今年，我们要赞颂美国的数学。

一百年前，T · S · 费思克（Thomas Scott Fiske）创立了纽约数学学会，即美国数学学会的前身。那时，数学在欧洲正蓬勃发展，但在这块新大陆上，数学几乎是刚刚出现。而今天，美国数学学会为数学研究提供了世界上最好的环境。这对于科学和社会是很值得庆贺的。

美国数学协会成立将近76年了。它是一个致力于数学（特别是大学数学）教学的组织。自1915年以来，数学学会与数学协会在许多共同主办的科学活动中相互合作。我们的使命——数学研究和数学教学——像无形的纽带，交织在一起，在美国科学界形成了重要的一环。

在美国数学学会诞辰一百周年之际，我谨代表美国数学协会祝贺我们的姐妹学会一个世纪以来所取得的成就，为美妙和有用的数学开辟了一个丰富绚丽的天地。美国数学学会百年诞辰也提醒在数学界的诸位应该环顾一下我们的同行，放眼于社会，展望一下数学的未来。我们一起庆贺，是为了赞扬美国数学取得的成就，称颂数学为科学的进步、国防的强大和经济的发展作出了巨大的贡献，同时也为了激发起美国青年对数学探索的热情。

显然，数学并不是从美国数学学会的成立后才开始的。早在它100年前（即300年前）牛顿就发表了《自然哲学的数学原理》（Principia Mathematica），确定了数学是理论科学的方法论的典范。由此，产生了许多数学分支学科，成立了众多的数学团体。美国统计学协会将于1989年庆祝它成立150周年，美国工业和应用数学学会于去年庆祝成立35周年，同年，计算机械协会庆祝了它的40岁生日。

“美国数学100年”是一个有一点夸张的提法，一个产生超出它字面含义的影响的口号。部分地，它是一种策略，目的是使大家注意到数学仍需要继续得到支持。我们庆祝“美国数学100年”，不是为了要把费思克与牛顿等同起来，而是借这个极好的机会，向数学界、科学界以及广大的热心者提出一些重要的问题，尽管有了成功的一个世纪，数学仍有许多亟待注意的问题。

今日数学。我们数学界的人都清楚地认识到数学有着巨大而广泛的生命力。如果把数学比作一门语言，那么应用（applications），热情（enthusiasm）、创造性（initiatives）、机会（opportunities）和统一性（unity）就是构成数学语言的“元音”。数学家就是用它来表达古老问题的解和探索蓬勃发展的新领域。数学的迅猛的发展是它非常健康的标志，但它要求我们中千千万万的人不断进取，因为数学研究的先导者正离我们而去。

我们可以引用许多活跃的研究领域来说明当代数学所具有的生命力，其中一些可以看一下这次会议的议程安排，最好是看一看“美国数学100年”活动的整个安排，尤其是那本精美的专题论文集，那是在波士顿召开的1988年美国科学发展协会会议的一部分，以及在普罗维登斯举行的美国数学学会百￥纪念X会上的关于当代数学的系列专题讲座讲稿。

今天，我想突出地从以下四个领域来说明数学研究的统一性和应用性：计算统计学、生物数学、几何数学和非线性动力学。每个领域都为数学研究的创造性提供了机会，都能在学生中激发起学习的热情。

计算统计学。统计学是研究关于在数据的收集、分析和解释由带有不确定性问题的科学。这并不奇怪，计算机在记录和变换数据方面的广泛使用，对统计学提出了许多新的要求。

例如，要对由电子扫描装置（如在层析X射线照相中、在飞机或卫星勘测中、在环境监测中）获得的数据进行分析，产生了对具有固有的空间结构的数据进行统计分析的迫切要求。在这个正在兴起的空间统计学领域研究中，就需要用到广泛的数学，统计学和计算方面的技术：把信号从噪音中分离出来，就要借助于工程学知识；对于不规则发散问题，就要应用数值线性代数方法；而对数据的整理，需要用到规范化统计技术。从整体来说，这是问题固有的几何特性，在许多情况下它是动态的和非线性的。

统计学的许多应用（如对改进药方的临床数据的处理）都是涉及到如何从少量的数据推断出有意义的结论。B · 埃弗伦（Bradley Efron）等首先采用改进的、计算上细致的统计技术，就是用可获得的有限数据产生许多具有相同统计特性的数据。通过对所给数据的重复采样，即所谓的仿真模拟法可以产生许许多多的类似的可能数据集，对各种复杂的统计来讲都能得到精确的逼近。再把已知样本的统计值与这些重复采样所具有的分布相比较，我们就可以判断得到的结果是否有价值。

生物数学。没有什么能比在诺贝尔奖背后的许多数学迹象更能说明数学在生物学中的潜力。例如，1979年的诺贝尔医学奖授予爱伦 · 考麦克（Alan Cormack），奖励他把拉冬变换应用于层析X射线照相术和CAT扫描仪的开发。又1984年的诺贝尔化学奖授予了生物物理学家赫伯特 · 豪普特曼（Herbert Hauptman），布发罗（Buffalo）医学基金会主席，奖励他在X射线晶体照相术中采用傅里叶分析方法的重大成果。

确实，最近的数学研究对生命科学的发展发挥着越来越大的作用，因为生命科学◆所采用的方法主要依赖于数学和计算机模型。由于在大型计算机上抓住了复杂的大分子结构的几何特征，从而通过模拟它与其他分子的相互作用来寻找生物活性剂，这就使得结构生物学家变成了遗传工程师。采用了这些计算方法，生物学家可以在计算机屏幕上描绘一个低温病毒的几何结构——一个具有非常美妙和迷人几何性质的错综复杂多面体——并在它的表面寻找分子的立足点，从而防止它对生物体的侵入。

遗传学家正花很大的精力来描述整个人体的基因组。这项宏伟的事业需要有统计学、组合学、人工智能和数据管理的专门知识来组织成千上万的信息资料。生态学家一一最早的数学生物学家——在不断用人口动态理论来预测人种的特性和相互关系。神经病学家现在用图论来设计人体神经网络和大脑神经网络的模型。细胞生物学家采用新发现的结点代数分类法来研究DNA的复制。流行病学家采用把新兴的统计学与经典分析相结合的方法监视艾滋病的传播。最后，生理学家把现代算法理论用于解世纪的流体动力学方程，来确定诸如胆固醇或心脏瓣膜肿大引起的血液紊流等问题。

几何数学。自欧几里得以来，几何学一直是基础数学一个主要支柱。经历了几十年的衰退（尤其是数学教学中）后，数学中的几何学1观点又在开始复兴，靠的是新的理论工具的开发和计算机图像显示的威力。客观地说，几何学在数学上又在起着核心作用，就如在古希腊时代一样。

在1986年的3名菲尔兹奖获得者中，几何学占了2名，是为了奖励迈克尔 · 弗里德曼（Michael Freedman）和西蒙 · 唐纳森（Simon Donaldson）在四维流形几何方面的贡献。唐纳森通过对反映物质波粒二象性的杨 - 米尔斯（Yang - Mills）场方程特性的研究，证明了四维流形的微分几何与它们的拓扑结构所显示的有很大的差异。弗里德曼则提供了拓扑分类法。他们两人的工作不仅加深了对四维流形的理解，而且得到了一个惊人的发现，就是：在四维空间中存在可微分的流形，它只是拓扑上而不是微分上等价于标准的四维欧氏空间。由此导致了在串理论（string theory）——一一一关于基本粒子的超对称的新理论——中的应用，同时，也为E. 维格纳（Eugene Wigner）称之为物理学中的数学“不合理效应”提供了新的论据。

计算机绘图为把几何学技术推广到其它数学领域里提供了新的有效手段。计算机——特别是大型计算机——能以可视的形式计算和显示各种数学结构，从而使得数学家能够“看到”一些抽象图形的重要特性，而对这些图形，在以前只能用形式的方法来解释，例如，微分方程解的可视表示经常可得到对该方程所反映的系统的特性进行新的全面而透彻的理解的机会。在对新的算法和数据结构的设计中，几何学研究的本身经常提出新的课题，从而在计算机应用方面（如数据库系统和文字处理）会获得远非是原先的几何学问题的附带成果。几何学研究人员和理论计算机科学的研究人员正在开始相互合作，最近在明尼苏达大学进行的几何学大型计算的研究项目就是一个例子。

非线性动力学。对非线性问题（如流体的紊流）的数学的分析只是在最近几年才能进行。这些新的解析法、巧妙的数值模拟和计算机图像显示，使这类问题的解决已成为可能。应用的范围从机翼剖面的设计到等离体物理学，从油回收到燃烧过程的研究。

非线性动力学已取得了惊人的进展，其中包括了长期所测定的结构问题（如木星红斑），确定地（而非随机地）产生的浑沌运动问题（如某些典型的天气现象），流体界面层间的不规则形问题（如水对油的置换）等，非线性动力学的数学分析牵涉到大量迭代过程强化的传统分析（特别是微分方程）、自动控制理论和不规则形几何学等。

非线性现象的计算机显示使我们能看到一些仅用解析法从未注意到的形式。在对动态系统、从有序过渡到浑沌、从平稳流动到出现不规则形等问题的研究中，计算机对数学所起的作用犹如望远镜和显微镜对科学所起的作用：它把各种形式放大了上千倍，使得数学家可以观察和研究。

牛顿时代的革命不仅把数学作为科学推理的典范。也把确定论（determinism）作为物理界变化过程的典范。非线性动力学——牛顿数学的直接产物——则说明了如何在一个甚至很简单的确定系统中也能产生歧义性和不定性，如何能对浑沌运动的产生的本身进行预测。在它的影响下，改变了我们对数学的牛顿观点。非线性动力学和量子力学一样，是一场革命：它们都打破了确定论思想的禁锢，向我们展示了一个面貌全新的结构，然而这往往与人们作为常识所考虑的相违背。

[The American Mathematical Monthly 95（1988）5]