提要：自然界的物体，诸如山、川、云、树，有这么多不同的形状和大小，要用科学的语言来表征它们的形态，这是向我们提出的一项重大挑战。本文探讨从着手研究这个问题至今所获得的进展。

自然界物体所具有的不同形状是如此多种多样，以致我们想数也未必数得过来。我们可以说的是，它们中大多数的外观是令人喜爱的，有时它们是如此精美，不觉教人心生敬畏。从太古时代以来，许多诗人赞咏大自然的美德，无疑增进我们对大自然杰作的回响。然而如果我们试着把诗人们的想象翻译成无甚诗意的科学语言，就会很快发现词汇的匮乏。在无以计数的自然界物体形态中，大部分是很复杂的，难以对它们作简单的表征。进而言之，没有什么公认的数学的或其它的语言，可以用于大自然形态学的描述。

直到本世纪（20）之前，自然界的几何描述几乎无例外地建立在欧几里得著作的基础之上；就是在20世纪，欧氏几何（现在有几种新的理论与它争论）仍然在较大范围内起重要作用。欧几里得的著作直接取名《几何原本》，是继《圣经》之后出版流行最广的读物。自从1482年首次印刷之后，一直没有中断过，至今再版已大大超过1000次了。欧氏几何给我们提供了关于现实的理想化描述。在那里，点没有容积，直线没有粗细，所有的圆和球都是理想的。不管它对大自然的这种显然的歪曲，欧氏著作已经施加的深刻影响是毋庸置疑的。

古代希腊人找到了欧氏几何的各种应用。他们用直线和角来解释透视和按透视法缩小的物件；用球形来计算行星的天文观察的结果；用直线和圆来描述包括杠杆应用在内的力学过程。这种思想在随后两千年中保持下来，这显示在当今科学家的表述之中。在这里我们只引用三例。1596年，开普勒（Kepler）在《神秘的宇宙结构》一书中叙述环绕太阳的行星数或轨道数是无上智慧的造物主从五张立体图中引导出来的，有关情节欧几里得在几个世纪之前就写在他的书上。与此相似，1610年伽利略写道：“（自然）哲学书籍就打开在我们眼前，但是因为它是用与我们不同的字母系统写成的，所以谁也读不懂。这种书的字体是三角形、正方形、圆、球、锥、角锥体以及其它最适合这类读物的数学符号。”在更近的年代，物理学家C • 麦克斯韦（C. Maxwell）宣称：“确实的科学进步依靠……正确的观念，我们可以靠它来形成对事实的精神表述，从欧几里得直线到法拉第力线，都是科学赖以进步的观念的特性。”

欧几里得黯然失色

前已提及，特别在20世纪，一个脱离欧氏几何统治的运动日趋明显。这股潮流势头缓慢，它已取得基地，只是部分科学家还有些不放心。所以还不能说非欧几何今天已风靡于世。虽然大多数观察者同意不再让欧氏几何作至高无上的统治，但还是有点勉强。现在已没有人去期待自然界遵照严格的欧几里得解释行事了。随着爱因斯坦著作的面世，遵照欧氏解释行事的观念最后破碎了。爱因斯坦指出：“测杆和测钟的行为受引力场的影响……这一事实足以排除在我们的宇宙中欧氏几何严格有效性的可能。”然而由于旧习惯不易触动，欧氏几何概念仍然作为一种对现实的方便的第一近似而被经常应用，就不足为奇了。我们就用哲学家M • 布赖克（M. Black）互相矛盾的话来作结：“大部分高度发展了的有用的科学理论显然是用经验中永远碰不到的物体来表述的……数学家是用理想的物体来构建理论，而实验科学家观察的物体——它的被理论所要求的性质……只是近似于真实而已。”

从现代的观点看来，真实的世界是砂砾般的、不规则的、混沌的、缠结的——事实上不是欧几里得的。这种看法在B • 罗素（B. Russll，英国哲学家、数学家、分析哲学主要创始人）的揶揄妙语中作了简结：“宇宙充满斑点和皱折，没有统一性，没有连贯性，没有相关性和秩序，没有其它任何为家庭教师所喜爱的性质”（见《科学展望》）。我们是怎样得到这么一种正确看法的呢？我们能够在这里回答的只是简明的轮廓。一切从很久以前开始，甚至要追溯到古代希腊；那时的数学家就对欧氏几何提出质疑。他们对下面这个公理感到特别的不顺心：通过不在已知直线上的某一点只能画一直线与已知直线平行。这样两条直线延长到无穷远永远不会相遇。这个观念无法用实验验证，因而受到怀疑。的确有这么多数学家对这条公理提出质疑，1767年，D • 阿拉贝特（D' Alembert）甚至把这条公理说成是“几何学的丑闻”。第一部探讨这个问题的出版物是意大利数学家G • 萨克茨里（G. Saccheri）写的一本书《欧几里得的辩护》。在假定通过一点不止一条直线可以平行于已知直线之后，他就能证明非欧几何的存在。但是在那时，这个观念是如此不可思议，致使萨克茨里说服自己，实际上去证明欧几里得是正确的。大概第一个理解这种可能几何的创新性本质的数学家是德国的C • 高斯（C. Gauss）。他早在19世纪就研究这个问题了，但是因怕人嘲笑而不敢发表他的研究成果。最早自由谈论非欧几何的出版物是俄罗斯人N • 罗巴切夫斯基（N. Lobachevsky，1829年）和匈牙利人J • 波尔耶（J. Bolyai，1833年）的著作。

非欧几何的出现有着对未来数学发展的解放效应。主要的新见解即将来临。比如，空间描述并没有一般采用的那样简便易行，特别是空间维的概念需要做某种修正。1843年，英国数学家A • 坎勒（A. Cayley）写了一篇关于高维几何的文章，引入n-维几何的观念。这里n是整数，可取大于3的值。1865年，德国的J • 普鲁克尔（J. Plücker）接着提出，不需要把空间看成是由点构成的。别的几何实体，诸如直线和圆，同样可以把它们设想为充填在空间里。普鲁克尔提出，如果一个这样的实体的集合联系着一个坐标系，那末用来表征的空间维等于在规定集合中的一般实体时所需要的坐标数。在用这种方法来处理空间时，如果所用的实体是点和直线，则平面是2维的，但圆是3维的，锥形截面则是5维的；空间本身，点和平面是3维的，直线和球是4维的。因此，空间任何区域的维是由用于充填它的几何实体的种类来决定的。理论上任何维数可以按照几何实体的选择来指定。这样，具有分数值的空间概念的基础已经奠定，这是一个等待着20世纪曙光显露的概念。

（图1）

分数维的概念最先是在德国数学家F • 浩斯多夫（F. Hausdoff）的著作里（1919）提出的。几年之后，由A • 贝锡柯维支（A. Besicovitch）作了实质性的推广。这个概念适合于描述高度不规则物体，我们只在这里指出它是怎样定义直线和三角形的。设想把一条直线平分成三段，删去中间一段，再用两条等长的直线来代替它，形成一等边三角形。可以任意次连续重复这样的步骤，（见图1）。就三角形来说，我们设想它被接连分成越来越小的恒等三角形，这些三角形恰好盖住原来三角形的面积，这一过程见图2。直线的运作产生了房柯胥（Von Koch）雪花；三角形叫锡尔宾斯基（Sierpinsky）垫片。两种几何物体都具有“自相似”的性质——即直线和三角形的亚分总是产生与初始物体几何形状相似的物体。浩斯多夫用下面的关系式来定义这种物体的维数d:

d=logN-log（1/f）

这里N是初始图形在每一步骤所产生的复制品数，f是比例系数。这样，对房柯胥雪花，d=log4/log3=1.262；对锡尔宾斯基垫片，d=log3/log2=1.585。

陆界的几何

在上列各种几何中，任何一种都可以用于自然界的几何描述。数量这么多，意味着20世纪的科学家而对一大堆供他们抽取的选择物。该就何种几何最适合于表征现实做出决断了。然而在对这一问题有可能取得一致之前，由于法国数学家波因卡（H. Poincare）的意外干预，使我们改变了对这一需要解决的问题的理解。波因卡，一个多产作者，在他有影响的著作《科学和假设》中公布了他关于这个主题的新思想。波因卡的观点是：我们可能建立的所有几何，没有哪一种能提供有关自然界的严格有效的描绘。他的理由是，由任何几何公理组成的常规都是为了他们的方便而选取的，并不是因为它们提供了现实的精确的反映。物理学家H • 霍姆赫兹（H. Helmholtz）和数学家W • 克里福德（W. Cliford）对此较早作出反应；波因卡认为“几何公理只是装扮出来的定义，那么我们是怎样考虑这个问题的：欧氏几何是正确的吗？它没有意义。我们还可以问，米制是否正确，老的重量和测量是否错了？”他在这个题目上煞费苦心，论证道：任何几何的第一原理都不是由逻辑施加给我们的，空间结构不是由我们的感觉揭示出来的，所以几何不是经验的产物。这样，在本世纪开头，欧氏几何就不再被认为是什么绝对权威了。尽管它曾经有过这样一些突破：开普勒日心说、牛顿天体力学、麦克斯韦电磁理论。

（图2）

任凭这件事情的戏剧性曲折，有一本探讨欧氏几何在表征自然界中的作用的书在1917年出版了。著者D • A • 汤普生（D. A. Thompson），书名《生长和形态》，其意义非同小可；它至今仍在刊行。S • J • 高德（S. J. Gould）说它是“20世纪科学作品中最伟大的散文体著作。”汤普生基本上是一个动物学家，他的观点是，“世界的和谐是从‘形态’上表现出来的.........心灵和一切‘自然哲学’的诗篇全都体现在数学美的概念里。”虽然汤普生的研究工作以欧几里得为基础，但是他还是想扩展对欧氏的研究来达到他自己的特定目标。因此，他就从等边三角形开始，按比例尺制成比较大的和比较小的相似三角形；他能导出一系列的旋转曲线，用它们来模拟诸如海贝和兽角之类的东西。也许让汤普生最难忘怀的是他用坐标系来描绘各种各样的动物种族。他用不同方法让坐标系变形，以形成新的描绘，使它看起来明显像别的熟悉的动物种族。图3是一些鱼类的例子。汤普生曾经指出，按比例制图在大自然是重要的，尽管它的几何图形只是粗略地近似于现实。他说，无生命物体的“美丽多姿比起让我们倾慕的有生命物体来是毫不逊色的。海浪，山峦的轮廓，云层的形状，凡此种种，有着那么多的形态之谜！”

（图3）

更为新近的著作是由数学家B • 门德尔布洛特（B. Mandelbrot）写的，它大大提高了我们对按比例作图在描述自然物体中的重要性的认识。他扩大对各种按比例现象的考察范围，整理出版了三本专著。第一本用法文写，1975年出版。其余两本延续到最近，用英文写，在旧金山出版。它对许多种完全不同的研究作了一个新的综合。在某种意义上说，那些研究除了遗忘的以外是无所不包了。它们都是有关高度不规则物体的数学描述的，不但包括所谓病理学几何物体，而且包括许多自然物体，如各国的海岸线（陆界）。由于那时没有发明出什么词汇来称呼这些物体，门德尔布洛特就创造了一个新名词——分形（fractals）来称呼它们。fractals是从拉丁字（形容词）fractus演变过来的，原意是不规则或碎片。门德尔布洛特的基本观念是：理解和表征分形物体的钥匙会在“维”的概念探索中找到。在他的著作中，他的确利用两种不同的维：浩斯多夫-贝锡柯维茨维d和拓扑维dt。后者常有一个整数值，是需要考虑把物体分成两部分时用切割的形式来定义的。如果切割处是平而，物体是3维的；如果切割处是一条线，则物体是2维的；如果切割处是点，物体就是1维的。对于平滑的规则物体，他用的2维是与欧几巫得维d_E相同的。而对于分形物体，它们可以区分并满足一般关系式：

d_E>d>d_t

龙形带来的喧闹

门德尔布洛特把这么多杰出的数学家的成果汇集到一起，必然对整个科学事业作出有益的贡献。这些科学家中有浩斯多夫、贝锡柯维茨、房柯夫和锡尔宾斯基。当他写出“这些巨人著作的影响范围远远超过他们的预想”时，他自己也在数学家的突出贡献中送上一份礼品。然而他的这个尝试始终带着一个重要缺陷，就是所订目标过于好高骛远，他要在一个相对来说比较简单的设计图姐包罗整个大自然的复杂性。门德尔布洛特想用许多不同的彩线去编织一张巨大的织锦，他想提供一幅包含我们整个世界的图画。这是做不到的，事情的真相与他的编织十分不同——这个事实在用各种办法去定义什么是分形时就看得很清楚。开头，他把分形定义为浩斯多夫-贝锡柯维茨维大于拓扑维的物体，即一切d>d，的物体。然而，不久就搞淸楚，大量行为与分形相像的物体被排除在这个定义之外。于是他试着建立新的定义；新定义把分形描述成由以某种方式使与整体相似的各部分组成的形状。他已无法对这个模糊的定义进行改进，目前看来它大概是讨论分形的最好一种办法了。最后，我们似乎除了遵从K • 法尔柯纳（K. Falconer）别无选择了。法尔柯纳认为，我们应当像生物学家看待生命那样来看待分形；尽管可以列举出许多有关这个概念的特征，然而不存在没有生气的陈套的定义。

即使把定义分形的困难搁在一边，也还有另一个更重要的问题须要解决。这就是：分形真正表示的是什么？门德尔布洛特宣称，他已通过识别形状——分形族从而构想和建立了一种新的大自然的几何。但是分形是严格的数学物体，具有许多稀奇古怪的性质，这就是为什么把它们的几何描述为病理学几何的原因所在。举例说，1维线弯曲成一条所谓“充塞空间的皮亚纳曲线”（Peano，意大利数学家），它的维数大于2。房柯胥雪花曲线具有无穷大的周长，周上的任意两点间相距亦为无穷大，虽然曲线所包围的而积是有限的。锡尔宾斯基垫片的曲线也有无穷大的长度，而这时曲线所包围的而积则是零。每个分形当然有相关联的浩斯多夫-贝锡柯维茨维，它是门德尔布洛特决定要重新取名的分形维的度量。已经作了广泛的努力，特别是物理学界所作的努力，去测定自然界出现的所有物体形状的分维数（见表）。分形维实际度量的是什么？正如C • 墨塞斯（C. Muses）所指出的，这种维完全不是关于空间的K正维数，真正的空间维数现在知之甚少。确切点说，分形维给予我们的是充塞空间的曲线或表面的“扭曲的度量”。

 门德尔布洛特主张中还有一个问题，他认为大自然几何有一个分形外貌是：分形物体具有确切的自相似特征，而自然物体则没有。自相似性是指物体在我们可能选取的任何比例上呈现相同形状，因而我们说不出比例是多大（没有指明用的是什么比例）。自然物体往往出现统计学上的自相似性质，即使这时，也只是在特定的上限和下限之内。所以公正地说，大自然一般没有严格的分形物体，有的只是对这种理想的近似。已被宣布为分形物体的例子，范围从非常大（如星系），到中等大（如植物群和动物群），再到非常小（如原子表面）。甚至空空间也被说成是大自然中的分形（空空间可以解释量子物理学中某种不平常现象）。

虽然计算机能够产生看起来与自然物体相像得出奇的自相似物体，然而在严密的审查下总是揭示出哪一个是真正的分形，因为它们是严格的自相似的，而自然物体则不然。所以，由于它们在所有比例上的自相似性，要确认计算机产生的形态不是真实物体并不困难。

终结评论

门德尔布洛特的著作是相当长时间以前出版的，他在特定的历史背景下观察了这一个问题。虽然已证明分形几何是一种观察大自然的新方法，许多科学家和数学家迷上了分形概念，然而近几年来已经提出许许多多有关分形扮演何种角色的中肯的质疑，数学家C • 克兰兹的意见很明确，他在《数学知识》（1990）—书中写道:“分形几何没有解决任何问题，它甚至不清楚它已经造成什么样的新问题。”至于有人说，分形显现一种新科学的曙光，或者提供一种新的分析大自然的语言，克兰兹说，“分形理论在这个方向上所作的任何贡献都是偶然的。一句话，皇帝没有穿衣。”物理学家、诺贝尔奖获得者L • 卡丹诺夫（L. Kadanoff）表达了相似的观点。他认为:“这个领域的更大进步依赖于建立一种更本质的理论基础，在这个基础中，几何形态可以从产生它的机制中推导出来……没有对基础的托换，关于分形的许多工作都是肤浅的，甚至有点空洞……从各方面看来，分形物理学是一个正待降生的科目。”他问道：“为什么所有溢美之词都加到分形之上？”科学哲学家O • 申克尔（O. Shenker）认为，“门德尔布洛特的假设绝不是令人满意的科学理论。现在必须指出，关于大自然的形态，有的只是出名的形象化描绘。”他总结说，“关于分形概念的适当理解同把分形结构归结于自然物体是两码子事。”

现在对分形几何的批评越来越刺耳，这并不奇怪。分形几何到了它的转折关头。它面临这样的事实：它也不是大自然的几何。这个事实其实是可以预见得到的。在本世纪初，波因卡就曾指出，没有一种几何提供真实世界的严格有效的描绘。这转过来意味着任何一种几何在表征我们的世界上有潜在的用途。因此，牛顿和开普勒在建立他们的天体力学中应用欧氏几何，爱因斯坦以非欧的黎曼几何作为相对论的基础；不仅如此，用分形几何来模拟系统，范围从空空间到星系大小的系统。门德尔布洛特自己也认识到分形几何不足以处理大自然的一切。他论述道：“许多大自然几何纷乱杂沓，这对分形来说也太过复杂难办了。”我们可能应用的各种几何，包括至今还不知道的几何，最后都会碰上分形几何碰到过的难题。爱因斯坦说得简单明了：“说数学命题表示现实，它们不是确定无疑的；说它们是确定无疑的，它们并不表示现实。”只要我们想以某种方式描述或描绘我们的世界，这个难题就继续存在。正如罗素所说:“认识上也好，物理上也好，离开了描述（绘），就无所谓模糊，也无所谓精确。凡事物都是自在之物，描述则有它的限度。”

 [Endeavour，160—9327，1996年]

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* 本文作者是美国乔治亚大学教授，致力于数学、化学特别是分子结构数学描述的研究。