摘要：计算与应用的迅速发展形成了数理科学的“异体受精”，产生了许多前所未有的大量的新的方法，新的理论和新的模型。统计科学、核心数学、和应用数学的例子表明了这些变化，这些变化已经拓广并且丰富了数学和科学之间的关系。数理科学不再仅仅是研究数与形，它已经变成为模式的科学，其理论的基础是模式之间的关系以及由模式与观察之间的适应性导出的应用。
现代数学刚刚度过了它的300周岁生日。1687年，牛顿的《数学原理》的出版把数学作为理论科学的方法论范式而建立起来。牛顿通过在他的时代所积累的天文学数据感受到了模式；他从这些模式中抽象出了某些一般性原理；接着他又使用这些原理推导出行星行为中已知和未知的模式。牛顿的数学就是模式的科学——扎根于数据，由推导所支持，并得到观察的证实。
到了十九世纪末，牛顿的创见遍地开花，产生了前所未有的智力的繁荣。欧洲巨人，如欧拉，拉格朗日，和威尔斯特拉斯使得微积分更加完美与精细，从而建立了现代分析的基础。杰姆斯 · 克拉克 · 麦克斯韦利用中顿的微分写出电磁定律，乔治 · 伯纳德 · 黎曼把微分应用到几何学中，从而（虽然并非有意）为阿尔伯特 · 爱因斯坦做好了准备，爱因斯坦很快在黎曼几何中找到了对于广义引力理论来说是关键的东西。
与此同时，在另一块大陆上，诞生了一百年之久的美国尚没有数学或科学的巨人。然而在1883年，也就是牛顿的《原理》出版两百年之舌，一些具有远见卓识的人们建立了现在称之为美国数学会的组织，着手准备创建世界上最强的数学研究的环境，从这个纪念的意义出发，美国数学刚好一百周岁了。
改变的动力
许多受过教育的人，特别是科学家与工程师，都把数学设想为一棵知识之树：公式、定理和结果像成熟的果实一样悬着，等着科学家们去摘取以充实自己的理论。与此相反，数学家则把他们所从事的领域看作是一片快速生长着的热带森林，它们对人类的文明贡献出丰富的，不断变化着的智力动物与植物群，同时它们从来自数学以外的力量汲取营养，并形成自己。这些理解上的差别主要是由于抽象的语言形成了一块陡峭而又粗糙的山地，它把数学这片热带森林与普通人的活动分离开去。
数学这片茂密的丛林从实际应用中已经获取了几千年的养分。近来，计算机又增强了应用的影响；计算与应用一起宛如一股旋风席卷了整个数学领地。这些智慧风暴的相互作用所形成的动力已经改变了过去的一切，或云改变了数学的形态。随后，诞生了许多新的分枝，它们把以前数学森林中各个部分联系起来，使得以前截然不同的东西可以彼此受益，这一切都不可估量地加强了整个数学。
纵观二十世纪，数学在许多前沿都已经迅速地成长。经典的核心内容扎根于分析数学，这是把代数与几何综合起来应用于事物是如何变化的研究。但是即使是这个核心，在二次大战以后也得到了爆炸性的增长，由其它数理科学的重大进展中受到补充，这些学科包括数论、逻辑、统计学、运筹学、概率论、计算理论、拓扑学及组合学。
在每一个这样的子学科中，应用都伴随着理论。甚至数学中最神秘最抽象的部分—数论和逻辑，现在也都与应用息息相关（例如计算机科学与密码学）。五十年以前，大数学家哈代（G. H. Hardy）曾吹嘘数论是数学中最纯粹、最没有用的部分；但今天，对于诸如编码、远地卫星数据传输、财政记录的保护以及有效的算法等应用来说，数论已是必不可少的预备知识。
伴随着数学应用的不断壮大的势力，计算也一直起着异乎寻常的作用。颇具讽刺意味，但同时又是毫无疑问的是，计算机的出现恰是在应用了许多诸如布尔（Boole），康托（Cantor），图灵（Turing）及冯 · 诺意曼（Von Neumann）等数学家的抽象理论以后才得以可能的，而这些理论仅仅在几十年以前还被“新数学”的批评家们嘲笑为与实际应用毫无关系，太抽象了。更具讽刺意味的是计算机是目前改变数学本质的最有力的动力。甚至从来不使用计算机的数学家也常常毕生致力于由于计算机的出现而产生的问题的研究。在数学的各个部分中，计算机已经提出了新的研究问题，为旧问题提供了新的解决办法，并引入新的研究策略。
虽然公众经常把计算机视为数学的替代物，但它们实质上都是彼此的工具。确实，正如计算机为数学提供了新的机会一样，数学也使得计算机变得不可思议地有效，数学为自然现象提供了抽象的模型，同时也为用计算机语言实现这些模型提供了算法。应用计算机和数学构成了一个紧密耦合的系统，它不断产生出以前不可能有的结果以及以前绝不可能想象的思想。
数理科学
数学的本质反应用的迅速增长意味着牛顿时代的核心——微积分、分析及微分方程；现在都仅仅成为更为广阔的数学全景画中的一部分。然而大多数的科学家仍然仅仅在传统的领域内做工作，因为他们的高中、大学及研究生院的课程就是教这些东西。统计学是一个例外，这是一门在各门学科中被广泛使用的古老的科学，在二十世纪变得数学味极浓。牛顿在分析方面的遗产是实验科学家与他们各自所从事的领域的广博的数学基础的主要联系。本世纪刚刚过去的二十五年中数理科学所发生的巨变对于从事研究的数学家们的较小的共同体以外的人们来说几乎都是不可见的。
今天的数理科学，正如过去的高卢（西欧之古国名——译者注），可以大致分为基本上均等的三部分：统计科学、核心数学及应用数学。这三大部分的每一个（在美国）都有数千位活跃的研究人员，并且每年得到五千万美元的联邦政府的支持。虽然这几部分的边界有很大的重叠，但每个领域都具备对 · 应于牛顿建立起来的数学范式的三个阶段的明显的特征，即数据、演绎及观察。
统计科学研究与数据的采集，分析及解释有关的不确定性问题的工具是概率论与推断，其研究范围包括统计建模、统计推断、决策论及实验设计。统计科学影响着农业、政治、经济、医药、法律、科学及工程的策略。在仪器及工具（数据的收集及传输）方面的进展已经对统计学提出了新的挑战，导致了新方法及新应用的迅速发展。
核心数学研究数与空间的性质，这是历史悠久的思想。核心数学的思想是抽象和演绎；其中包括函数，方程，算子及无穷维空间。在核心数学内可以发现数论、代数、几何、分析及拓扑的主题。在经过半个世纪的爆炸性的专业化成长后，核心数学正在经历一场更新的完整性的复兴，这是基于预想不到的但又是受人欢迎的把其各个组成部分联系起来的深刻发现。
应用数学将数学方法应用于观察和科学理论。它是由科学思想到激发数学发明，及由数学工具到求解科学问题的输液管。应用数学的传统方法包括微分方程，数值计算，控制理论和动态系统；这些传统的方法今天正在被应用到新的重要应用领域，这包括燃烧、湍流、优化、生理学及流行病学，此外，博弈论、决策科学以及离散数学提供的新工具正在被应用到人文科学中，这里选择、决策及联合要比连续性变化更适用于对描述和预测做出比喻。
数学中有一个内在的特点，并且它对于理解数学在科学中的作用是不可或缺的，这个特点即是：今日之数理科学已全然不同于四分之一世纪以前的情况，绝大多数今日之科学家都学过数学，计算机、应用以及交叉学科已经交织在一起把数理科学变成为一套异乎寻常广泛并有力的科学工具。甚至没有经过允许，数学家们已经极为严格地重建了科学的基础。这项工作尚没有完成，但已经可以充分地看到它的新的形态，所有使用数学的人都应该抽出时间去研究其新特点。
统计科学
计算机及统计学都处理数据：计算机干的是记录、变换和操作，而统计学家们干的则是解释、综合和显示，问题的来源及问题的求解方法已经融汇起来，把统计科学塑造为（有些人则称为恢复为）数据密集型的学科。传统的统计分布（正规分布，泊阿松分布，等等）所描述的现象仅仅表示了全世界计算机所收集到的大量数据的一小部分。这里有三个数据在统计科学中的重要性的例子。
空间统计学。电子扫描设备（如断层，航空勘测以及环境监控，等）的日益增加的使用已经急需对隐含于空间结构中的复杂数据进行分析。图像增强，污染图像的视觉清晰化，是最普通的应用。其它重要的任务包括可以使观察者检测出隐含模式的视觉数据表示，以及可进行实时有效存贮并且在分析时不丢失重要信息的统计数据压缩。
空间统计学的研究使用了大量数学、统计以及计算技术，把信号由噪音中分离出来的技术借助于工程；不适定分散问题使用了数值线性代数；数据平滑则使用了正则化统计技术。构成所有这些的基础的是问题的内在几何学，这在许多情况中是动态且非线性的。
无参数建模。传统统计学中这一最完善发展的部分涉及到基于假想分布的模型，而这一假想分布则由少量连续变化参数而决定。然而实际的数据（如，人口信息或卫星图像）都是大量变元混合而成的，这些变元部分是参数的，部分则是非参数，或者部分是连续的，部分是离散的。由于没有关于无参数数据的分布的合理的先验假设，传统的统计方法常常是不可靠的，虽然这些方法仍然被经常使用着。然而，现在混合着参数与无参数变量的大型数据集合已经使得统计学家们有可能使用计算密集型的方法以非参数变元的可靠的误差边界来评判统计学。（当然，计算机已经使得这样的方法对于必须进行大规模数据集合处理的情况不仅可能而且必须。）
自举和削剪统计学。统计学的许多应用（特别是对革新性的医学诊断记录和临床数据进行分析时）要求从小的数据集合中推论出有意义的（“重要的”）的模式。斯坦福大学的布拉德雷 · 爱夫朗（Bradley Efron）已经首创了一种使用有限的数据推广到具有同样统计特性的更多的数据的方法（这里称为“自举”方法）。
特别地，自举方法使用计算方法来重复采样给定的数据以产生大量的近似可能的数据集合，这对于各种复杂的统计方法已经产生了精确的近似。通过把这些统计方法的值与给定的其分布由重复采样得到的样品进行比较，就可以确定观察到的值是否是重要的，削剪方法与自举技术密切相关，但是这种方法是通过重复删去一部分数据来归约统计过程中的偏差。
核心数学
有许多力量都对数学发生了作用，主要是应用，还有计算机和学科交叉，这些都以深刻的方式影响着这个学科的核心（“钝粹的”）部分，为了表明变化的本质，我使用了这种影响的两个颇为不同的领域，计算和几何学，它们是数学的宏大的连续统的完全分离的里程碑。
核心数学在计算机以及数理科学的更加面向应用的领域的影响下已经发生了变化，但这种影响的方式是全然不同的。最值得注意的是研究兴趣转移到由计算引发的问题上。但是计算机也改变了发明及检验猜想的方式，发现证明的方式，并且在越来越多的情况中，甚至改变了证明本身的性质。
计算机辅助数学中最具典型意义的事件是1976年四色猜想的证明，这个证明是基于对几千种归约模式的计算机分析，这种分析在数学分析和人类分析之间架起了桥梁。这件事对于数学认识论震动极大。十年后，1986年的国际数学家大会在加利福尼亚大学柏克莱分校召开，历时十天，这次六会展现了全世界数学研究的状况。十六个大会报告综述了数学的当前状态，其中一半以上的论题都以某种方式与计算相关。下面我们给出一些例子。
比勃巴赫猜想。普渡大学的路易 · 德 · 布朗齐斯（Louis de Branges）讨论了具有七十年历史的比勃巴赫猜想的证明，这个猜想涉及单复变元的某种解析函数的以幂级数扩充的系数的规模。在证明的关键阶段，德 · 布朗齐斯把全部论证归约为验证两个多项式的不等性：这在相当充分的程度中是由计算机完成的，计算机为这段论证的真实性提供了可靠的、详尽的证据。在正式的证明中的最后联系是由这个不等式的理论证明完成的，而这个不等式实际上在德 · 布朗齐斯之前早就是特殊函数论中已知的并且得到证明的结果。
整数的分解质因数 阿姆斯特丹大学的亨里克 · 兰斯特拉（Henrick W. Lensira）把代数几何应用到数学的最古老问题之如何找出一个整数的质因数。整数的分解质因数由人们的漠不关心一跃而变为数学的一个具有极高优先权的问题，这仅仅因为它在基于计算机的加密学中具有极重要之应用：一个基于两个大质数的积的密码不能用当前算法破译，因为还没有一个有效的方法，在仅仅知道积的情况下求出两个因子来。
兰斯特拉利用椭圆曲线对这个分解因子的问题进行了研究，这个曲线是三元三次方程的适当的投影平面的零点的集合。这些曲线上的点构成了一个阿贝尔群，其性质直接导致目前已知的分解质因数的最快算法。已对有效地分解多项式也进行了类似的分析。椭圆曲线作为这些新算法的主要工具，是杰德 · 法尔丁斯（Gerd Faltungs）1983年莫德尔猜想的证明的中心目标，这肯定是这十年来最使人吃惊的数学成就。
计算复杂性 图宾根大学（Tübingen）的阿诺德 · 施恩黑齐（Arnold Sch?nhage）把计算复杂性理论——对求解问题的固有难度的分析——应用到求解方程之中，其最简单形式是普通整数的方程ax=b。传统的解法是除法，这种方法自中世纪以来一直没有引起数学家们的兴趣，但现在它已成为人们研究的焦点。只是在最近，才证明了已知的进行复数除法的方法可能是最好的方法，因为没有其它的方法可以进行更少的算术运算。在这种算术泛函分析中使用的方法预示着可以对全部计算机算法进行类似的分析，以使得数学家们可以决定计算适应性的限度以及进行适于更进一步改进的领域。
迭代映射 加利福尼亚大学柏克莱分校的斯蒂芬 · 施梅尔（Stephen Smale）在非常现代的迭代映射和计算复杂性的范围内研究了求多项式零点的经典问题。原型例子是求函数f(x)的零点的方法：
xn+1= xn －f(xn)/ f'(xn)
在没有计算机的时代，这种方法每次被施加到一点，一开始选一个合理的猜测点，从而使得点的序列可以快速地趋近于函数的零点。
施梅尔全面地研究了牛顿的方法，并看重牛顿的特定多项式方法产生的由复平面到自身的映射。最终映射到零点的点的分布是显示出许多典型的湍流的混沌性质的“零点”集合的例子。施梅尔的分析把全局迭代应用到求解线性规划问题的单纯形法，结果导致了一个经验事实的证明，即，在一般情况下，单纯形法确实表现出很好的行为。他的方法还直接导致了在物理学及化学中具广泛应用的新的混沌模型。
几何学
如果计算机代表了数学的当今时代，那么几何学则代表其经典的起源。从历史角度看，几何学研究空间，它已成为核心数学的主要支柱之一。但由于许多原因，它在数学课程表中的分量在过去的二十年里已经越来越轻，以至于数学的学士学位除了高中几何学之经典的困难的欧几里德证明之外，对几何学没什么要求。与课程设置的这种不景气形成鲜明对比的是几何学在数学研究中的复兴，从非常现实的意义上说，几何学再次在数学的舞台上扮演主角，这正如在古希腊时代一样。
现代几何学研究中的主角是“流形”，这是几何学家们定义的术语，用以描述局部类似欧几里德空间的表面与空间，流形形成了微分方程的解的自然的谱线，并且其几何学对这些解的解析性质强加了一种结构。因而，流形不仅对几何学，而且对经典分析的所有部分都具重要意义。
菲尔兹奖被称为数学的“诺贝尔奖”。1986年这项奖的三块奖牌中的两块给了几何学家，加利福尼亚大学圣 · 迭戈分校的麦克尔 · 弗里德曼和牛津大学的赛蒙 · 唐纳松（Michael Freedman and Simon Donaldson），以表彰他们在四维流形几何学的贡献，弗里德曼证明了彭加勒有关球体的猜想对于四维流形是真的，因而接近解决了这个具八十年历史的猜想（只有第三维尚未解决。）。弗里德曼的方法证明了四结的，拓扑分类类似于四元形的代数分类。
唐纳松使用了数学物理中的杨 - 米尔斯场方程（它们本身是麦克斯韦方程的推广）来研究四维空间中的即子，利用物理学的方法来理解纯数学，从而改变了传统。通过研究这些反映波粒二象性的微分方程的性质，唐纳松得以发展一种全新的研究几何学基本问题的方法。
弗里德曼和唐纳松的工作的结果是发现了在四维中，存在着与标准欧几里德四维空间拓扑上等价，但并不是可微等价的可微流形。这些“外来”空间在第四维是唯一的，它恰是我们现实世界的时空连续统的自然范围。无论这些性质是偶然的还是重要的，它们都是需要进一步研究的。确实，由这项工作创立的几何理论已经被应用到弦理论中，它的最早的思想借自物理学，现在又给物理学带来好处。
计算机图形学 几何学和计算机相互作用，形成了数理科学中最生气勃勃和最具吸引力的学科：计算机图形学。虽然计算机图形学的最广为人知的使用都是在应用数学领域，但视觉技术正在对传统的核心数学以及 各种水平的数学教学发生实际的影响。
为了在计算机上产生图形，需要几何表示、代数编码和计算机算法之间的大量的理论性的相互作用。作为回报，计算机图形学方法在许多数学问题中都提供了关键性的帮助：在计算机图形学的帮助下已经找到了新的最小平面，而迭代映射的视觉显示（著名的“零点”图像）则产生了以前仅用分析手段被忽略的可见模式。零点模式提供了一大类物理现象的灵活描述。
几何计算在与几何学关系较远的核心数学领域中也被证明是：卞常有用的，因为巨型计算机可以计算，并以视觉形式显示方程的根以及其它的数学客体。这使得数学家头一次“看到”了他们所证明的抽象定理的内容，并且可以用眼而不是用脑来作出新的猜想。由于认识到这个新的前沿，几位世界著名的几何学家近来已经得到资助以建立几何学巨型计算机计划，从而可以在美国以及欧洲进行这个领域的研究。
应用数学
应用数学之区别于核心数学主要不在于内容或方法，而在于目的：在应用数学中，价值是由新方法改进科学理解或技术应用的程度来测度的。
科学革命的根源在于伽利略引入了经验方法来替换古典希腊自然哲学的思辨解释。牛顿通过证明经验数据可以由基本公理导出的数学结果加以解释，从而引入了理论科学。在我们这个时代中，约翰 · 冯 · 诺意曼开创了计算的范式，其中理论科学的结果被用来在计算机上模拟现实世界。结果，计算方法现在遍布于应用数学的各个方面。
必要性是发明之母，这条真理在数学中与在生活中是一样的。因为科学的需要刺激了数学的成长，所以数学随着科学一同成长壮大。结果，应用数学的性质与范围都爆炸性地增加了。四个极为不同的领域同时表明了当前研究的广泛性和创造性。
生物科学 生物科学中的数学最能体现诺贝尔奖后面隐藏的数学踪迹。例如，1979年，诺贝尔医学奖授予阿兰 · 柯马克（Alan Cormack），表彰他把拉当变换（借自于经典分析的著名的技术）应用到断层照相和计算机辅助断层照相（CAT）扫描仪的开发之中，1985年诺贝尔化学奖的得主之一是生物物理学家赫伯特 · 豪普曼（Herbert Hauptman），他曾经获得数学博士学位，现在是布法罗医学基金会的主席。豪普曼以其在与X - 射线结晶学有关的傅利叶分析方面的基础工作而著称。
确实，近来数理科学的研究表明生命科学中那些其方法大量地依靠数学和计算机模型的基本进展已经取得显著的增加趋势。结构空物学家已经变为基因工程师，他们在巨型计算机上研究复杂大分子的几何学，然后在他们对于生物活性体的探索中模拟与其它分子的交互作用。使用这些计算方法，生物学家可以把感冒病毒的几何形状显示在计算机屏幕上，这种分子具有多面体形状，它极其美丽并具动人的几何特性，生物学家们研究作为分子立足点的保持生物进袭力的表面。
遗传学家正在开始进行一项历史意义的工作，即把人的基因解译出来，这是一项要求具有统计学，早合数学，人工智能和数据管理经验的事业，以此把来自全世界的几十亿位的信息组织起来。生态学家是最早的数学生物学家，他们正在继续使用人口动力学的广泛的理论来预测物种的行为和相互作用，这需要考虑性别死亡率，再生性生物学，以及捕食者 - 捕食数据等复杂因素。神经学家们现正使用图论来为体内神经网络和大脑中的神经联接建立模型。而生理学家们则在使用曾被应用到十九世纪流体动力学方程的现代算法来确定诸如由肿胀心脏瓣膜和丛状胆固醇引起的血液中的湍流问题之类的事情。
控制理论 数学技术得到最广泛使用的领域之一就是控制理论，其应用从装配线的质量控制直到高性能飞机的飞行控制。控制理论是第二次世界大战的产物之一，直到现在它仍然是主要研究单输入单输出的系统，这是最早的范式，这样的系统在数学上可以被表示成单变量的单值函数。这样的模型相当简单，它允许一位实验工程师通过试错法调整模型的参量来优化系统的性能。
然而，计算机控制系统的出现已经开辟了一个新的研究前沿，在这里系统可以是多输入多输出的。这样极具复杂性的系统的原型例子是设计超大规模集成电路。对这样的系统找出有效的控制定律的问题已经被用各种手段尝试解决，这些手段包括卡尔曼数字滤波，更现代的还有插值理论到矩阵值解析函数的扩充，以及算子的全微分。
新理论的一个好处是增加了控制系统设计的灵活性。现在的设计师们可以选择的方法已不局限于诺伯特 · 维纳所引入的最小均方差方法，对于这些新的系统，他们可以极小化最坏情况的误差。当预防失败非常重要时（例如，在核电站和飞行控制中），这些方法就极具关键性意义。当基于复杂的数学插值理论的电路设计从标量变为矩阵模式时，这些好处就会明显了。
计算机执行复杂的计算的能力已经为控制理论开辟了许多其它前沿研究领域。例如，把一个从多探测器收到的变形信号重构为优化信号的理论基础使用了多变量解析函数理论。新的线性规划投影算法（类似于卡马克算法）已经使得以前不可能的快速过程的自动控制成为可能。某些非线性控制问题，如一架欲快速着陆及起飞的飞机的运动，经过李代数可以枝变换为线性反馈定律，从而可以利用计算上稳定的、同时在线性时间充分简单的传统方法加以计算。
随机微分方程 自然定律可以极其动人地用微分方程的语言描述出来。电磁场的麦克斯韦方程，行星运动的牛顿方程，以及流体的纳韦尔 · 斯托克斯方程都是自然的宪法中的章节。他们都以便于数学分析和科学研究的语言描述'了自然变化的方式。
但实际上，科学家掌握的数据绝非是精确的，这些数据易受巨大的随机变化的影响。在某些情况下，关键性的变量全然不知，或者被噪音所掩盖。通常的情况是系统处在外部白色噪音干扰下，这时在数学上就可表示为随机微分方程。典型的例子包括通讯理论中的扩散过程，化学过程，库存市场分析，传染病学，排队论，以及群体遗传学。
所有这些例子都有某些共同的特点。极为重要的是，普通硬币正反面落地的概率不取决于以前抛掷的结果，这些是无过去记忆的过程。以数学的术语说，这些过程称为马尔克夫过程。此外，这些过程受到关键性变量的随机影响，这是问题的随机性质。
统计微分方程是概率论的一个重要领域。近来的研究已经产生了与数学其它部分的重要联系。特别地，随机系统的统计学（例如，扩散过程的平均平息时间）表现出普通（非统计）偏微分方程的解。由此产生了把一个几何和分析的系统中的随机过程与另一个数学物理系统联系起来的有趣的研究。
太阳系在流星的随机影响下的行为就是由随机微分方程所决定的动态系统的例子。由于随机分布可能破坏动态系统的稳定性（尽管干扰极小），稳定性的研究是最重要的事情。直到最近，研究者才得以确定在什么条件下，对随机流的解将呈稳定的模式。[某些研究人员认为库存市场就具有同类的不稳定性，在这种不稳定条件下，靠近“奇异吸引子”的行为可以导致本质上不可预测的尖锐的振动。]
物理学 量子场论与广义相对论的调合（小的物理学与大的物理学的调合）也许是物理学中的主要理论问题。由于引力效应和量子效应在标度上的极大差异，实际的实验对于提出新的研究途径没什么意义。
微观宇宙物理学与宏观宇宙物理学的溶合中的主要努力是弦理论，这是一种构造，在其内，四维空间中的零维的点被由十维的薄弦所代替，这里，多余的维的内在结构，如同我们所感受到的“空虚”空间一样，在标度上太小以致我们知觉不到。对于这种假说的追求（可能从不会被实验所验证）很自然地导致了更高维的对称性，其中体现出的特殊对称性是宏观和微观物理学的基本的不变性。
簇理论 五十年以前，数学家发展了算子理论，这是由于量子力学需要数学模型。算子理论作为泛函分析的一个分枝而繁荣起来，这一方面是由于其纯数学的兴趣，另一方面是由于其对于量子物理学的应用。近年来，对于新的算子类型的研究产生了新的分类方法，从而导致了算子代数和簇分类的重要关系的发现，这是一极为困难的问题，以前曾认为没希望找到解了。
簇分类的关键是一种把簇模式编码为代数术语的方法，使得代数操作对应于簇上的物理动作。这头一次使得决定是否一个簇可以被转换为另一个或者完全解开成为一条直线。构成新的算子类型和簇分类的基础的是新的代数结构，其特点由其在簇群、统计力学的某些领域和精确可解模型中的出现而表现出来。由于在数学中发生的是如此经常，人们认识到新结构的重要性无处不在：在几个地方同时出现的相同模式说明了为什么技术具有特别的力量。
近来研究DNA复制的生物学家已经与数学家结队从事簇理论的工作，因为细胞中的DNA通常结成一个紧簇。很难想象DNA结成紧簇时是如何复制并分离的，这有些像魔术师不费吹灰之力就把两缠在一起的绳子分开。从量子力学的动机和应用经过纯数学的神奇的研究，直到把DNA展开是一个令人激动（纵然不是典型）的把数学的许多不同部分联系起来的一个例子。
模式
这些由当代数理科学中来的例子表明了起源于三百年以前的数学方法在牛顿的综合中的比喻：数据、演绎和观察。这些例子还表明了使数理科学发生变化的外在动力的作用：计算机、应用和学科交叉。上百个其它例子亦表明了相同的观点；这里所选择的那些例子不一定是最深刻或最重要的。但它们确实说明了当代数学的多样性和范围。
数学经常被定义为数与形的科学，它扎根于几何与算术。虽然现代数学的广泛性已远超过了这个定义，但是直到近来的计算机和数学的共振，一个更加灵活的定义才变得全然明显。
数学是模式的科学。数学家寻求数、空间、科学、计算机以及想象中的模式。数学理论解释了模式之间的关系；函数和映射，算子和同态把一类模式化结为另一类模式，产生了近来的数学结构。数学的应用使用这些模式来“解释”和预测适合于这些模式的自然现象。模式又提出了其它模式，经常产生出模式的模式，数学家们以这种方式依德他们自己的逻辑，由来自科学的模式开始，到加上所有由初始模式推导出来的模式为止。
在数学是模式的科学的意义上讲，计算机并没有太多地改变这门学科的本质：计算机之对于数学犹如望远镜与显微镜之对于科学。计算机已经成百万倍地增加了数理科学家们研究的模式的范围。随着这个范围的增加，数学应用与数学其它子学科的交叉联系也增加了。
由于有了计算机，我们可以把以前更加肯定数学发现类似于科学发现。它开始于寻求数据中的模式——数据也许是数，但更经常的是几何代数结构，推广导致了抽象，和头脑中的模式。理论则作为模式的模式而出现，其重要性由一个领域中的模式与其它领域中的模式的联系程度而决定。具有最大的解释能力的精巧的模式成为最深刻的结果，构成全部子学科的基础。
[Science，1938年4月29日]