1955年，我在芝加哥大学攻读博士学位，在陈省身教授的指导下，完成了一篇有关拓扑问题的学位论文。虽然我接受了大量的纯数学方面的训练，但那时数学家可以在实业部门任职了，我对此颇有兴趣。有几个老师不赞成我的想法，但陈教授不然。他说他相信研究现实问题是有意义的，也是困难的。他鼓励我思想要开放，而我也对如何把所学到的数学加以应用充满了兴趣。所以，毕业后我没有选择教书的职业，而是走向了实业界。
开始的六个月对我来说可谓步履艰难。我急于从纯数学家转向应用数学家，但又不知道怎么转，几乎没有人对我进行指导（人们认为数学博士当然应该知道怎么干），所以，我都得自己摸索。我阅读了大量的文献，从中得到一些满足，但是，我似乎并没有向“实际问题”靠近。
然后，我又换了一种方法进行尝试，这时，我都几乎要决定放弃这种努力而在大学里谋职了。我当时是在一个研究原子能的实验室工作，原子能研究那时是个热门课题。我同物理学家、工程师、化学家等各种专业的科学家交谈他们所研究的原子能反应问题。渐渐地，我就掌握了足够的有关反应问题的物理知识，能够理解这些问题了。我的阅读范围从数学文献转向物理和工程方面的文献。
一年多以后，我终于觉得可以（在非数学专业的同事的帮助下）为那些我比较熟悉的问题建立数学描述并进行研究了。这一段通向建立数学模型的艰难的开端对于我后来在应用数学方面取得的成功无疑是必不可少的。
我的第一项工作延续了将近十二年的时间，而我开始于那个时候的工作成为贯穿我整个研究生涯的课题。
在1955年以后的25年中，头十六年我在实业部门从事应用数学工作，后九年在大学讲授应用数学。对于从事应用数学工作和讲授应用数学课程我有些体会。在学生时代，我对数学和它的应用之间的关系不甚明确，现在我确信，把数学用于解决实际问题是很有意义的工作，同时也是一项充满挑战的工作。这一工作完全和抽象数学的研究工作一样，可以产生真正的新的数学理论。事实上，古典几何学在某种程度上就是为了解决土地测量问题而产生的，而信息论则是为了研究现代通讯系统而提出的。
我也深切地体会到要想教学生有效地应用数学，仅仅教给他们求解各种现有方程的方法是不够的。在这篇文章中，我要宣传这样一个主张，把数学应用于实际，应该是培养应用数学家的教学方案中不可缺少的组成部分。
应用数学的特点
要给出正规的应用数学教学的准则，可以把培养传统的数学工作者的教学与从事应用数学工作所必需的训练进行一个比较。抽象数学是从一组公理，或者说一组假设出发，由此得到一组在这个系统中可以构造出来的定理和反例。接下来的工作便是推广和深化这些得到的结论，或者通过特化使其适应于特殊的情形。在训练抽象数学工作者的过程中，讲授证明的技巧起着重要的作用。
与此相反，应用数学工作是从对问题的陈述出发的，而问题来源于数学以外的某个学科。应用数学工作者的第一个任务是为所面临的现实问题建立一个数学表述——即数学模型。这一现实问题要体现实际的要求和限制。然后，通过这个数学模型得出一些数学推论，这些推论必须同通过实验和观察所得到的实际情况相比较，比较的结果决定这一模型的价值。如果这个模型达不到要求，那么，就必须更换模型，必须收集新的数学资料。显然，对于建立模型工作的效果来说，原始问题是最重要的。
如果人们同意上面的晋法，那么，应用数学的教学显然需要采用不同的方法。传统的数学课程面向解题技巧，学生所学的是如何处理已经用数学公式表达出来了的问题，即如何解代数方程、微分方程、积分方程等各种各样的方程。除此之外，就是如何提出和证明这些系统中的定理。教师并不教他们这些方程是如何产生出来的。然而，任职于实业界和政府部门的应用数学家在应用他们通过传统的数学课程学到的数学知识之前，必须把工程师或者经济学家对问题的描述转化成数学语言，把具体的问题，转化成数学符号和方程。对于如何完成这一关键步骤以及评价所建立的数学模型的价值所需要的难以捉摸的技巧，在传统的数学课程中是不予讲授的。
数学模型
为了弥补这一缺陷，在过去的十多年中，流行于开设数学模型课程。这类课程开设的不少，其共同特点是强调面向问题，而不是面向解题技巧。在课程中，学生接触到如何“解决”实际问题，从简单的大学生就可以理解的问题到现代科学技术提出来的要用到很高深的数学知识的问题。尽管这些数学模型课程很好，但除非课程中把完成实际科研项目作为它的一个组成部分，学生仍然得不到处理未解决问题的实践经验。我认为如果迫使学生对未解决问题提出他们自己的处理方法，那么，他们就会比仅仅只接触数学收获更大。
尽管数学模型课程可以较快地帮助学生熟悉应用数学的某些特征，但却不能教给学生足够的知识去实际从事解决实业部门未解决问题的工作。这是因为：第一，要解决实业部门的问题几乎总是要与非数学家打交道；第二，实际工作一般是一个工作小组共同完成，共同负责；第三，从事重要的实业部门的工作需要对提出问题的学科有相当深入的了解。基于这些原因以及许多其他方面的原因，用数学模型课程来模拟实业部门的实际问题就显得苍白无力。
有一个教学方案，在许多方面都比数学模型课程要好。这个教学方案是让学生从事应用数学的实践。实践可以是带学生到实际工作环境中去实习，也可以是在课堂上模拟实际工作环境的各种特征。
实习与教学性质的科研活动
乍看起来，实习是一个把学生引向实际工作的理想办法，但我认为尽管把学生送到实际的工作环境中去有一定价值，但是，在课堂上模拟实际工作环境会收效更大。
学生参加实习时，他常常是被指定给某一个人做助手，这个人则负责对学生给予指导。学生很少从事比较重要的独立活动，也不会成为工作小组的成员。负责指导的人总是要求学生阅读大量的文献，或者分配他编一个计算机程序。学生很少有机会从事研究助手的工作。这些活动虽然都是有益的，但整体上却不理想，学生常常感到厌烦。一般情况下，实习结束了，学生没有参加小组活动，也没有学到实际应用数学的知识。教学实践的整个管理都交给了赞助公司，这样做对学生来说并不是很好。
与此相反，把实业界的科研活动作为教学的一部分，让学校负责教学管理，效果会更好一些。下面我介绍这样一种教学实践活动——数学咨询站。这一教学活动是由哈威玛德学院（六个克莱蒙特学院之一）作为培养应用数学家教学方案的一个部分于1973年首创的。现在，一些其他学校，如戴维斯的加利佛利亚大学，雷什赖尔工业学院，陶森州立大学，也采用了类似的教学方案。
什么是数学咨询站
创办咨询站这一想法是1964年哈威玛德学院为满足工科专业学生的需要而提出来的，数学咨询站也由该校于1973 ~ 74年创立，第二年由哈威玛德学院和克莱蒙特研究生院共同负责数学咨询站的工作。这种新颖的教学方案为大学生和研究生提供机会，让他们参加工作小组，解决实业界和政府部门的实际问题。在接受科研项目之前，学校同赞助公司商谈好固定的研究经费，从研究经费中支付研究生作为工作小组负责人的薪金，学校的科研管理费用以及行政费用也部分地从中支付。咨询站的任务是建立分析数学模型。学校在精心管理教学质量的同时，尽其可能在学校内创造实业界的环境气氛。
迄今为止，由学生和学校的咨询小组处理的一些科研项目中，共投入了240学生一学期的人力，这些科研项目累计占时61个学期，跨越各种各样的专题。不过，为了解决某一个问题提出来的方法，往往稍加修改又可用来处理其他的问题。
例如，咨询小组花了8年多的时间研究从各种非线性流动过程中产生的移动边界 - 界面问题，有大约一半的研究成果被用来帮助赤威朗的科学家构造和分析数学模型，处理地下石油开采中遇到的高液压问题。再比如，有一个为期两年的科研项目是为洛基威尔国际原子能机构研究核燃料元素中遇到的膨胀问题，核燃料元素的膨胀有时会产生灾难性的后果，还有一个克莱蒙特水力局赞助的为期两年的研究项目，口的是帮助预报地下水的硝酸盐浓度（这种含氮化学物质是一种致癌物质，对它的控制无疑是很重要的），现在看来，在这些科研项目中用到的技术对美国林业部门也有价值，可用来帮助他们了解遭受火灾后的森林地带的沉积速率的恢复情况。还可以举出很多例子，说明某个科研项目中提出来的方法可以应用在另外的科研项目中。
数学咨询站的活动有很多优越性，至今为止，参加该活动的人的反应非常积极。学生所研究的问题是真正的问题，学生们要给出他们自己的常常是唯一的解答，并且通过口头报告和书面报告把他们的解答报告给赞助公司，对于这一活动中的刺激性和挑战性，学生们充满兴趣，而赞助公司认为这一新的教学尝试比常规的教育方法更有意义，他们参加这一活动，从中得到加倍报偿，对于他们所面临的问题，专业人员进行的深入的数学分析使他们受益。除此之外，参加咨询站活动，为学生们提供了联系就业工作的渠道，为赞助公司节省了招聘工作人员的有关费用以及培训在职人员的费用。
两笔来自美国国家科学基金委员会的拨款促进了数学咨询站的发展。其中一笔拨款帮助创立了博士后训练计划，该计划通过把传统的课程和咨询站的咨询活动相结合，让数学家腾出一年的时间从事数学的应用工作。还有一些应用数学家为了了解咨询站活动的第一手资料，学习从事该项工作的经验，对克莱蒙特进行了为时6个月至两年的访问，在过去的三年中，共有十五人访问了克莱蒙特，其中有些人已经在其他大学引进了这一新颖的教学方案。
咨询站活动的一个最重要的好处就是使学生有了自信心，有了通过处理尚无答案的现实问题而获得的自信心。学生至少要接触到一个应用研究的实例，这一实例是要求他们完成的科研项目，除此之外，还要通过听取另外一些项目的口头报告，接触其他科研项目。学生参加报告、交谈又可锻炼他们同外界交流的能力（这一点对于雇用者来说是非常宝贵的），这样一来，咨询站对学生给予了具体的预备训练，使他们将来有能力担当解决问题的职责。
数学咨询站这一活动的受益者并不仅仅是那些想在实业部门谋职的学生，在过去的六年中，许多在克莱蒙特攻读博士学位的研究生有时也参加咨询站的活动，这种工作帮助他们扩大了知识面，熟悉了建立问题的数学表述以及求解问题的方法，不管他们今后是在实业界谋职，还是在大学任教，这对他们都是有益处的。学校的教师也通过咨询站的活动得到提高，接触实业界和政府部门的问题为他们提供了原始素材，在常规的课程中渗进他们自己的工作经验改进了他们的教学效果。另外，参加该项活动有时还会带来供教师申请的暑期咨询职位，这既可为教师提供经济收入，又可利用这个机会选择今后科研活动的领域。
培养应用数学家的要求
说到训练从事应用数学工作的学生的要求，我并不提倡用实践活动取代所有的基础数学课程。坦率地说，我认为一个成功的应用数学家必须窣握尽可能多的数学知识，同时又积累一些解决尚无答案的实际问题的经验，需要把传统的教学方法和新的教学方法巧妙地结合起来，以获得最佳教学效果。
克莱蒙特应用数学专业新的教学方案的核心部分是讲授一门相当于研究生水平的数学模型课程，进行一次让学生同现实问题打交道的实践活动，这个教学方案对学生很有吸引力，而且有效地解决了学生毕业后的安置问题。在实施和考察这一新的教学方案中，我们得到的经验表明下面一些因素在培养应用数学家的过程中是非常必要的，而在其他一些教学活动中也有其价值：
（1）以解决问题为中心；（2）培养同外界交流的能力？包括口头的和书而的表达能力；（3）熟悉相近的专业；（4）接触至少一个应用数学研究的实例；（5）通过解决尚无答案的问题获得自信心。
当然，我所介绍的教学方案的—些具体细节不一定能简单地照搬到其他地方去。学校如果要训练学生有效地应用数学，得对上述教学方案的一些特征予以认真的研究。
[Mathematics Tomorrow]