今天上午我要讲的是，最近几百年来有关理论物理发展某些方面的几点彼此松散相关的看法。
1936年，在英国有一次拍卖，其中拍卖了牛顿（Isaac Newton 1642~1727）的许多论文，这是牛顿在离开三一学院赴伦敦时放在一只箱子中的。伟大的经济学家凯恩斯（Keynes）开始收集并重新编订这些论文。他成功地收集了其中的一半。在研读了这些论文之后，他于1946年写了一篇令人感兴趣的文章1），标题为《牛顿其人（Newton，The man）》。这篇文章对牛顿在人类知识历史中的地位作了有洞察力的评价。让我从这篇文章中引用两小段：
“从18世纪以来，牛顿曾被认为是近代第一个最伟大的科学家，一个理性主义者，一个教导我们按照客观的和不加色彩的理智来思考问题的人。我却不用这种眼光来看待他。……牛顿不是理性时代的第一个人。他是最后的一位巫师，最后一个巴比伦人和苏尔曼人，最后一位伟大的智者，他看待周围世界和智识世界，和几千年前开始建立我们知识遗产的那些人的眼光一样”。
凯恩斯是正确的。在牛顿的总共有100多万字的论文中，除了他的数学著作外，还有他“研究”神学问题和炼金术的大量记录。他深深地沉浸在神秘与奥秘之中。在如此大的干扰下，他能够集中进行清晰的数学思维，写出他的巨著《哲学原理》（The Principia），这必须被看成是伟大的历史奇迹之一。
在牛顿活着的时候，人们已经明白，他为人类开创了一条充满力量的光明之路。他终究解决了“世界系统”（这是哲学原理第三册的标题）的奥秘，当然，那是自人类文明以来，人类社会的最大的奥秘。亚历山大 · 波普（Alexander Pope）以感激之情写出了下面不朽的诗句：
“自然与自然规律在黑夜中隐藏着：
上帝说，让牛顿去搞吧！于是一切都光明了。”
人们并将它刻在牛顿的出生地林肯郡沃尔沙普的房间的壁炉上方。
那是1727年，60年之后，拉格朗日（Lagrange 1736~1813年）的《解析力学》（Mecanigue Analytigue 1788年）出版了，力学科学，包括天体力学和地球力学，都已成熟了，关于宇宙结构的宏观和微观的力学观点终于得以形成。这时，科学完全脱离了宗教，并以充沛的活力作好了起飞的准备，它给人类带来了各种或好或坏的后果。
在拉格朗日的时代，人们将解析力学看作是数学的一部分。例如，拿破仑曾说过：“拉格朗日是数学科学中高耸的金字塔。”令人感兴趣的是，在1781年，拉格朗日写信2）给良师益友达朗贝尔（d Alembert，1717~1783年）说：
“我也认为，矿藏挖得太深了，做如没有发现新矿脉的话，迟早将必须放弃它。目前，物理学和化学展现出光彩夺目的宝藏，而且容易开发，因此显然地，人们完全转到这一方向，总有一天，科学院中几何学教授的职位可能会落到像现今大学中阿拉伯语教授的那种地步”
拉格朗日称之为矿藏的就是由《哲学原理》所发展出来的数学和物理学。他所称之为物理学的，就是对热、光、声、电、磁的研究，他确实成功地预言了以后几年中在后几种领域中所发现的丰富宝藏。但他的错误在于没有认识到，数学中“新的矿脉”并不直接和《哲学原理》相联系，事实上，正是后来从他自己解方程的一些研究中才体现这种联系，导致群的理论；以及在19世纪和20世纪的数学和物理学中扮演主要角色的其他代数结构。
19世纪物理学中第一个重大发现是奥斯特（Oersted 1777~1851年）在1820年发现了关于电与磁之间的联系。《电磁》和《电动力学》等词就出自这一工作。又因为这项工作以及后来安培（Ampere 1775~1836年）等人的研究，法拉第（Faraday，1791~1867年）试图从磁造出电，于是在1831年发现了电磁感应。在接着的四分之一世纪中，法拉第实实在在地做了几百次实验，并将它们发表在1&31—1854年的《哲学汇刊》（Philosophical Transactions）上。这些实验报告描述了重要的工作，包括了电与磁现象的整个领域：感应、电解、静电、绝缘体、抗磁体等等。但对20世纪的物理学家来说，它们是不容易读的。因为没有公式，它们只是描述了法拉第试图以他的直观来理解有关电磁探究的细节。
这些探索包含了后来深深影响物理学历史的两个重要概念：磁力线和电紧张（Electrotonic）状态。首先，法拉第宁可将带电物体或带磁物体间的力看作沿着力线发生，而不看作远距离的作用。其次，他相信环绕磁体的状态3）或情况是
“一种压紧状态或一种振动状态，或许是类似于电流的某种状态，它是与磁力线紧密有关的某种状态。” （1）
在别处他称这种状态为电紧张状态。
在1854年，就是法拉第停止发表他的实验的那一年，年青的麦克斯韦尔（Maxwell，1831~1897年）从剑桥大学毕业了。那一年初，他写信4）给威廉、汤姆逊（William Thomson，1824—1907），信的开头如下：
“三一学院，1354年2月20日
亲爱的汤姆逊：
由于我已进入了不神圣的学士等级，我就开始想到读书。能有一段时间遨游在公认为有价值的，尚未读过的但应当去读的书籍中间，这是非常令人愉快的。但我们都强烈地倾向于回到物理学课题，并且我们这里的几个人希望去攻读电学。
假设一个人具有电学示范实验的通俗知识，又有些厌恶莫菲（Murphy）的电学，那么他应当如何去进行阅读和工作，以领悟这一课题并使之用于进一步阅读？
假如他希望阅读安培、法拉第的著作，那么应怎样来安排，又在哪个阶段他可以阅读你在剑桥期刊上的文章？
假如在你的心中已有了对上述问题的回答，那么我们这里的三个人都愿意将你具体写出来的回答看作忠告。”
汤姆逊是一个天才，他那时才30岁，但已在格拉斯哥大学当了8年自然哲学教授。他是电磁学理论方面的第一流权威，又是麦克斯韦尔的一个亲密朋友。麦克斯韦尔接近汤姆逊是幸运的，因为汤姆逊在1851年引入5）了现在称之为向量势A的概念，以表达磁场B如下：
▽×A=B （2）
（当然，汤姆逊不是使用向量记号，他写出三个方程，即（2）的三个分量来代替）我不知道汤姆逊是怎样回答麦克斯韦尔的，但除了别的事情外，很自然地会猜想他要麦克斯韦尔注意他的1851年的论文，我们确实知道，在一年多以后，麦克斯韦尔发表了他的使物理学革命的两篇论文中的第一篇。6），7）
麦克斯韦尔的论文是非常难读的，或许那就是为什么大多数近代有关麦克斯韦尔工作的参考文献都集中于他的第三篇论文8）和他的《电磁学专论》（Treatise on Electricity and Magnetism，1873年），而不看重前两篇论文，事实上，前两篇文章已包含了一切重要的思想。
这两篇论文的第一篇中的关键性想法是将汤姆逊引入的向量势认同为法拉第的电紧张强度：
向量势=电紧张强度 （3）
麦克斯韦尔深刻地认识到这一认同的重要性。该论文的第二部分带有标题：关于法拉第的“电紧张状态”，也就是在这一部分中作出了上述认同。麦克斯韦尔十分谨慎地把功劳归于汤姆逊和斯托克司（Stokes）：
“关于目前理论的历史，我可以说，认识到将某些数学的函数作为表示法拉第的‘电紧张状态’，并且利用它们来决定电动势和电动力，就我所知，是我首创的，但数学表达式的可能性的清晰概念，是在阅读了汤姆逊教授的论文后才出现在我的头脑中……。斯托克司教授曾向我指出，他曾在他的“衍射的动力学理论”中使用过类似的表达式（剑桥大学学报，第9卷，第一部分，第一节）。”
麦克斯韦尔是怎样得出关键的同一性认定（3）呢？关于这点我们从来不能确切知道，但我大胆地猜测，麦克斯韦尔曾仔细地研究了汤姆逊的论文，并且做了许多“例子”。事实上，他在文献6的末尾，加上了12个这种“例子”作为附录。例10对沿球体纬度绕有厚度t的导线的球状电磁体，明确地给出了向量势的分量α0，β0和γ0。例12对“在一个均匀的磁力线场影响下的传导物质做成的旋转壳体的情况”，给出了类似的分量（法拉第在他的《实验研究》第二辑中曾研究过这一现象）。作这样的猜测是自然的：由于熟悉向量势，麦克斯韦尔最后明白了法拉第在上面引文（1）中的模糊陈述意味着什么。
无论如何，在带有标题为《电紧张状态的概要》一节中，麦克斯韦尔陈述了六个定律。以近代的记号，其最后一个就是
E=-?/C （4）
经过一次积分，那就是法拉第定律
▽×E=-（▽×?）/C （5）
实际上，在麦克斯韦尔的一生中，他将向量势看作电磁理论中的基本量。在1873年，作为卡文迪什（Cavendish）讲座的教授，在著名的专论中，他写道：
“法拉第在早期研究中想到的感应电流，仅依赖于这样一个量的改变，而不依赖于该量的绝对值大小……在实验过程中，经过紧张的思维，但没有数学计算的帮助，使他认识到存在某种东西，现在我们知道它是一个数学量，并且甚至可以称之为电磁理论中的基本量。”
那个量就是向量势，在麦克斯韦尔的所有出版物中，他总是明白地写出他的方程，以向量势扮演主要角色。只是在许多年之后，赫兹（H. Hertz）与海弗沙特（Heaviside）消除了9）向量势，从而产生了“赫兹与海弗沙特形式的麦克斯韦尔方程”（随着量子力学的发展，通过阿哈罗诺夫-波姆（Aharonov-Bohm）实验，向量势变成了10）一个可测的量，不可能完全被消除）。
现在让我们回到上面提到过的文献6的那节中概括的6个定律。（与那最后的定律相关），其他5个定律联系到各种形式的安培定律，其中麦克斯韦尔反复地利用了下列两式的一致性：（用现代的记号）方程
▽×H=4nj/c （6）
通过斯托克司定理，等同于
∫H · dl=4π∫∫j · dσ/c （7）
此式还没有一个名称11）。麦克斯韦尔意识到，法拉第的想法一般被表示为积分形式，如上面的（7）式，但当时通常的数学思维趋于循着微分形式，如上面的（6）式。为了强调这一点，他后来在《专论》第一版的前言里写道：
“当我着手研究法拉第的著作时，我察觉到，他构想现象的方法也是一种数学的方法，虽然没有被表达成通常的数学记号的形式。……当我将我认为是法拉筹的想法翻译成数学形式时，我发觉，一般来说，两种方法的结果是相一致的，因此，对同一现象，用两种方法推出了同样的行为法则，但法拉第的方法类似于我们从整体开始，然后通过分解以得出各个部分的那种方法，而通常的数学方法是基于这样的原则，从各个部分开始，然后通过综合建立起整体。……” （8）
那就是说，法拉第使用积分形式，而通常数学方法使用微分形式。
顺便说一下，斯托克司定理当然是近代微分几何中关键性思想，用今天的数学语言，它具有非常简单的形式。
∫?RA=∫RdA （9）
它的第一次引入11）应当归功于斯托克司与汤姆逊，而麦克斯韦尔则用它将法拉第的积分型的观念翻译为微分方程，因而创造了场论。也只有麦克斯韦尔才能欣赏到它的深刻的数学意义。
在麦克斯韦尔的关于电磁学的第一篇论文（文献6）发表后5年左右，他又发表了关于这一课题的第二篇论文7），其中他得到了位移电流的思想，并导致“光是横向电磁波状态”的历史性结论。
那篇论文分成四部分，其中第一与第二部分发表于1861年的3月、4月与5月，第三部分发表于1862年的1月与2月。很奇怪，位移电流引入得较迟，是在第三部分的一个命题（命题14）中作为第一部分的一个前面的等式（安培定律）的校正而引入的。那篇论文的目的在文章的一开头就说得很清楚。联系1856年的早期工作，文章说道。
“在同一篇论文中，我发现了“电紧张状态”的几何意义，并指明如何推导电紧张状态、磁、电流与电动力之间的数学关系式，利用力学例子说明以帮助想象，而不是要说明现象。”
“现在我打算从力学的观点来考察磁现象，从而决定一种介质中的什么样强度或什么样的运动可能产生所观察到的力学现象。”
他当时所讨论的力学模型是《分子旋涡》理论，这是一种非常复杂的模型，直到现在我还不能理解它。事实上，我也不清楚他的关于位移电流的关键性的发现与模型的复杂性究竟有什么关系。无论如何，后人是幸福的，麦克斯韦尔在下一篇论文中，完全消除了旋涡模型（见文献8）。后来，在1873年发表的《专论》中，这一模型在书的主要部分中不起任何作用了。
在1936年的一篇文章12）中，拉摩（Larmor）公开了从1854年到1879年由麦克斯韦尔写给汤姆逊的信件。不幸，其中有1856~1861年5年的空当，大概是拉摩没有找到这一期间的任何信件。在这一空挡之后，第一封信是1861年12月10日发出的，显然，那时麦克斯韦尔已发现了位移电流，并已发现了电磁波的速度与光速的同一性。不幸地，这封信没有说明他如何发现位移电流，也没说明分子旋涡模型如何在位移电流中起作用。
法拉第死于1867年8月25日。麦克斯韦尔为他写了颂词发表在《自然》杂志上。颂词的一部分具有强烈的维多利亚女王时代的风味：
“法拉第生活的国家是强大的，假如我们中间有更多法拉第的话，国家就会更加强大。”
对我来说，颂词的最有兴趣的几段是麦克斯韦尔描述了法拉第的直观与数学之间的联系：
“法拉第利用他对磁力线的想法与电磁感应现象等同起来的途径，表明他实际上是一个出类拔萃的数学家——未来的数学家可以借助他的工作导致大量有价值的方法。……从欧几里得（Euclid）的直线到法拉第的磁力线，这就是科学赖以前进的思想的特征，并且由于自由地使用和动力学的观念，我们可以期望有进一步的发展。”
显然地，这些评语表明了麦克斯韦尔对法拉第直观地理解电磁学方程的积分形式的极大钦佩。我们可以把这与法拉第对数学的怀疑态度相对照：在1857年，法拉第收到麦克斯韦尔关于电磁学的第一篇论文13）后，在3月25日写信给年轻的作者：
“我收到了你的论文，为此非常感谢你。我没有因为你提到了“磁力线”就冒昧地感谢你，因为我知道你是出于关心，科学基本原理的真理性而这样做的；但你一定会认为那是令我愉快的工作，从而给我更多的鼓励以继续去思考。当我看到用这种数学上的力来支撑研究课题时，我一开始几乎惊呆了，可接着又惊奇地看到这一课题被处置得那么好。”
这就把我们带到了数学与物理学之间的微妙关系的题目上了，这一题目是经几百年来逐渐地发展的。在最近一百年来，数学变得越来越抽象，有着脱离它的物理学源泉的强烈趋向。著名数学家马歇尔 · 斯通（Marshall Stone）在一篇文章中雄辩地强调了这一趋向14）
“虽然自1900年以来，在我们的数学概念中，或在我们关于数学的观点中，己发生了若干重要的变化，但思想方面真正卷入革命的一个变化，则是发现了数学完全独立于物理世界。比说“思维产生于大脑”这类含糊的意思更进一步，可以将它说得稍微更精确些，即现今已认为数学与物理世界没有任何必然的联系。可以毫不夸张地说，这一发现标志着人类历史上最重大的知识进步之一，就数学而言，只有另一个伟大的发现可与之相提并论——希腊人认识到，几何学的经验事实可归结为一些逻辑的模式，它们结合得如此之好，以至于整个几何学可作为基于有限个公理之上的，内容协调的逻辑结构而出现。”
照我看来，斯通的话很有道理，但并不全对。虽然在本世纪中这两门学科的分离的势态是变得越来越明确了，但也确有迹象表明这两门学科从根本上是深深地联系着的。其间的关系是太微妙了，以致不容许作简单、片面的描述。
我曾写到过这一微妙关系的两叶理论（见图1）如下：
“尽管数学与物理学之间的联系拫深刻，但认为两门学科交叠很多，那将是错误的。它们并不交叠很多，它们有各自的目标和风味。它们有不同的价值观，不同的传统，在基本概念上，它们令人惊异地共同使用某些概念，但即使在那些上面，每个学科的生命力总是沿着它自己的叶脉流动。”
图1数学与物理学之间的关系的两叶理论
交叠的面积只是每个学科的一小部分，或许仅有百分之几。例如，实验物理学就不在交叠的区域中，虽然它代表物理学中一大块研究领域。有时，交叠的面积会扩大，例如，当爱因斯坦（Einstein，1879~1955年）将黎曼几何引入物理学时。但同时这两门学科的不相交叠的面积也大大地扩张了。
两门学科之间的微妙关系也产生了数学家与物理学家之间一种牵引力。数学家倾向于离开物理学家，但在物理学家中间，有一些人认为数学家们是在自鸣得意。依我看来，这一现象的社会学还没有被充分分析过。
尽管本世纪中一大群数学家有脱离物理学的倾向，但在这时期中，交叠区域却大大扩张了：黎曼几何，希尔伯特空间，李群，纤维丛，拓扑学和量子群部是当代物理学许多分支的概念性基础。很难避免得出这样结论：自然界似乎倾向于用数学中漂亮的基本结构去组织物理的宇宙。我们可以不明白为什么会这样，但我个人坚信，在下一个世纪，交叠区域将继续扩大，这对两门学科都会有益。
参考文献
1）J.M.Keynes，Essays and Sketches in Biography（Meridian Books，N.Y.，1956）
2）V.I.Arnold，Huygens and Barrow，Newton and Hooke，p1O7（Birkhauser，1990）
3）W.F.Magie，A Source Book in Physics，p.511（Harvard University press，1969）
4）J.Larmor，Proc.Camb.Phil.Soc.32（1936）697。
5）W.Thomson，Phil.Trans.Roy.Soc（London）141（1851）243—285。
6）J.C.Maxwell，On Faraday's Lines of Force，Trans.Camb.Phil.Soc.10（1856）27—83。
7）J.C.Maxwell，On Physical Lines of Force，Phil.Mag.21（1861）161，281，338；23（1862）12，85。
8）J.C.Maxwell，A Dynamical The ory of the Electromagnetic Field，Phil.Trans.Roy.Soc.（London）155（1865）459。
9）J.F.Mulligan，Physics Today，March 1989，P.50
10）C.N.Yang，Proc.3rd Int.Symp.on the Foundations of Quontum Mechanics，P.383，（Physical Society of Japan，1990）
又C.N.Yang，Hermann Weyl（Springer-Verlag，1986）
11）麦克斯韦尔熟悉斯托克司定理，因为他在1854年初参加了史密斯奖考试（Smith Prize Examination）〔与路兹（Routh）一起得到第一名〕，而考试的第8题就是要证明斯托克司定理。细节可参看J.C.Maxwell的《Treatise》第24页末尾，又见L.Larmor关于1854年史密斯考试题的脚注，在《Mathematical and Physical Paper of G.G.Stokes》（Cambridge University press 1905）第5卷第320—321页上.又见C.W.F.Everitt，James Clerh Maxwell，p.91（Schribner's Sons，1974）
12）J，Larmor，The Origins and Clerk Maxwell's Eltectric Ideas，as Described in Famlliar Lethers to W.Thomson，Proc.Camb.Phil.Soc.32，（1936）695。
13）L.Camptell and Garnett，The Life of James Clerk Maxwell，P.519（Johnson Reprint Corp.1969）
14）M.Stone，Am.Math.Monthly，68（1961）715。
15）C.N.Yang，Proc，Second Marcel Grossmann Meeting on Gen，Relativity，R.Ruffini（ed.）p.7（North Holland，1982）。
（本文译自纽约州立大学石溪分校理论物理研究所予印本，编号ITP-SB-92-55。郭毓陶译，张奠宙校）