〔提要〕本文主要介绍了本世纪以来，数学在经济学中的应用。简明扼要地阐述了经济学一些分支应用数学的成果及主要的方法。另外本文还提出了在经济学中进一步应用数学的方向。可供经济工作者参考。
经济学是一门数学学科。这一断言对一个传统政治经济学家来说，可能有些奇特，然而在我们这一课题的二百年历史的早期，数学方法已经得到采用（1838年）。并且稳步发展，日趋重要。在当今时代，确切地说，自从第二次世界大战以后，数学方法已成为美国经济学中最主要的手段。这种用数学处理经济的方法，最初萌芽于欧洲、英国，然而在欧洲移民的努力下，它在美洲开花结了果。现在数学处理的方法正在全世界逐步受到重视和支持，这主要是因为发展经济的年轻一代乐于接受新事物，也是因为社会主义国家摆脱了反对在经济学中运用数学方法的偏见。毫无疑问，可以预见，未来经济学的发展将继续广泛地使用数学。然而假设将来经济分析会与过去二十年一样日趋数学化可能过于草率。
经济问题
经济学的一个恰当定义是莱昂内尔 · 罗宾斯（1932）给出的：“分析达到某一回的所能采取的各种方法，根据目的与方法之间的关系来研究人类行为的科学。”暂且不论我们是否能将它作为概括整个经济学的定义来接受，它却是我们讨论数学作用的一个良好的起点。经济学者对具有各种不同用途的有限资源作出选择，试用最有效地利用这些资源来达到预定的目的。从这一点看，我认为是上述定义的一个解释。
从这个角度来讨论，我们明显地看到经济学涉及到最优化问题。这是建立经济分析基本原理的根本动力。我们所遇到的不是一个最值问题；就是一个最小值问题。这是必须要运用数学的一个理由。抽象经济一般认为是由许多消费和生产单位组成，它们各自就自己的经济行为和给定的市场价格作出最大决策，然后在市场上为达到供求平衡而相互作用，重新决定价格。
经济理论一般首先分析个体消费者在预算的限制下如何试图最大限度地满足自己的需要。或者最小限度地减缩支出预算，来达到某一给定目标，进而分析生产者在技术限制下怎样努力获得最大利润的过程，（或者根据技术限制，以最低限度的消耗来达到某一给定的产量）。这就是经济学中典型的最优化问题。
以下讨论的是这些问题的标准数学提法：
这两个公式把经济问题作为在预算限制条件下，效用（需要）的最大值问题提出，以及作为在技术限制的条件下，利润的最大值问题提出。同样我们也能建立最小值问题的公式，在达到一组给定产量的前提下，寻求最少的生产消耗，以及在获得的给定效用条件下，寻求最小的预算支出。
最优化问题的处理
这类最大值最小值问题的研究结果，对经济学中建立一组行为法则产生了巨大的影响。在这些问题中，或者与这些密切关联的命题中，几乎所有经济学中的真理，都可以追溯到一些它们产生的根源。最初的数学方法是相当直接的。假定μ和f是光滑连接函数（有一二阶导数存在），根据微分学的法则和给定的市场价格进行最优化。最优化问题的必要条件定义了经济学中著名的供求函数，并且建立了这些函数的许多性质。
我所提出的这个问题，已得到了很好的解决，并且早在五十多年前就已载入经济学的文献，虽然不断有新的改进，但这个理论的细节是由波雷图（1896）、斯勒茨基（1915）、塞缪尔森（1947）、弗希尔（1892）、霍戴林（1932）、弗里斯其（1932）、希克斯和艾伦（1934）用数学方法的处理解释清楚的。
本世纪30年代以及第二次大战以后，这些问题的数学处理得到了进一步的发展。这种发展是扩大边值条件的数目，以及在时间连续变化或有限递增变化的过程中进行最优化。在随机模型中（例如，那种包含机会的模型），引入了诸如价格这种在未来条件下的随机变量。并且还考虑了那些常常影响人们决策的微小而易于忽略的因素的聚合。
效用函数μ（x1…xn）主观性质，引起了分析在函数变换下最优化结果不发生改变的条件，以及从客观需要函数出发，研究推导一个效用函数的可能性，后者被认为是积分问题。
可以这样说，早期的数学经济学的发展是效仿物理学和工程学的步伐，数学经济学的方法和力学热力学及类似的学科的规律是有许多相同点。然而，某些情形下，曾有一种趋势，就是将经济行为严格地进行难以接受的类比。
数学经济学应当建立更能适应经济问题，经济变量的特性的各个数学分支。这是丁弗恩 · 纽莫恩提出的一个令人鼓舞的见解。他还建议必须发展新的数学方法来迎合经济学的需要。本来18、19世纪的数学家发展了适应物理问题的数学方法。就这个意义而言，我们可以期望现代的数学家将从经济和社会科学的问题中得到启发和刺激。在线性规划中，以及对普通微积分方法不能适用的情形下，如何进行最优化的理论中已经出现了这类发展。然而现代化数学中这种发展的意义究竟如何则是数学家自己的事了。
消费和生产的现代化处理
效用的主观性质引起了新的方法。冯 · 诺伊曼（J. Von. Neumaunn）和莫根斯顿（1944）在“决策论和经济行为”一书中给出了选择的公理。现在我们发现在选择代数方面有更多的工作要做。在寻求建立消费者选择理论的最简集合的过程中，公理系统得到了发展，假如这些公理是随机的或有选择的决策是随机的，那么这类问题自然要涉及到概率的计算。这部分的内容似乎主要是一个附带的理论，然而事实上它对数学经济学的影响比问题的本身的含义要来得重要。
在某种意义上公理方法是更为基本的。它是以我们公认的原理为基础，建立和发展消费行为的规律。更为直接的效用方法假设存在着一个数学上易于处理的效用函数，通过函数最大值化推导出消费者行为的规律。
在公认的经济理论中，建立起来的生产企业理论称为新古典理论。人们认为这一理论不真实，不能代表现代商业家或工程师的决策和思考过程。这个理论的非数学部分，几乎也是用数学式子来处理了。关于这一点特别受到了批评。因为大多数商业决策者不知如何建立一个偏导数。在它们的解中所定义的一阶最大值条件也未能被接受。
二次世界大战时期，在美国发展起来的线性规划理论，（苏联是在1939）被认为是一种比较实际地描述了商业计划和决策的数学模式。在美国，它的最初发展是与军事决策有关，而苏联康特罗维奇（1939）在早期用来处理生产经济学。
典型的规划问题是与石油的精炼以及动物饲料配制等问题相联系的，在后一问题，我们寻求在达到一定的营养要求的前提下，饲料的最小限度的分量。显而易见，这个问题的计算对有效经营一个畜牧场，或是管理动物饲料的配料生产作出了相当的贡献。这些都是生产企业理论所产生的典型问题。
—个线性规划的模型，可以根据容量约束，通过分析生产过程而建立。如果每一个过程能在生产空间中表示成某一个确定的点，那么这些生产过程的线性组合决定了一些面，这些面形成了在容量极限约束下生产可能性的边界。这些边界约束与整个过程的线性组合一起，给出了一组线性不等式约束。随后再根据这些约束对总产值进行最大化处理。
与这个约束最大化问题相应的是最小化问题。前一问题中的约束变为对偶判别函数的权，相应的前一问题的判别函数中的权，变为对偶的约束。同样，前一约束中的约束不等式的矩阵中的行元素变为对偶约束不等式矩阵的列元素。在企业理论中，对偶定理可用来表达为生产预定产量而寻求导出最小消耗的问题。于是，这个理论可以从两个着眼点来认识——利润的最大化；消耗的最小化。前者是第一个问题，后者是对偶问题。线性规划和其对偶，能够简化为二人零和对策的事实，使对策论能适合经济生产的分析。但是这并非是经济学中应用对策论的原始动机。然而线性规划的对偶理论是前面所叙述的古典理论的一种现代化表示。在古典理论中标准的企业理论是作为最大值问题和最小值问题而—起提出的。
如果我们考虑到时间，那么在最优化问题中，就增加了一维。在一些有关积分求导的问题中，最优化过程中引入了变分法。例如资本理论（资本储备是过去投资的积分）或是储积理论（储积推测是依据价格变化——导数）。
宏观经济学
用简单的矩阵和向量表示法，一个经济生活中的数学模型，甚至在综合平衡的水平上，能够表达成看上去较为简单的形式。然而我们可能忽略这些简单的记法所涉及到的千千万万家庭、企业、商品和价格。于是为了得到便于人们理解的简单表示法，我们必须归并，这就是经济学中的归并问题或指数问题，我们必须利用这种归并原理，建立微观经济学和宏观经济学之间的数学桥梁。一个价格、生产、工资比率或类似经济量的指数就是用来代替所有那些详细的成分。
虽然在明确的形式下，归并关系存在的条件，是受到严格限制的，但能够建立一些充分条件。例如希克斯证明了消费行为的综合物质定理，这个定理指出在推导市场需求的数学规律时可以将一类价格按相同比例变化的物质当作一个单独物质来处理。然而价格并非如此简单地变化，其他的一些充分条件也同样受到限制，因此我们必须将宏观经济学的方程当作一种近似的逼近来处理。就是说在归并中有误差存在。我们一般通过对那些个体理论进行类比来建立宏观经济的方程系统。根据这类系统推导命题时，我们必须牢记它们不是严格的。一种方法可以将它们考虑为随机方程。以上介绍了分析它们性质的一种手段。
动态经济学对商业循环的研究一般地是建立在宏观经济学的方程系统的基础上，这里是N · 凯尔多（1940）建立的那种将经济作为整体处理的一个简单模型：
这一简单的归并模型模拟在综合平衡的稳定性研究中，模拟了决定价格的动态理论。利用归并原理，把对经济的整体研究化简化为对一些与少数归并变量有关的关系的研究。虽然它似乎十分简单，但对揭示经济中商业循环的过程是十分有力的。这一模型的原始公式是由凯尔多在建立J · M · 凯恩斯的静态理论的动态推广时提出的，凯尔多指出：如f和g有一些似是非线性形状，h是I－S的正函数且0=h(0)那么这个模型能够建立一个模拟商业循环的自调振荡。这种类型的模型在处理工资比率、价格水准、独立的生产单元、金融关系、外贸、公共政策等变量以及经济增长中的其他更多的因素时变得更加精确。事实上后一问题引起了经济学家的重视。他们把注意力从商业循环问题（假定在实际生活已被控制）转到了成熟经济学中增长的数学模型和新生经济学中发展的数学模型。
在增长的数学分析中出现了两篇占主要地位文献，冯 · 诺伊曼的一篇著名论文研究了发展经济的一般模型，它包含许多互相关联的部门和单元。他为这类经济问题建立了获得一个平衡增长的条件，即各个单元以相同的比率发展，这个共同的比率与利润比率是相符合的，这个一般的结果极大地刺激了对建立具有平衡增长特性的二三单元的归并模型的研究。
在研究这类问题的过程中，这种模型使人们对古老的总资本概念产生了许多怀疑，古老的总资本是这样度量的：
在这些度量中Ii代第i个区间内需要的新生产资料的总量，λt-i是由技术成归和机械损耗引起的权重因素。这样前面在资本的古老定义下的增长模型不得不在最佳度量的概念下重新调整。这里宏观经济学和指数法仅仅从一个方面展开了讨论，即把经济当作一个整体，建立和分析归并模型。这一学科的另一应用是解决理想的度量的问题。大多数人熟悉“生活开支”这个概念，可是经济学家有一个特殊方法来度量这个概念，他们寻找某人在环境A中试图获得与环境B中收入相同的生活水平所必须花费的钱的指数。这导致了间接效用函数的建立。μ[x1(P1…Pny)…xn(P1…Pny)]以及由du=0定义的微分方程的积分。这个问题的解表明了真正“生活开支”是怎样由个体需要函数Di= xi(P1…Pn1y)的参数来定义的。
在指数建立方面，其他一些理想的度量形式是对产量、成本和生产率的指数的度量，这些问题依据的是企业数学理论的结果，正如生活开支指数的建立依据的是家庭数学理论的结果。
计量经济学
许多人将“计量经济学”和“数学经济学”这两个名词当作同义词来使用，这里我们将阐述它们两者的不同之处。有些人在这两个领域中都擅长，在计量经济学协会的成员中这两方面的人才都有。然而计量经济学家主要研究经济学中的度量——如何在理论上建立度量，如何将它们应用于实际。从某一角度讲，指数建立问题和资本度量是计量经济学问题，但是它们也可以看作是福利经济学或增长系统的抽象分析中的纯粹理论问题，计量经济学的度量问题一般是在实际应用的观点下提出来的。至少在原则上是如此。
计量经济学的一个作用是对经济理论中的数学方程进行估计。这种估计一般是在误差限制下决定参变量的数值。需求方程、生产关系，或宏观经济模型的方程都是计量经济估计的对象。
这类估计的一般方法是将数学经济学置于一个随机形式下进行研究，尽管大多数的数学经济学问题是确定的，但这在计量经济学中是相当基本的方法。根据误差分布规律运用数理统计的原理，对经济参数进行估计。必须用随机关系来处理的理由是因为存在着归并误差和省略的变量。我们所简化的经济生活的数学公式并不能充分细致地包含所有影响经济行为的变量。
最简单的情况是估计有如下形式的经济关系的问题：
yt=f(xtiα)＋et，t=1,2，…
它是从样本观察中得到的。这类样本是在不同的时间点上（时间序列）或是不同的场合（截面样本）中获得的，或者是两者的组合。它们可以是通过对个体经济学单位或是社会集团的观察而得到的。et代表随机误差，α是要估计的参数，如果我们注意到样本几乎总是非实验性的，那么，这就是一个特殊意义下的数理统计的问题。
更一般的说，在经济关系中存在着许多相关的变量，在收集数据的非实验性样本的过程中也存在着许多同时起作用的关系。T · 哈佛尔莫（1944）对经济关系的计量经济学进行了研究，而在前一个时代沃勒斯则是对经济关系的数学作了研究。在不能通过实验建立观察数据的假设下，哈佛尔莫为经济生活中同时性的计量经济学建立了逻辑的推断。由于在整个系统的每一个方程中，yit互相彼此确定，我们不能用通常的方法对一个给定关系本身作估计，即将一个yit回归到其全以及方程中的xi上。哈佛尔莫指出，在估计系统的所有方程时我们应该考虑系统的性质和yit的相互作用的性质，他的模型的一般形式是
f(y1t…ynt；x1t…xmt；α1…αr)
=eit(i=1，2…n)(t=1，2…T)
这个模型中，在n个相关变量yit和m个可关变量xit之间存在着n个关系，这些关系是随机的，并且受到n个随机变量的影响。
目前已经建立了各种不同的参数估计的方法，这些方法正应用于非常庞大的系统，有些系统由300个方程组成。
在方程系统的估计中，计量经济学的研究目的是给数学经济理论提供经验性内容，也是为了探索研究经济整体中的现实事件及其市场的各个单位。实用计量经济学的结果能用来为国家、政府、国防组织、商业或公共组织制定经济政策。一个有关经济关系及其内在联系的严谨的数学公式和统计推断的数学理论一起最终解决了经济生活中估计模型的建立，这种经济生活对重要的社会事件有着切实的适应性。数学是不能单独完成这一工作的，但是为应用经济学服务的数学，在精细的数据收集、处理和综合经济思想的发展的帮助下，起着合适的组合作用。
计量经济学工作不仅涉及到使用统计推断的方法对经济关系进行估计。计量经济学的另一个重要的描述性问题是试图决定经计量的分布。这类分布函数在经济关系的估计中起着一个重要的作用。正如我们在前段看到的，它们在整个归并和指数理论中也有着十分重要的意义。十分明显，经济的福利是与整个经济生活中的报酬的分布相关的。因此，这是一个古老的问题，它一直可以追溯到波雷图为了解释人与人之间收入和财富的分配问题所作的研究。决定企业的分布，价格变化的分布，也具有同样的重要性。这里的数学问题是建立一个随机过程、比如一个差分或微分方程，它能解释那种观察得到的收入和其他经济量的分布情况。在许多研究方法中，一个富有成效的方法是迁移概率中关系的固定法，迁移概率指出了第t段时间中i收入类中的人在第（t+1）段时间时进入j收入类的百分数。D · 张伯诺文（1953）指出：如果迁移概率Pij仅依赖于i，j之差，Pij=q(i－j)，当收入类的范围以几何级数扩张，则从一类移到另一类的运动的那种有限分布将是波雷图形：
这两个公式是仅有的收入分布的著名参数形式。还有必要对计量经济学中分布的随机产生，建立进一步的数学分析。其他形式虽也有发展，但这仍然是一个没有充分解决的问题。
从统计推断的观点出发，W · 里昂切夫在投入产出分析中发展了一种新的方法，这是一种精细的数学度量，引出了广泛的数学理论。这一方法主要是非随机的，但也能给予它一个概率性的解释。计量经济学对矩阵（I－0）分析的意图是为了在复杂纵横交错的经济中探索分散生产者之间中间流量。我们假定从生产单位i达到生产单位j的物质是xij，第i生产单位的总输出量是xi，它的产品的最终需求是Fi，最终需求指的是总输出量除去中途运给其他生产单位物质数量。最终使用者指的是家庭、政府和外国人。由定义我们有：
用矩阵记法(I－A)x=F。收集数据来决定xij和Fi是一项艰巨的工作，然而一旦对一个基础年份完成了这一工作，剩下的主要数学问题就是求下式中的逆矩阵，X=(I－A)-1F并且建立其性质，逆矩阵(I－A)-1的知识使我们能够在假定的不同最终需求向量F条件下估计工业输出向量X。这一方法在分析一个经济中是必不可少的工具。许多国家都建立并处理了十分庞大的系统（矩阵从100×100到500×500），它在发展中国家制订开发计划方面以及发达国家制定应急计划方面有着十分广泛应用，目前正在将它和用推断方法建立的归并模型结合起来，以致能够估计整体范围的经济活动及其工业结构，社会主义的计划工作者，在制定他们的n年计划时也在充分利用(I－0)的结果。
结 语
现在数学在经济学中的运用已经十分流行。人们开始承认和接受数学方法。美国教育界已作出了明确的决定，即把对数学知识的要求代替了传统上为获取博士学位所需要的一门或几门外国语。因此承认数学方法的争论已经结束，但是数学经济学和计量经济学将如何发展，仍然只是猜测。
毫无疑问，在过去的几年里，数学的能力得到了广泛的增长，数学的成熟性也得到了了不起的发展，数学的一些专门分枝愈来愈显得需要进一步发展。数学分析，线性代数，集合论，拓扑，概率论，数值分析和微分方程就是一些例子，数学经济学虽然已摆脱了模仿物理、工程来应用数学的时代。但是很少有例子能够说明这一学科已经引起了自己的数学分支，或者是为重大数学新发现提供了刺激力。这种时代可能会出乎意料地到来。目前的问题是巩固经济学中的数学方法已取得的发展。
在经济分析的历史中，有过某些风行一时的狂热，然而数学方法似乎不像是又一种即将消失的一时狂热。但是为了保持已经取得的进展，未来的一代经济学家必须意识到数学并非灵丹妙药，经济问题是确实复杂困难的，曾经在物理和数学上作出新成就的最伟大的科学天才，当他们注意力转向社会科学时，并不能对经济学产生同等的影响，或许像M · 莫里西玛在计量经济协会上作的首席演讲中说的，有过一场冯 · 诺伊曼革命，但是这只是有限范围的一个例外情形。
一些经济学的分支，似乎并不需要数学处理，例如经济历史，社会目的的经济哲学，部分的政治经济学。一个全面的经济学者必须更进一步了解这门科学中的除数学以外的知识，如果将来的一代能够做到这一点，并且掌握了数学工具，他们必然能取得强有力的新结果，经济直观能力和世界事物的知识很可能会产生新的各类问题。于是相应地为了解决这些问题，必然要依赖于数学分析的新颖方法。
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* 劳伦斯·R克莱恩是宾夕法尼亚大学的经济学富兰克林教授。在宾州他负责一个美国经济的综合数学模型，这一模型由70多个联立方程组组成，用来分析经济，为政府和商业作出预报，克莱恩教授对经济学和数学的双重兴趣，起源于他的大学生活。并且在加州大学学习期间一直持续下来，虽然，如他所说：“选课指导教师劝告他少学些数学。”他获得的博士学位是麻省工学院所授予的第一个经济学哲学博士。在麻省工学院声研究生时，他受到P. A. 塞缪尔森的很大影响。