序 言
这是一般大学自然科学系的课程。可见，在高等学校的理科教学中，已增列了数学课程。不从课程设置，即使从以上的课程排列顺序来看，也是公众常识范围内之事。虽然，若把教育顺序全部颠倒过来，也并不碍事；但倘若只是个别前后调动，那就不好了。理由是多方面的。其一是，因为这种排列基于从基础到应用这一系统。这里所谓基础、应用的意思，并不是指基础科学或应用科学，而是指在上面排列在右侧的学科能受到其左侧学科的积极影响。反过来，其作用就极小了。不过，从相邻学科之间的相互密切程度来看，其相互间的间隔还是大的。
这里所要探索的数理化学，并不打乱以上的排列，只不过跨过物理学，直接建立化学与数学间的关系罢了。这种探索容易被人误解为，数学若经物理学的土壤充分发酵后再移入化学，花时过多。其实，不管时代发展的速度是何等之快，任何性急的想法都是不能接受的。而且，学问本身并不受高速度发展与否的时代背景所左右。问题是，化学当今正处在死胡同的困境中。造成这种状况的原因之一是，片面致力于弄清用于研究的概念或模型的物理意义。当然，在自然科学中，用于研究中的一切概念及模型具有明确物理意义的正是化学。但是，这却也成了反向研究的桎梏，并且形成了仅仅以弄清物理意义为研究目标的一股潮流。其结果是，使研究集中在小变化上，在已有的研究旁走来走去，走不出死胡同。
而要摆脱这种困境，数学却是唯一有效的手段。数学不算是自然科学，但这里却正是物理意义上的真空地带。这样，就可暂且摆脱了物理意义这一桎梏，先用化学的数学结构进行记述而后再来说明其物理意义。这就是提倡数理化学的道理。好比登上山顶后再来回顾登山之道，越是中途迷路之地，看起来却越是清爽一样。在物理意义上也常常这样◆，先做了之后再回过来想想，往往会显得更清楚。当然，也有以前一直在使用的概念或模型的物理意义至今仍不清楚的例子。在这种场合，只要模型所能适用的范例越多，即可根据其实际情况而加以判断。
上面说了，化学的发展不应受时代背景所左右。但是，这并不是说一个成功的研究，可以全然不顾社会的公众舆论，边研究而边让实验室的废液随意流掉。今后的化学研究，除以确立实验室排液及其回路技术方向外，还得建立无回路化学。而对后者而言，数理化学具有更重大的意义。
突变理论在化学中的应用
数学能与化学联在一起吗？对这个问题是相信其能，却答不上来，如果讲，凡是数学都可以与化学结合起来，恐怕也不正确。因为结合得当与否，既要看使之结合的人的资质，即使是一个高资质的人，还得看被其所找到的数学某部分与化学又有何种意义上的关系。为了把话说得具体一点，这里将介绍一些有关突变理论与化学相结合的若干应用实例，以及今后展望。
在受因果律支配的世界中，当作为原因的参变量的值缓慢变化时，会在某处形成急激变化，也就是说，原因的细微差异会造成结果的巨大差异。这些点的集合即是突变现象。相变换也是一种突变现象。作为变换现象端点的临界值，或按热力学的严格定义，不能算是相变换的类似缓慢变换，也是突变理论的研究对象。在突变结集点二旁来回移动的即是振荡现象。这也是突变理论的研究对象。
1. 变换现象 以气相液相间的相变为例，系统的密度用梯度场定义。这时，若在气相范围内不考虑温度、密度同时连续变化时的非拓扑学变化，给出的电势是一个4次函数。这是因为，在二相共存状态时，与二个相密度所对应的有二个极小值，或者当仅有一相时，与相密度所对应的有一个极小值的函数中，最简单的是4次函数。包括常数项在内有五个系数，其中具有拓扑学意义的参数是对应于温度、压力的一次项及二次项的二个系数。若将这二个参数进行适当的线性变换，用来表示温度和压力，这即是范得瓦尔斯方程。若进行非线性变换，即是Berthelot状态方程。4次函数独立变量所对应的是密度，亦即体积。
对于这种变换现象，至今已有的状态方程也仅限于突变理论及其推导范围。而最近获得新情报也没多大意义。不过，有二个意义是重要的。第一，这是数学在化学上应用的第一个实例。事实上，不管是下述的临界现象，或是缓慢变换现象，都是由此推导出来的。第二，范得瓦尔斯方程用于实际系统时，使用了麦克斯威法则。当梯度场里有二个极小值时，其中，最小的一个值与稳定状态所对应的值相等，这在突变理论里被称为麦克斯威法则。可见，这个法则很适用于化学。而当用于其他自然科学或社会科学时，通常采用下面第4点里的呆滞法则。从化学到数学，提出新的法则形式是很有趣的。
作为化学和突变理论相结合的起点，在今后的研究中必将占有重要地位。
2. 临界现象 临界现象不仅是处于变换现象的端点，重要的是从相应的状态原理来看还具有一定的普遍性。一般，临界指数虽是已知的，但是仍有许多按已有理论而无法推导出来的未知数。例如，若当临界点附近的气相、液相的密度分别取ρg、ρ1时，由ρ1~ρg∝(TcT)β式所给出的临界指数β（T——表示温度；Tc——表示临界点温度），近似等于1/3，但在理论上获得的值却为1/2，1/8，≈5/16等，没有一个等于1/3的。即使根据突变理论，仅限在与前节相同的梯度场，得出的仍是β=1/3，同样不对。若换一种假设，研究一下β=1/3的梯度场，得到的却是一个5次函数。但是，这时独立参数变成三个。而第三个参数的实质含义是必须加以说明的。因为是5次函数，即是一个奇函数，所以极小值中一个就趋向-∞。通常，这即表示该时相应的状态，且常是一个隐函数。其存在虽无需怀疑，不过在讨论诸如临界指数等值时就有问题了。除了范得瓦尔斯方程等，通常这并不矛盾。这类参数的有效修正值是构成粒子数。事实上，当高分子溶液中分子量趋向→∞时，即是临界状态，即构成粒子数的临界值也是∞。不过，β=1/3，除了上例外，未见有独立的参数。
突变理论在临界现象上的这种应用，从说明系统数学结构中存在隐函数这一点上来讲，是一个难能可贵的应用实例。
3. 缓慢变换现象 例如，血红蛋白的变构变换，是一种在合力现象方向上构成元素数为4，而在接近∞远处形成一小滴一小滴的变换现象（除多肽的螺旋变换外，在一维系统中也会形成缓慢变换现象）。这仍可用4次函数的梯度场来描述。当有二个极小值时，所对应的分别为脱氧状态和氧化状态。若把二个极小值看成是玻尔兹曼分布，即可求出氧化状态下的血红蛋白的分子分布率，即平衡吸收曲线。
变构变换根据已有的理论，例如Ising模型即能相当成功地进行描述。变构变换的专用理论。有二个著名理论，分别以研究者名字的第一个字母命名：MWC论及KNF论。对于正常的血红蛋白，突变理论与那些已有的理论一样，同样能说明实验现象。但是，对那些原先有的理论不能作出令人满意解释的异常血红蛋白氧吸收曲线来讲，突变理论却能发挥其特有的作用。这是因为，当有二个参数，且当被称为分裂因子的参数值固定时，若使被称为正常因子的另一参变数与氧分压对应，则就形成正常的血红蛋白氧吸收曲线。若使分裂因子也同时变化，那么就形成异常血红蛋白氧吸收曲线。对后一种现象，原有的理论就显得无能为力了。一个具体的例子是，Hb Bethesda症患者的红血球悬浮液中，氧化状态时分裂因子的值与相应的正常血红蛋白的值相等；而在脱氧状态下，该值约为该值的1/3。
分裂因子的变化与什么有关，目前尚不清楚。从这一点上讲，其物理意义也还不甚明了。但是，这种现象的发现却使今后的进一步发展有了可能，其意义还是十分重要的。
4. 振动现象 Zhabotinskii反应的发现，使振动化学反应已为大家所熟。虽然，振动现象也是突变理论的研究对象。但是，由于这时反应方程式比较容易书写，也许有人反而会觉得突变理论显得太复杂了。不过，因为系统总是非线性的，不存在般解。若干计算机的演算速度虽说已经很高，可是要不断地解出每个反应在各种初始条件的解，仍然不大可能。这时，就足见使用突变理论对其进行定性结构稳定性分析的重要性。其特点是，与电势中二个极小值的值谷深浅无关。在任何初始条件下，一个极小值上的个别点，即使在该极小值消失后，仍滞留在原先的极小值上。这称为呆滞现象。
振动化学不仅使化学家而且也使物理学家深感兴趣。世界上，突变理论在化学中的应用是五花八门的。不仅是Zhabotinskii反应，其他许多反应都在提倡使用。但是，多数仍还处在理论可能性的提倡阶段，不过作为实验化学的一个新的分支，正在蓬勃发展。
结束语
突变理论在化学中的应用，从数理化学整体来看，不过是其中微小的一部分。正如上述，许多有价值的情报正在不断获得，而且必将获得更多的报告。再加上“序言”里所讲的一些优点，虽说其前途必不平坦，但是肯定光辉灿烂。这就是提倡数理化学的道理。
[本文选自《化学と工业》（日本）31卷10期，周成业译]