70年代末期在世界范围广泛兴起的浑沌研究明确了这样一个事实，确定性的（deterministic）系统可以拥有内在随机性；不确定性（uncertainty）首先出现在经典力学中，而不是量子力学，浑沌是一种有界的、回复性的、非周期运动，它由确定性规则（方程）生成，对初始条件具有敏感依赖性。宏观上粗略地看，浑沌好像是突然涌现子科学界的，但如果用“放大镜”去考察科学史，会发现一种奇妙的、几乎连续的思想发展过程。比如关于浑沌运动本质特征之一的指数不稳定性的研究，可以上溯到阿达马（J?Hadamard）于1898年、埃德朗（G. Hedlund）和霍普（E. Hopf）于1939年、克雷洛夫（N. S. Krylov）于1947年的工作，又如，浑沌研究揭示了牛顿力学本身的非决定性或不确定性，令科学界为之一震。然而，多年以前就有人以类似于今日浑沌理论的思想，讨论过经典力学的不确定性，仅仅通过经典力学就摧毁了“物理决定论”的幻想。”

1995年玻恩（M. Born，1882—1970）发表了题为“经典力学真的是确定性的吗？”的论文（收于其文集《我们时代的物理学》）。文中也出现了Chaos这个词。他坚信经典力学实际上容许了非决定性，理由有三个，①牛顿力学并不足以解释所有观测事实，特别是原子物理的事实。②牛顿力学来自宏观领域，如果对比天文学与原子物理学的时间尺度，会看到前者是“短命的”，后者是“长命的”。由前者得到的经验定律，试图使之对后者永远有效，这可能是危险的。③动力学不稳定性使得小偏差可以产生意想不到的大偏差，只要系统的初始条件测量有误差，系统演化就可能违反决定论。

人们通常宣称：在气体动理学（Kinetic theory）的讨论中，系统原则上都是决定论的，之所以要引入统计学，只是因为人们不知道大量数目分子的确切初始位置。玻恩认为，这一断言极其可疑。考虑一运动的球形分子与其它数目众多的固定的分子发生弹性碰撞。不难想象，初始速度的方向只要有小小的变化就会导致方向的巨大改变，产生完全不同的曲曲折折的运动路径。角度有小小的偏差就将使得本该与某分子碰撞而错过了机会。对于这类系统，若要维持决定论，就必须要求对初始条件的测量误差完全避免。这显然不大可能，因而过程实际上是非决定论的。为了进一步证明这一点，玻恩讨论了三个问题：①动力学稳定与不稳定的区别；②决定论（determinism）；③数学连续统（continuum）。进入80年代，玻恩的讨论已被福特（J. Ford）和则比黑里（V. Szebehely）大大发展了，但回顾一下玻恩当年的分析还是值得的。

设x和v分别代表位置向量和速度向量。玻恩定义道：运动是稳定的，若在初始状态中小的偏差?x0，?v0在终态中仅仅引起小的变化?x，?v；否则运动是不稳定的。上面提到的分子碰撞系统就是不稳定的，这类系统显然有许多。那么行星的运动是否稳定呢？玻恩提到了三体理论和多体问题，他说：“我不晓得现代研究的进展怎样。”“关键之处在于，存在一些系统（它们可以用作物理过程的模型），首先它们是空间有界的，其次所有的运动都是动力学不稳定的。容器中具有弹性壁的弹性球形气体分子模型就是这类系统，但它太复杂了，难，以严格分析。”（后来西奈（Ya. G. Sinai）严格证明了一个定理）

在阐述动力学不稳定性的意义时他说：如果我们希望保留决定论，即初始状态决定了所有其它状态，那么我们不得不需要x0，v0的绝对确切值，禁止有任何偏差?x0，?v0。我们可以讲“弱”决定性和“强”决定性。后者对应于动力学稳定运动，对其预测是实际可行的。不幸的是这仅仅是例外情形。看一个简单的例子，一个质点在两端有弹性壁的区间[0，1]上来回运动，假设不受任何外来作用。实际情况是，到达某一临界时间tc=1/?v0，不确定性?x>1。于是质点可以在区间〔0，1〕上处处找见，即最终位置不确定。的确，当减小时，临界时间tc增大，但只要?v0为有穷值，临界时间tc仅仅被推迟而已。只有?v0=0时，tc才变得无穷大。这里已经涉及到了连续统的测量问题。玻恩正确地指出，类似于“量x有一完全确定的值（用一实数表示，或用数学连续统的一点表示）”的陈述，“对我来说没有物理意义”。他赞同布里奇曼（P. W. Bridgman）的操作主义的方法论。顺便一提，郝柏林提出的“有限性原则”很类似于这种方法论。玻恩并无意从物理学中清除实数概念，实数“对于分析的应用是必不可少的”。他的意思是，在用实数描述物理过程时，必须考虑到所有观测中存在的天生的不确定性。玻恩特别指出，在量子力学中，除了海森堡不确定性外，仍然存在刚才提到的动力学不确定性或非决定性，否则量子统计力学不会诞生。

布里渊（L. N. -Brillouin，1889—1969）熟悉庞加莱的动力学研究，也看过玻恩的众多论述，专门写过一本书《科学的不确定性与信息》（1964）。他从信息理论的角度出发，天才地厘定了数学与物理科学之间的必要区别（物理科学在这里泛指所有经验科学）。这种区分并不困难和费解，但在现在看来的确高明。数学驰骋天界，物理则驻足人世。天界并不实存，只是人的构想，数学也如此。但正因为它是尘世中人的构造，它必根植于并抽象地、理想化地反映现实。

布里渊追随庞加莱和玻恩关于经典力学的看法，关于测量的极限他举过一个很有说服力的例子。他断言，我们绝对没办法精确测量比10-15 cm更小的距离，仅仅因为没有合适的衡量标准（“尺子”），如果人们硬要测量10-50 cm的距离，唯一可用的尺子是与此相当的某种光波或德布罗意波（λ≈10-50 cm）。可以估计一下单个量子的能量大约为

E=hv=hc/λ=6.63×10-34×3×103/10-52=2×1027（焦耳）

这个能量大得惊人，足以把实验室炸得粉碎。再利用爱因斯坦的质能关系，可以估算瞬间湮灭掉的质量

M=E/C2=2×1027/9×1016=2×1010（千克）=200（万吨）

我们知道，为了进行测量，波与物理系统之间的相互作用至少需要一个这样的量子，如此之大的能量必然引起了一场灾难。因此，测量10-50 cm的距离是不可能的。既然如此，物理学家就不要侈谈它！数学家并不受此限制，他们并不在乎实际上能测量到何种水平。数学家可以很好地定义无理数，但物理学家从未遇到这种数。“翻开一本纯数学书，看一个定理。总会见到这样的叙述：给定某种条件A，B，C，假定它们被确切地满足，则可以严格证明结论Q正确。物理学家不禁要问：我们怎样知道A，B，C被确切地满足？”“我们所知道的唯一东西是，A，B，C在一定的误差范围内被近似地满足。那么，定理证明了什么呢？或者A，B，C的很小的误差可以导致最终结果Q的很小的偏差；或者不然，可能完全破坏了Q。”因此物理学家不但要看数学定理形式上说了什么，还要了解“定理的稳定性”状况，这便是数学定理与物理理论的重要差别之一。

在《科学的不确定性与信息》一书第10章，布里渊讨论了“经典力学中不确定性的实例”，开篇就引用庞加莱《天体力学的新方法》第1卷中的著名定理并阐述它的意义。他认为，对于多数保守的经典力学系统，在用哈密顿-雅可比方法表示中，除了能量积分外不存在其它任何解析的、一致积分这一结论，对应于实际的不稳定性，将导致不确定性。当时已经有了KAM定理，他可能还不知道。不过，他的讨论在定性上与KAM定理一致。布里渊特别强调数学讨论是一回事，物理学事实是另一回事。在用哈密顿-雅可比方法讨论时，总是假定规律已知，初始条件完全给定，运动轨道是单一的无厚度的数学曲线，涉及共振时采用数论理论区分一下通约性，把问题进一步区分为“一般的”和“退化的”。而在物理学家看来初始条件没有“给定”，运动定律也不确切知道。“无理数”和“可通约性”都不是物理概念，物理上不可能研究单个数学轨道的性质，物理学家只知道轨道丛（bundles of trajectories）。布里渊在书中还提到波莱尔（E. Borel）在1914年作出的类似见解及其关于长期行为不可预测的估算。（本文承蒙朱照宣教授指导并推荐）

参考文献（略）

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* 物理决定论区别于数学决定论（或逻辑决定论）。凡认为真实世界中事件的发展过程是完全确定的，都可称为物理决定论。它是错误的,但数学决定论并不错！