（华东师范大学）

　　有一句名言是“数学是思维的体操”。其实，数学不仅是思维体操而已。数学思维具有无穷的威力，也有令人醉心的魅力——

　　从“烽火台”谈起

　　2001年2月24日，信息论创始人C · 仙农（Shannon）去世。《纽约时报》发表悼念文章，指出“他是把二进位制数作为一切通信基本元素的第一人。”仙农是科班出身的数学博士。他没有去解传统的数学难题，却把他的数学目光投向“通信”，终于成为影响人类社会进程的数学英雄。

　　最简单的通信是中国古代的烽火台。烽火燃起（记为1）表示敌人进犯，没有烽火（记为0）表示前线平安无事。只有0，1两种情况的烽火台，就很自然地被定为一个信息单位（称为比特）。数学公式是log₂2=1（比特），那么两个烽火台呢？假定第二个烽火台表示是否要补给粮草，这时有四种情况[0，0]（表示敌人没来，不要补给）；[0，1]（敌人没来，但要补给）；[1，0]（敌人来了，不要补给）；[1，1]（敌人来了，需要补给）。这一通信具有四种情况，含有两个比特的信息量。数学公式是log₂4=2（比特）。多个烽火台的情形可依次类推。其实所有的通信，无非是一连串的烽火台信息的组合：例如[1，0，0，1，0，0，0，1，1，1]就是传送了10个比特的信息。一个普通的电视画面大概需要100万比特。

　　仙农认识到，一串0和1组成的序列是通信理论的基础，其中蕴藏着无限的数学潜力。于是，一门崭新的通信数学理论（信息论）就在他的手里诞生。什么是创造性的数学思维？数学思维的强大威力在哪里？看来不仅做一系列复杂而艰难的数学题才是数学思维。一个特别敏锐而有创意的数学眼光，往往具有无限的生机。中国有世界上最早的烽火台，但没有人及早用数学眼光去看它。这，就是我们在纪念仙农去世时应该有的反思。

　　红楼梦的作者是谁？

　　数学思维的价值在于创意。复旦大学数学系李贤平教授关于红楼梦作者的工作一直引起我的关注。自从胡适作《红楼梦考证》以来，都认为曹雪芹作前80回，后40回是高鹗所续。作者的考证当然有红学家在研究，但是我们是否可以用数学方法进行研究，并得出一些新的结果来？1987年，李贤平教授做了。他用陈大康先生对每个回目所用的47个虚字（之，其，或，亦...，呀，吗，咧，罢...，的，着，是，在，...，可，便，就，但，...，儿等）出现次数（频率）的统计作为每一回数学标志，然后用数学方法进行比较分析，最后得出了许多新结果：

　　○前80回与后40回之间有交叉。

　　○前80回是曹雪芹据〈石头记〉写成，中间插入〈风月宝鉴〉，还有一些别的增加成分。

　　○后40回是曹雪芹亲友将曹雪芹的草稿整理而成。宝黛故事为一人所写，贾府衰败情景当为另一人所写。

李教授的结论还很多，不及备述。奇怪的是，这一花了很大力气得到的研究成果（在美国威斯康星大学计算机上进行了大量计算），却很少引起国内红学界、新闻界以至数学界的重视。我们常说要鼓励文理兼通，鼓励新的创意，但到了事实面前，却又囿于常规，不能给予大力支持。说到底，还是数学观在作怪，总觉得解一道数学难题，在外国杂志的夹缝里找题目，做点补正，可以登大雅之堂。至于一些不合常规的创意，往往就在冷漠中被扼杀了。李贤平教授的数学思维，别具一格，似乎值得我们重新审视。

　　数学思维的逻辑魅力

　　数学思维是精细的。有一道简单的题目是：“老板给你两个加工资的方案。一是从第二年开始，每年年末加一千；二是从第二个半年开始，每半年的末尾加300元。请选一种。一般不擅数学的，很容易选择前者：因为一年加一千元总比两个半年共加600元要多。其实不然。在第二年的年末，依第一种方案加得1000元。而第二种方案在第一年末得300元，第二年的上半年多得600元，在第二年的末尾多得900元，一共净增加1800元。这是一道等差级数的好题目，中学生应该会做，但很多大学生搞不清。真的，学好数学，人的头脑会更加慎密。

　　数学的思维是严密的。我们说：“三角形的三内角之和是180°”。这需要证明吗？用量角器量一量，大概差不多不就得了？数学却说不行，非得证明不可。这是一种理性的逻辑思维。我们经常使用证明方法，目的是为了说服别人。但说服人的证明方法有很多种：

　　○引用权威的话。例如：圣经上是这样写的，所以是对的。

　　○相信大家的看法。例：那么多的人说天圆地方，一定不会错。

　　○实验证实。

　　○举例说明。历史上农民起义都是失败的，例如太平天国。

　　○举不出反例。大清王朝是不会亡的，你看哪一个敢造反的不被杀头？

　　以上的证明，是日常所用的，都有其重要的证明价值。但是又都可能出错（如所举各例）。惟独数学证明，则是千真万确的，不可动摇的。数学的逻辑证明，其价值也正在这里。因此，“三角形内角和为180°”必须从平行公理出发进行证明，非学会认这个死理不可。值得注意的是，中国传统文化中缺乏这种打破沙锅问到底的理性思维。因此，吸收古希腊数学家的这份科学遗产，把人类文明的精华融入中华文化，是我们的责任。

　　彩票发行点上的议论

一个小青年，准备结婚却没有房子，于是拿出4000元来买彩票，说要来“博一记”。他还说：“选彩票的数字，专挑那些前几次没有出现的或出现少的填上，赢的机会高。”结果被一位维持秩序的老伯伯劝阻了。这是笔者在电视上看到的一个镜头。

　　那位老伯伯做得对。彩票中奖的可能性不到十万分之一，比每年死于交通事故的概率还要小。所以买福利彩票是对社会做贡献，不能靠“博一记”来弄钱。更荒唐的是，赢彩票还有“窍门”，即所谓前面少出现的数字，这次出现的可能性会大。这是中国数学教育中缺乏概率统计造成的恶果。彩票摇奖时出来中的数字，完全是随机发生的，和上一次的数字的出现全无关系（相互独立）。这正如民间认为，生了两个女儿之后，第三个是儿子的可能性要大些，实际上是毫无根据的一相情愿。

　　数学上的概率思想，确实也不好掌握。1991年春天，笔者曾在《文汇报》副刊上写过短文，介绍美国《检阅》专栏作家塞望（M. Savant）女士提出的一个问题：

　　“有三扇门，只有一扇门的后面是一辆车，若猜中即开走。现在我猜一号门。然后主持人将2、3号门中无车的打开，例如3号门后无车。现在请问，你是否要换选2号门？这一问题的答案是应该换，但包括美国读者在内的许多人一直想不通，认为换不换一样。此后国内许多报刊相继转载讨论此题，至今还有文章在争鸣。塞望女士后来写过一本书：《逻辑思维的威力》。她在书中解释说：“如果有100扇门，其中只有一扇门后有车，你选一号门之后，主持人打开所有的无车门（例如3，4，5...100），问你是否换选2号，我想你一定会换！关心这类数学思维的争论，反映国内数学文化的一种变化：“数学，不再只对考题感兴趣”。

　　数学是丰富多彩的。让我们大家都来欣赏数学思维的无穷威力和魅力！