怎样才能知道我们生存的空间是弯曲的，还是平直的；又为什么说咖啡杯像一个面包圈而不像一个网球？数学家们发现这些问题不是如他们以前所认为的那样互不相关，这些问题的解答为我们展开了新的研究领域。
在最近几年中数学的一个最显著的发展是它的不同领域综合在一起的方式。二十五年前，当我是一个研究生的时候，数学是一个蓬勃发展的领域，分成越来越多的独立的学科。现在这门学科的发展又加快了，但同时在显然不同的论题之间出现了意想不到的联系。例如拓扑、几何、微分几何这三个领域，由于在二维和三维方面惊人的突破，一下子汇合起来了。
让我从微分几何说起。这门学科研究“度量性质”——诸如点与点之间的距离、表面面积、体积等量——我们可以用仪器来测量它们。举一个问题为例，一个微分几何学家可能用什么方法确定一个圆的塑料球的表面不是平的？他可能用以下方式进行。用一把小刀从球上切下一块帽状物。然后沿着帽状物的周围切下它的极细的边缘，又切下一细条直径（图1a和b）。取出直径和边缘并将它们在平面上贴平。如图1c所示，现在直径伸出边缘之外了。假定直径的长是d，则直径伸出的长度e近似地等于d2的常数倍——当球帽越来越小时，它的近似程度越来越高。德国数学家K. F. 高斯首先有系统地研究了这一现象，上述的常数因此被称为“高斯曲率”。微分几何学家知道这个球的表面不是平的是因为它的高斯曲率非零。
为了方便，我发明了“高斯实验”这一名词来代表图1所显示的这一类过程。这个实验意味着什么呢？首先可以看到，这个实验原则上可以在球面的任意小部分进行。换句话说，我们考虑的是一个局部的度量性质。其次，这个实验需要用测量仪器：一个用以划出帽状物界线的圆规；一把用以测量有关长度的直尺。第三，这个实验原则上可由一个生活在这个球面上的二维动物来完成，但它不能检验和测量不在这个球面上的任何事项。
如图1所示的实验实际上用到外部空间的性质，例如要将边缘和直径压平，但这仅是一种方便的说法，而不是非此不可的。那么，一个生活在这个曲面上的有智力的蚂蚁将如何进行高斯实验并测量曲率？首先，它必须标出一个点作为实验的参考中心点。然后从这个点向每个方向步行d/2的距离，由此画出一个以这个点为中心，以d/2为半径的圆周。再沿着圆周用行走计步的方法（如能应用更精确的测量方法更好！）量出圆周的长度。最后将测得的长度与欧几里得几何平面上圆周长）加以比较，估算出曲率。
现在，假定我们在一张平纸上进行高斯实验，它的边缘与直径仍然完全适合，所以它的曲率是零：一张平纸是平的。令人惊奇的是用同样的方法也能证实一个圆柱的“弯曲的”表面也是平的；这似乎完全错了。一个弯曲的表面怎么会是平的呢？这个混淆是由于我们在运用“平的”这个词时，混淆了它的两种不同含义的结果。第一种意义是通俗的，例如我们说平的桌子和平的地板。第二种意义是专门的数学语言方面的：它的高斯曲率是零，即在进行高斯实验把边缘和直径在平桌上压平时它们正相适合。圆柱的表面可由一张长方形平纸粘接两条对边做成——这就是对它作高斯实验得到一个完全适合的结果的原因。
图1的球面具有正曲率，一张平纸具有零曲率，哪—种曲面具有负曲率呢？某些树叶如冬青树叶具有负曲率。为了检验这一点，你也可对它做上述的高斯实验。这时你将发现，它的直径不但不能伸出边缘之外，而是与边缘有间隙——直径不够长。假设有一条生活在此叶片上的二维毛虫，它在固定半径的范围内将会比在平叶上享受到更多的食物；原来这个圆的面积要比在平叶上同样半径的圆的面积大。
负曲率的另一个实例是冷却塔的表面（图2）。负曲率的实际效应可以这样显示出来：设想有一个承包人要在冷却塔的表面上半径为10米的圆形范围内涂上漆。如果他运用从学校学来的圆面积公式xr2（r是半径）来计算漆的需要量的话，他以后会发现漆不够用。因为实际面积要大些。
常数曲率的曲面是这样一种曲面，不管在它的哪一部分做高斯实验，结果都一样。球面具有常数正曲率；一只鸡蛋，虽然处处具有正曲率，但不是常数曲率。具有常数负曲率的最重要的曲面叫做双曲曲面。可惜这种曲面如果不加以整个变形，就不能在我们通常的三维空间中实现。这就和我们不能在一张平纸上不加扭曲地画出地球表面的地图相似。对于地球表面，虽然我们不能在二维的平面上，但能在三维空间的球面上画出一个精确的地图。但要实现双曲曲面，即使在三维空间内也不能做到。
为了理解双曲曲面我不得不用距离失真的地图。地理学家可以根据他们所侧重的特征画出不同类型的地图。有的地图能精确地描绘角度关系——我们熟知的麦卡托（Mercator）投影就是一例——其他的地图能精确地描绘面积。但是因为地球表面具有非零曲率，没有一种平面地图能精确地描绘距离，虽然在大范围内距离甚小时误差通常可以忽略。同样，也有不同类型的描绘双曲曲面的平面图，但其中的距离都走样了。
其中之一叫做双曲曲面的庞加莱模型，实际上它的发现更应归功于黎曼。这个模型是用一个平面圆盘来表示一个双曲曲面的。如果在双曲曲面上画出无数个完全相同的图形，那么，因为平面图扭曲了距离，看起来位于圆盘中间部分的最大，越接近边界的越小。由于同样的道理，在地球的平面图上，对应于地球上同样的图形，靠近边缘的反而显得大。从几乎所有的平面地图上看，一个没有经验的地理学家会错误地认为格陵兰大于澳大利亚。
如果在双曲曲面上画出一个规则图形，其中无数交错的直线构成无数同样（双曲的）大小的三角形。那么在小范围内，它类似于欧几里德（平直）几何，它的三角形像欧几里德三角形。但在大范围内欧几里得几何与双曲几何之间的区别越来越明显，这时必须将双曲曲面上的直线画成圆弧形。由于同样的道理，使古代人相信大地是平的。
在十九世纪，J · 波耶，高斯和N · 罗巴切夫斯基发现了这个双曲曲面。这对于数学，哲学和科学以及人们的宇宙观等方面都有极深远的意义，它使得人们从二千五百年前就开始的证明欧几里德“平行公设”的尝试不再进行下去了。这个古希腊的思想是要陈述若干条所谓几何公理，诸如“有一条唯一的直线通过两个已知点”。至于一条“直线”或一个“点”的精确的本质并无关系——唯一要求的是这些对象（不管它们是什么）满足所叙述的公理。平行公设说：“给定一条直线及这条直线外的一点，有一条唯一的直线通过此点并与已知直线不相交。”二十五个世纪以来，数学家们苦心思索平行公设是否能从欧几里得几何的其他公理推导出来。在悠长的历史上，出现了许多谬误的“证明”。但是在双曲曲面上，平行公设肯定不成立；而所有其他的欧几里得几何公设都能得到满足。由此得出结论，平行公设不能从其他公理推导出来。
为了理解这一点，我们必须精确地说出双曲曲面上的“线”和“点”到底是什么。一个“点”还是通常的点，如图3中的P点。一条“直线”是一条直径或是一段垂直于这个圆盘的边界的圆弧，如图3所示。这类直径或圆弧实际上是两点之间具有最短双曲距离的线路——记住这个距离在平面图上已被扭曲了。同样，在球面（例如地球表面）上，两点（或两地）之间最短的路线是通过这两点的大圆的圆弧，而不是地图上用直线连起来的路线。
图3表明在双曲曲面上给定一点P和一条不通过P点的直线L之后，是怎样画出无限多条直线通过P同时与L“平行”的一一就是说它们与直线L不相交，图3所画的直线是完整的直线，并无被省略的部分。它们在每个方向上无限伸展，但是看起来是有限长的，这是因为在平面图上距离被无限地扭曲了的缘故。
在十八世纪，哲学家I · 康德曾经提出这样一种理论：根据“先验综合真理”就能推断平行公设和牛顿运动定律是正确的。在十九世纪初期，所有的知识人士也认为这是不言自明的。双曲曲面的发现推翻了这个理论的一半，相对论和量子力学的诞生又推翻了这个理论的另一半。从心理学上说，这个结果必将挫折人们的直观信念。在数学上说，这个结果必然使人们已经感到的这种需要成为必要了：在建立数学基础方面需要有严格的新标准。
附录 宇宙的曲率
就我们的宇宙而论，实验表明，除了由于引力引起的局部弯曲而外，很合理地是平直的。但是目前的实验数据还不能精确表明，如果略去微小的局部的变化，我们的宇宙在大范围内不是一个平直空间。如果宇宙真是平直的，实验数据将永远达不到足够精确的程度。但是如果宇宙是弯曲的，天文学家将有可能在不久以后计划中的天文望远镜建成之后来确定它。同时，宇宙学家们已经提出各种各样的曲率模式，但是在缺少适当的实验数据的时候，还只能认为它们是推测性的。
为了测量宇宙的曲率，我们无需超越宇宙空间从宇宙的“外部”来观测宇宙的曲率。我们能从宇宙内部做实验来观测这个曲率。然而测量方法受到限制，实际上，任何试图证明宇宙的曲率非零的类似的高斯实验，必须有许多万光年的直径。
在描述了一些微分几何和双曲曲面之后，我现在要愉快地讲述一些拓扑学。拓扑学通俗称为“橡皮几何学”，它是研究空间（对于这里的“空间”一词，读者可以构思一个实例）在弹性变形之后那些保持不变的性质的学科。设想这个空间是极有伸缩性的，但完全不是胶粘的。胶粘物体的例子是用腊泥塑料做成的一个实心的环，你能用手把它捏成一个球，因为腊泥塑料会自身粘合。但是这种做法在拓扑学上是不允许的。对于拓扑学家来说，咖啡杯和实心环是“同样的”。为了看清这一点，设想咖啡杯是由很弹性的物质做成的。首先我们把杯子的上部压进杯底，仅留下作为杯底的弹性圆盘和与之相连的把手。然后把圆盘压进把手，最后仅留下把手，就是实心环。
与微分几何不同，在拓扑学中不涉及度量性质。拓扑性质通常可以不用仪器来决定——例如用到计数就可以了。关于拓扑性质的第一个也是最重要的例子是所谓欧拉数。假如你在一个实心物体的表面画出一些三角形，并使它们沿每条边规则地相处，则欧拉数等于顶点数减去边数再加上三角形的个数。即使你用完全不同的方法画三角形，这个数也是同一的。在不同方法中，不管仅有几条边，或多至百万条边，最后总能得到同一个欧拉数。由此可以推出，以上所描述的这类弹性变形不会改变这个欧拉数。球的欧拉数总是2，实心环和咖啡杯的欧拉数都是0。这就证明了咖啡杯与实心环在拓扑上是同样的，但与球不同样。
在微分几何与拓扑学之间具有什么联系呢？在拓扑学上我们可以任意延伸空间并改变它的度量性质。由黎曼和希尔伯特提出的一条卓越的定理说，任何曲面拓扑等价于一个常数曲率的曲面。举气球为例，一般气球并不是完全圆的，它们具有正曲率但不是常数曲率。但是总能把一个气球变成完全球形的。
在三维空间中，面包圈的表面（数学家称之为“环面”）具有变化的曲率如图4所示。然而仍有可能在四维空间中使这个表面变成平的（即变得曲率处处为零），虽然在三维空间不能。要理解如何做成平的环面，我们必须用一张平纸。我们从长方形纸片ABCDEFGHIJ做起，粘合对边ABC与HGF，得到—个上下边界为圆周的圆柱表面。然后我们使上下圆周互相粘合（图5）。可惜这张纸在后一次粘合中必然要发生皱折，因为我们只能在三维空间中操作。
黎曼和希尔伯特的命题的另一种表述方法是：每个曲面拓扑等价于一个具有一种几何结构的曲面。这里说一个空间具有一种“几何结构”，意思是如果在这个空间的不同点作局部实验其结果都无区别。在二维空间有三种类型的几何结构：具有常数正曲率的球面；处处具有零曲率的平面；具有常数负曲率的双曲曲面。对于曲线来说，仅有一种几何结构——直线。一只一维的生活在一个圆周上的甲虫能通过大范围的实验，判断它是生活在圆周上而不在直线上。但是所有的局部实验是不能辨别圆周和直线的。
近代拓扑学研究的一个重要方向是证明由普林斯顿大学的瑟斯顿（William Thurston）提出的一个猜想，这个猜想说，只要三维空间满足一些简明的必要条件，一个几何结构就能在这些三维空间中实现*。瑟斯顿的猜想已经是很可能继续是近代研究低维拓扑学的主要动力。对它的研究源源不断地涌现出新的和使人感兴趣的问题，产生出一连串的博士论文和研究文章。在三维空间中有八种几何结构。最常出现的类型结果就是具有常数负曲率的——它是双曲型的。（在四维空间中则有无限多种几何结构。我从前的学生艾里普基维兹（Rick Eilipkiewicz）研究过它们。）
有一些杰出的例子图示瑟斯顿的猜想并有助于数学家相信它的真实性。瑟斯顿事实上证明了对于通常欧几里德三维空间的一个纽结的“余集”一一就是三维空间中这个纽结以外的部分这个猜想的真实性。这个“8”字形纽接的余集有一种几何结构可通过粘接两个正双曲四面体的面构造出来。可惜这个事实在这篇短文中难以演示。在沃里克大学数学系有显示这个事实的模型。
关于瑟斯顿的猜想，甚至仅限于被认为是正确的部分，其意义也是相当大的。例如图6所显示的纽接是一个拓扑的对象，并无特定的度量性质。它是“柔软的”：我们能使它变形而不改变它的本质。但是当一个几何结构被安装在这个纽结的余空间中时，每样东西都固定不动了。例如，它使得纽接的余集的“体积”这一说法有意义。这个体积并不是用由欧几里德平直空间所决定的欧几里得体积来测量的，而是用到三维双曲空间的自然体积。看来双曲体积本身一定是一个三维空间的最重要的拓扑不变量之一。和经典的不变量不同（例如欧拉数），它是实数而不是整数。对于拓扑学家来说，这个由于几何和拓扑相结合而产生的见解，本身就是一个令人兴奋的新现象。
[New Scientist，1985年4月]
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* 译注：关于这个猜想可参阅瑟斯顿与J·R·威克斯的文章《三维流形的数学》（译载于《科学》1984年11月）。文中的说法是：“在把一个三维流形分解为素流形之后，结果得到的每个素流形事实上都能容许一种局部齐性几何，它属于这八种可能的几何之一。”