人都有益处。我们的批评对于审查一种理论（或方法）还是很宽大的。即使一种理论留下一些有问题的假定，例如或者基于有缺点的推论，或者导致了错误的结论，或者涉及含糊的概念，或者不能对预测作检验，只要它能消除这些缺陷，我们立即准备接受它，它可能有价值。

将来，突变理论可能产生靠得住的应用，不能先验地将它排除。然而，它的惊人的失败必将令人产生重大的怀疑。对一种方法，过去曾被说成具有“描写自然界各个方面进化形式的潜力”，但事实上没有任何证据。科学团体必须对它保持怀疑，直到突变理论的提倡者成功地证实了他们的主张。现在这担子在他们的肩上。

（张奠宙译）