[提要] 本文提出了客观性原理，并以此为指针简练地介绍和评述了现代数学哲学中的几个主要流派：表面主义、形式主义、直觉主义、逻辑主义和柏拉图主义。
1。引言：Morris Kline曾经说过：“数学是知识的实体，但是并不包含真理。”这种否定数学具有客观科学内容的观点，得到大部分数学家的认可。
它在教室中和在诸如Kline的流行的书籍中广泛传播。我认为这种观点是错误的，它的传播对我们去认识该学科是不利的。为此我将考察下列四种观点，并且还将要论证，这些观点错误的原因在于过于简化了我们进行的数学工作。
2。表面主义：为了寻找出我想反对的观点所具有的某些特点，让我先来想象一下在物理哲学中的一种类似的看法：物体的许多性质——如确定的形状、硬度、色彩——能被看成是它们表面的性质。我们来考察一个哲学家，他在这些简单的观察影响之下，相信物体所有性质都是它们表面的性质。当我们要求表面主义者解释，切开一物体时并没见到空无所有时，他就会说：刀锋拖拉着表面使之延伸出两个新的表面。当要求他说明一种很难看成是表面的性质（如重量）时，他就断言，这个性质是虚假的。
我们不要认为表面主义哲学家仅处于守势。例如他先就断言：通常的观点违反了节俭原则，由于它创造了一个完全必须的实体——物体的内部——，然后赋予实体不合理的性质。在一例子中，他曾问，被当作物体的内部是看不见的，为什么内部和外部如此的不同呢？这种不对称是哪里来的？如果物体确实有空间内部，那么设想空间内部和空间外部的物体一样都充满着空气，不是更为合理吗？我们可以想象得出，表面主义者经常会抱怨他的对立观点是不科学的和迷信的。他断言：物体有坚硬内部的信念是人体有“坚硬”内部的不朽灵魂说的残余。
考虑到我将讨论的数学的本性的观点，多少有点表面主义的样式。因此，考察一下人们怎样反驳上述纯粹形式的表面主义是有益的。
对物体性质具有一种看法，其目的是使用我们在处理它们时有用的方法去整理我们对客体的经验。一种固有的，不单是为了争辩的关于物体性质的观点，应该满足以下客观性原理：任何实践地真实的事物应该是客观地真实的。
说得更清楚一些。当我说一个如同重量那样的属性是实践地真实的时，我的意思是指这属性处于这样地位，也就是说，在我们和具有这种属性的客体相互作用时，对此属性所起的作用和应该起的作用有一致的看法。另一方面，当我说一个属性是客观地真实的时，就是指它存在于被观察的物体之中，而不是指它存在于观察者的主观经验中，或存在于观察者和被观察的客体的之间的主观关系中。因此，关于物体性质的理论，只有在认识了它的属性的所有资料后，才能看作是审慎的，这些属性是指在通常的社会的处理这些对象时，它所具有的一种为大家公认的作用。它还必须把这些材料组成连贯的说明，能确实无误地解释某些性质，特别地，一个理论只是处理在活动中作为主观设想时才是重要的属性的话，那么这将削弱这些活动的基础而不是支撑它。总之，对于一个实体所呈现的实践的重要性，能作的最简洁的说明是这个实体事实上存在的，并且事实上在我们的实践中起着一种作用。因此在争论尚缺乏一种强有力的证明的情况下，推断必定是这样的，任何实践地真实就是客观地真实。
为了避免可能引起的误解、让我考察一个满足客观性原理的例子。人们有时会听到一种实际上是反对物理学的论题：在物理世界中，并不存在诸如黄色这样的事物。
首先，重要的是要把黄色本身和我们对它的经验区分开。大略地说，和对象的真实的颜色最为切近的，是在标准条件下，出现在一个规范的观察者身上的。因此，对于黄颜色的经验作出一种说明不是物理学的任务，而是心理学的任务。
然而，物理学家在对世界的描述中，并不直接把颜色作为它的组成部分，通常用光波长度来说明，这确实给出了所讨论的黄颜色的客观内容。
因此，客观性原理可以被用来反驳表面主义如下：一个均匀的物体的重量是和它的体积而不是和它的表面积成比例的。一个合理的结论应该是物体的重量是分布在它的各处的。尽管表面主义者认为重量只是一种幻想的而不是客观的真实，但是，由于重量对人们认识物体是重要的，并且由于用人们公认的方法能有效地量度它，因此申称重量是幻想的表面主义理论就显得浅薄无聊了。
为了把这种思想用到数学哲学中去，我们一定要看到数学是一种共同的活动，它出现在社会的联系中，具有社会意义。提出一个问题，陈述一个定义，证明一条定理，没有一件只是个人的活动。它们都是称为科学的较大的社会进程的一部分。一位有能力的数学家能懂得其他数学家的工作，自己发表的著作也可期待其他数学家作出解释。因此一种严肃的数学哲学一定要满足客观性原理，即它不能否定：具有实践地真实的数学活动的任何方面也具有客观地真实。
3。形式主义：我们首先试图考察的数学哲学认为数学是按规则的或形式的符号操作。这种观点通常叫做形式主义，多少与此类似的说法可以在Haskell Curry，Abraham Robinson和Paul Cohen的著作中见到（尽管希尔伯特的观点也叫形式主义，但和这里的看法很不相同）。某些对人工智能有兴趣的计算机科学家提出了一个想法。他们自然地希望人类的智能在原则上和计算机没有什么不一样。因此人的大脑和计算机是类似的，理论和程序是类似的，思想和图灵机器的运算是类似的。总之，数学能是什么样的呢？是形式主义的。你能够想象一位数学家能用与符号操作不一样的方法进行工作吗？
为了把这些说得具体一点，让我们设想一下我们正在向一个形式主义者发问，算术基本定理的内容是什么？如果他是一位真正的严格的形式主义者，他一定径直回答：总之数学是没有内容的。定理只是符号串，使我们感到它有内容，仅仅是因为在我们从事的工作中它起着某种确定的作用。此外没有其它意义。对这种严格的形式主义，定理并没有作出任何有关自然数的断定。
我同意，数学几乎总是涉及符号的形式操作的。我也同意，一位数学家可以被看成是在某个形式系统中工作的。有一门数学分支，它的主题恰好是关于这方面的数学活动的，我所指的是递归函数论，该理论在理解数学的内在局限性方面所作出的贡献，比数理逻辑的其它部分要得多。
易于理解，一位从未真正地做过任何数学工作的哲学家，是怎样去把握形式主义的基本观点的。总之，对他来说不是看到外在的符号操作又能看到什么呢？另一方面，我们必须承认，我们发现很难理解，常常会遇到一个正在创造着的数学家是一个形式主义者。深思使人明白，一个数学家，当他有了一个想法，但是此时还不能用形式的方式对它进行表述时，这是他的最艰难的工作。通常，这种想法首先呈现出的是一些具体的、捉摸不定的，随着数学家对这些问题的逐步澄清，它们就变得较为形式化了，可以看到它所呈现的适当的内部构造。
自Brouwer以来已经习惯于使用“结构”这个词一般地去表示这样的实体，这种实体是指数学家所写出的符号，并且赋予它们以生命和内容之后。在我上面介绍过的结构，在实践地真实的意义之下，我想它无疑是存在的。数学家常常讨论它们，对它们的一般性质以及它们在数学创造中的重要作用，大家的看法是一致的。由此可见一种合适的数学哲学不能像处理主观设想那样去处理结构。但是大部分形式主义数学家，或者一点也不提及它们，或者在某些诸如“层次”的名义之下承认它们，而并没有对数学家一致承认的结构的性质作任何说明。确实形式主义者不能给出结构的一种理论，由于他们否定它的存在。
为了更清楚地叙述，让我引进“直觉的”这个词，“直觉的”惯于用在与“形式的”相反之处。因此一个论证称为“直觉的”，是指它是自然的并且易于捉摸的。因此一个直觉的证明，在上述意义之下，就是指一个非形式的，独立于符号，并且也许甚至是不可完全交流的。不管怎么说确实存在着直觉的结构，它们不是形式的和符号的。
现在我的论证可以总结如下，直觉的结构是实践地真实的。它们对数学的实践是有生命力的。对形式主义来说根本的是它否定了它们的客观真实性。所以根据客观性原理，形式主义不能是一种合适的哲学。
4。直觉主义：数学是由直觉的结构和它们的外在表示、符号的形式操作所组成，这就是通常叫做直觉主义的根本观点。它由L. E. J. Brouwer和Arend Heyting作出。
否定在数学家身外的任何数学的实在性的存在，以至否定除了数学家实际上已经证明过的或实际上能证明的之外的任何数学真理，是直觉主义的特征。无限的和不可测定的自然数序列、仅是潜在的实在。如同费尔玛猜想一样，是至今尚不能证明也不能反驳的命题，它没有确定的真值。断言每一命题非真即假的逻辑排中律，因为不能用于无限集的命题也遭到了拒斥，而命题的间接证明；由于无效也遭到拒斥。
作为一个例子，让我们再次考察算术基本定理。直觉主义者和形式主义者不一样，他并不把它只看作是一符号串，而认为定理是有意义的。此外，他也并不把这定理当作是关于外在的自然数的存在的真理。他宁可把它看成是叙述了我们具有的某种能力，即能把自然数因子分解成素数的能力，并且能看到当给出两个这样的分解时，它们一定是由同样的素数和同样的方法组成的。像形式主义一样，直觉主义把定理的意义只看作存在于我们的实践之中，但是并不存在于命题可能所指的任何外在的实在性之中。
让我们较仔细地检查一下Brouwer对排中律的拒斥，Brouwer没有提供可供使用的任何真实的概念，这种真实能被用来去证明，或者哪怕作为逻辑联词的真值函项的解释。此外，对Brouwer来说，他只承认这样的意义，如断言——数学命题是一直觉的证明的结论。但是非A真即B真的一个证明，还应包含一层含义，两者中总可选出一个是正在被证明出的。费尔玛猜想非真即假的一个证明也是如此，它一定包含猜想的一个证明或一个反驳，由于我既不能证明又不能反驳，因此照Brouwer的观点看来，我并不处于能断言该猜想非真即假这样的地位。因此排中律遭到了“拒斥”。
数学直觉主义认为：我们的内在经验是对我们适用的知识仅有的源泉，并且否定我们内在经验本质上需要一个它所指的外在的实在性。后来，这些观点分化成了反理性主义和唯我主义。当Brouwer强调数学创造课题的绝对自由时，实际上采取了一种与存在主义所强调的，在美学、伦理学和政治学中创造课题绝对自由相一致的姿态。
正如在形式主义那里一样，对我来说重要的是不要忽视直觉主义已经做出的对数学实践的理解这方面的贡献。直觉主义的著作是关于数学创造的内在过程的想法的丰富源泉。它是数理逻辑中致力于提炼和发展这种看法的精确含义的一个分支。
长期来我已经逐步地看到，强烈地直觉主义信念会实际上削弱人们做数学工作的基础。由于信奉直觉主义，数学家阻塞了对他们的工作——探求公认有效的真理——的最强有力的推动力。总之，数学是科学的一部分。做数学工作的主要目的是发现新的真理。如果如在直觉主义那里一样的禁止使用某些观念，那么数学就将被归结为一种神秘的艺术形式，一种游戏。
在数学创造方面并非都是自由的。在数学家谈论和思考他的工作时，起着重要作用的严格性概念，是为了对自由地建立定理以及达到对定理的真理性而进行的论证时所作的限制。
数学真理并不像数学结构一样，通过内省就能找到。它并不存在于我们脑中，一条数学定理像其它的科学理论一样，是一种社会的产物。它是由许多人的头脑的辩证解释而创造和发展的。
为了叙述一个比较精细的论证，我需要对严格性概念说几句。大家都相信这个概念是变化的。对Euler似乎是严格的论证对Cauchy就不一定适合，对Canchy似乎是严格的论证对我们来说它可能含有某些缺陷。但是这并不是说严格性概念本身已经改变，而只是严格性的标准已经改变。也就是说：一个严格的论证总是一个为达到结论的真实性作出的充分的证明。随着我们的看法前进，我们对达到真实时所提的要求提高了，因此当时看来似乎是严格的论证，现在看来就会感到有缺陷。但是严格性概念本身，自Euclid以来并未改变。
比较正确的看法是，严格性概念是以真实性概念为先决条件的。实际上，当我们展开一条数学证明时，我们并不去核对它根据哪些逻辑教科书中的规则，宁可去试着确定，论证工作是否能使我们确信以及是否能使我们必然确信，即它的结论的真实性。因此数学真实性观念是直接地包含在数学严格性的实践中的，它在严格性的标准中，是一必不可少的成分。
现在我可以把我反对直觉主义的论证陈述如下：数学真实性是实践地实在性。确实，没有数学真实性的实践地实在性，不可能有如同数学严格性那样的事物。但是直觉主义在根本上是否定数学真理性的客观实在性的。因此，根据客观性原理，直觉主义并不是一种合适的数学哲学。
5。逻辑主义：数学是由某些真理，建立这些真理的某些论证，籍以进行论证活动的结构，和表示这些论证和真理的符号及其形式操作所组成，这是传统地被称为逻辑主义的中心主张。这种观点由G. Frege和B. 罗素突出地加以宣扬。
一个逻辑主义者，和形式主义者、直觉主义者并不一样。他把算术基本定理看作它的内容是完全独立于我们的活动的真理。但是，对于逻辑主义者来说，并不存在作为独立的实体的、并且它的性质可以由定理加以刻划的自然数。他们认为定理只是被理解成建立在一长串定义的基础之上的。当定理中用到的表示式根据这些定义都被扩充时，则在逻辑主义者看来，这定理将给出的只是更为复杂的逻辑真理。对逻辑主义者来说，算术基本定理等同于一个如下那样的断定：“如果所有属于A的既属于B又属于C，那么所有属于A的都属于C”。
逻辑主义者所要否定的是关于存在数学真理的论题。对逻辑主义者来说，数学术语是无所指的，或者至少不是唯一地有所指的。由此可得，数学真理性并不是因为它成功地描述了实在的事物，它们真实的内容是空的；数学真理性只能单单凭籍自身内在的结构和它与其它事物的关系。那就是逻辑真理成真的一种方式。因此逻辑主义者的论题为数学只是逻辑。当然，在实践中，逻辑主义者倾向于较为宽广地使用“逻辑”这一术语。在这个名义下，它有时包括所有的集合论。但是他的基本观点，总是要否定数学的断定具有真实的内容。
逻辑主义推动了许多数理逻辑的早期工作。我认为逻辑主义者所作的贡献，无论是在数学的实践方面还是在数学的基础方面，比我们所知道的任何数学哲学都要来得多。把一切数学归约为逻辑的愿望已经成了一种简化和统一基本的数学概念、寻求和做出数学籍以为基础的明晰的基本原理的强有力的推动力。并且，逻辑主义当今还在作出这样的贡献。许多现在叫做证明论的内容，可以愈来愈使人把数学各部分看成是由逻辑概念沿各个方向扩充、延伸而得到的逻辑真理所组成。
与形式主义和直觉主义相异，逻辑主义确实为实际的数学实践有意义的部分提供了一个合适的说明。许多数学实际上恰好是逻辑。我们从清晰地叙述出的前提可以推得一个将能解答预先叙述过的问题的论证。但是，我怀疑：一位数学家愿意思考的任何问题，都能用逻辑主义能接受的词语加以说明。每位数学家都知道，他最重要的工作不在于推理，而在于称谓“直觉地”对事物特性的一种看法。在这种意义之下，词“直觉”是指某种才能，依仗它而并非依仗演绎，数学家能察觉结构的性质。这种洞察力是可以训练的，是十分现实的。有时，在试着演绎地工作时，人们犹如在暗室中摸索前进的人，大脑中充斥着尚难连贯的材料，但是后来，人们逐渐地或者突然地能适应黑暗了，能朦胧地见到房中物件的陈列了，知道如何绕过椅凳，方便地坐到椅子上。这是对数学家的“直觉地理解”，—种尚不清晰如何证明他的思想的状态所作的日常比喻。当然，常常会犯些错误，但是正在接近正确。确实，如果我尊重某一位数学家，并且如果他对一个特殊的结构曾经有过较多的经验，那么我将愿意信赖他关于结构的一种直觉，尽管尚缺乏证明。
数学家关于一个特殊结构的直觉，是关于这个结构的长期经验的概括的结果。他和木匠有关“木头”的感受没有什么不同。事实就是如此，数学家对一个数学研究对象往往尚未完成推理，就多少能预知它的结论。确实，数学创造力，直觉多于逻辑，可见逻辑主义对数学的说明并不适当。
还遗漏些什么吗？逻辑主义者认为，数学是与任何事物无关的真理。他们的真实性只依赖于它内在的逻辑结构，并不依赖它所指的外在的客体。但是如果这种看法正确的话，那么数学直觉的现象将是不可理解的。因为如果逻辑主义者是正确的，那么对数学家来说就不会存在什么较为熟悉的或者已有所考察的结构。
逻辑主义常常会否定某些完全可接受的原理。例如，他们倾向于把几何学作为一门假设性的学科。但是事实上，我们对欧几里得空间有一种清楚的直觉，欧几里得几何的定理对于物理空间是极为正确的，最早的经验地得到的几何知识，一般地都能成立。可见，这些知识并非假设性的。非欧几何仅仅表明否定平行公设的逻辑无矛盾性，它并不表明平行公设是错误的。广义相对论表明，通过把时 - 空看成非常曲率四维流形，某些奥秘的观察结果得到了良好的描述。
让我来小结一下论证。数学的直觉是实践地实在。它仅仅是对外在于数学本身的结构所作的非演绎的考察的综合。因此这种外在的数学结构是实践地实在的。但是，对逻辑主义来说，根本点是否定这种结构的客观实在性。所以根据客观性原理，逻辑主义不能是一种合适的数学哲学。
6。柏拉图主义：数学是由独立于我们而存在的抽象结构的真理，建立这些真理的逻辑论证，这些论证籍以活动的结构，和那些表示这些论证和真理的符号及其形式操作所组成。我认为应称它为柏拉图主义。他的最优秀的代表是K. 哥德尔。
一个柏拉图主义者将会朴素地解释算术基本定理是独立于我们而存在的，且确实能唯一地分解成素数因子的自然数那样的事物是有的。
在数理逻辑内部，柏拉图主义最为有特征的表述是模型论。这门学科是研究数学理论的语义内容的。模型论的中心问题是具有怎样性质的结构才能被特殊的语言加以表达的问题。这个问题，仅当结构被假设是存在的，且具有某些独立于对它的描述的性质时才能提出。
让我们极快地来描写一下柏拉图主义的数学活动图景。按这种观点，数学家面临着一类广泛的抽象结构簇，它们本身是先于数学活动的。数学家并未创造这些结构；而只是发现它们。直觉是由关于数学世界的真理构成的，这些数学世界是由他的先辈和同辈所发现的。直觉，能使得他去发现新的结构和对老的结构作出新的猜想。为了证明这些猜想，回答出现的问题，他要制作结构、作出论证、定义新概念。
对我来说，这似乎是关于纯粹数学家在做些什么这个问题的一个美好的、令人满意的说明。确实，我感到大部分当代数学家，即使他们现在未被清楚有力的表达所迷惑，也将接受这种观点的变种。
十八世纪，数学只是在较为确定和较为基础方面，被看作异于其它科学。它的特有的范围是去把握空间和数量的规律。十九世纪，数学性质的这些看法被极大地削弱。首先，非欧几何被用来否定为我们直觉所认可的唯一的特殊结构的存在。以后，解析几何被用来削弱这样的观点：存在着一个除数的连续统的直觉之外的空间的直觉。这种发展的最终产品是当代数学家告诉学生的：所谓三维空间是指有序三元实数组的全体。显然、这不是欧几里得的原意。到了十九世纪末，甚至连数或量的直觉观念也被代替了，这是由Weierstrass，Dedekind和康托至少在形式上是通过纯粹的观念结构而引进它们的。
这种变化的一个后果是产生了所谓的基础危机，在这种状态之下，数学对他们正在论述的结构的性质没有任何系统的说明。公理集合论被用来填补了这个空白。但是集合论的基本观点、在它的极为狭窄的归纳主义的形式上是柏拉图主义的。集合论领域内的所有对象都是抽象的。即使允许个体，但对它不加分析的，这些个体被看成是既无内部结构又无相互关系的抽象的点。因此，为了排除一切具体实在性，把所有数学都归纳成一个狭窄的数学主题——集合论。
两代集合论是一大成就。我感到对集合论提供了一个雅致的和方便的进行纯粹数学工作的框架的说法，是可以怀疑的。在概念上，这是一种美好的简化，在数学实践上它却几乎毫无所得，他给了提出诸如“数实际上是什么呢？”这样的问题的一个圆滑的回答，他提供了一个在康托之前无人能对它进行想象的、有价值的、有兴趣的结构。
但是，近十年来集合论像几何学早在一百年前被削弱那样也被粗暴地削弱着。独特的结果，大基数公理的扩散以及对集合论的希奇古怪的模型的增长，已经使得数学家认识到：在缺乏新的看法的情况下、集合论的观点开始在分裂。有些人仍然追随康托在思考连续统假设的可信性，而另一些人却追随哥德尔愈来愈强烈地相信它是虚假的。大家正在相信，我们需要一个新的概念，一个比集合更为基础的概念。不幸地是尚未有人能想到在哪里能找到这样的概念。
当然，问题是和1890年时相同的。如果没有一种集合理论的“领域”能看成概括数学家所关切的一切结构，那么制约数学世界的规律是什么呢？没有一个问题已经一般地获得了解答。我认为在这种情况下，有些数学家返回到形式主义、直觉主义或逻辑主义可以避免陷入绝境。
事实上，不仅集合论倾向于分裂，而数学柏拉图主义也是一个大的科学结构分裂出来的结果。科学本质的传统观点，如在牛顿时期，是仅仅存在着一个实体，因而也只存在一种科学。按照这种观点，几门特殊的科学——数学、物理、化学、生物——只是对同一实体用不同的方法去研究它的不同的问题而已。当然每一门特殊的科学都和它所特有世界的一个方面相对应；各个方面是一个世界的相互补充和相互说明的各个方面。事实上，大部分数学分支都很好地直接地依附于自然界的某些部分。几何学是关于空间的，概率论告诉我们随机过程，群论说明对称，逻辑刻划了合理的推理，分析的许多部分被创造出来用于特殊的物理过程，它仍是不可缺少的。还可无限地罗列下去。但是从柏拉图主义观点来看，只有纯粹数学才是实在的数学。因为据柏拉图主义、数学研究的对象必须是抽象的。如果我们考察群，它只能建立在集合的集合的集合之上。有限群理论怎样去研究晶体结构呢？
当数学基础变得完全抽象时并且停息了为世界做任何事时，数学和其它科学之间的联系变得前景模糊了。近来由于经济的势态已经迫使数学家去寻找新的支撑。这种数学和其它科学的分离，已停息了数学的傲气，并且变得世俗了。但是集合论并没有提供出一种去理解和其它科学建立有效联系的线索。
因此我认为数学柏拉图主义也是表面主义的一种形式。我们的极大部分理论都给出了具体世界的有关信息，这是一种实践地实在性。纯粹数学和应用数学之间没有清晰的边界这是一种实践地实在性。仅仅存在着一种科学。从客观性原理可以推得，一种合适的数学哲学应与这些事实的客观内容一致。这样的数学哲学仅是一部大的科学哲学的章节。这样的哲学将能澄清在什么意义下仅存在一个客观世界以及怎样看待数学研究的对象，许多在物理世界中未曾认识的，仍可以看成是世界的一部分，不幸地是那样的哲学尚未出现。
[The American Mathematical Monthly，1979年9月]