[编者按]随着科学技术和国民经济的发展，应用数学已成为一种必不可少的工具，越来越受到人们的重视。应用数学不仅是各类大学的一门重要课程，而且是对现有干部进行二次教育的重要内容。应用数学的知识，除广泛用于自然科学和技术科学外，也开始用于社会科学。
绪 言
你们都知道，参加各种研究工作的数学家，往往需要一种与适合于培养纯数学工作者的教育计划中所传授的完全不同的知识。这种形势对安排大学数学教育计划提出了一个挑战性的问题。我们能否设计一个应用数学大纲？（a）从学术观点来看，它是连贯的；（b）对天资高的学生，在智育上它是挑战性的和有吸引力的；（c）同时它将符合希望在工业和政府部门就业的学生的需要。
我这儿讲的是大学生和研究生。但是我觉得（同时我的感觉近年来已经更加强烈），像许多其他方面一样，我们训练中的重要因素是其吸引大学生的能力。
讲到教育训练时，当然我不涉及到技术训练计划。我主要讲的是，为一个长期的学术努力做准备，一个教育计划可使学生最终能独立思考，必须有一种哲理一致性，一种清楚的观点和具体的一套共同目标，即全体应用数学家认为致力于这一套是合适的共同目标，这些基本原则应足以维持个人的终生生涯。它们也应能无限期地支撑职业。
关于应用数学的性质和作用，基本上有三种说法：一种集中于把应用数学当作纯粹数学，把应用范畴作为它的扩充或专门化（和由此涉及到第二种作用）；另一种是基本上把这课题留给独立学科里的理论家而不必把应用数学看作一个独立的行业（显然，这种见解在“工业和应用数学”会议上是不能提倡的）；第三种是要看到应用数学的所有分支是相互联系的——类似于纯粹数学的各个分支，并且抱着通过所有应用数学家的合作奋斗，所有这些课题间的互相联系会得到加强的希望，应鼓励有才智的青年学生对这些课题有个综合性了解，至少应使不同专业之间彼此了解，彼此尊重。这种方法我称之为“综合方法”，我已经在许多场合提倡过这种方法。
什么是应用数学？
首先通过考察纯粹数学和科学之间的关系，说一说应用数学是什么意思。说实在的，就是纯粹数学这个术语，往往引起论战。有些数学家认为，把纯粹数学和应用数学分开是人为的。我认为数学和科学之间关系是：在中心，是基本数学原理的核心——纯粹数学（或核心数学）的内部堡垒，外面边缘，有各种科学，如物理科学、生物科学、医学、工程、社会科学管理等，应用数学介于其间。关于这张图我认为不会有很多反对意见吧。
关于应用数学的作用也没有什么不同意见的。它至少存在三个步骤：（1）数学表述；（2）解和；（3）解释。有些人将增加对科学问题一般性质评价的导论性步骤和审查结论性步骤。
一般地也可同意这种看法，即数学表述化过程经常是最困难的。一个似乎有理的模型，可能必须考核几个月或几年的时间才能得到一个正确的模型。人们必须大量地考核科学事实。有时候，甚至没有一个“最好的模型”。所有的模型可能证明都是十分不完美的，同时每一个模型可能只对部分理解有益。在判定各种模型的有效性（或不足方面）时、需要对科学问题做深入的理解。
纯粹和应用数学家的分歧，尤其表现在教育过程。许多纯粹数学家坚决主张，一个人成为纯粹数学家之前首先要学习应用科学。然而，数学不是一个容易的课题。学习应用是另一件难事，正如我们已经指出的，特别是数学表述化和解释过程。
作为一个应用数学家，我不同意，认为应用数学家是一个超人的观点。我们只不过不如职业纯粹数学家那么懂纯粹数学（而且我们不必知道更多），我们所需要知道的是，纯粹数学是我们正在使用的有关数学的基础。一个统计学家必须懂得概率论，一个物理数学家应该懂得微分方程（常微分方程和偏微分方程）等等，但是两者中没有一种人一定要懂代数拓扑。
为了促进数学理论，我们宁愿从科学问题开始，并采用研究事实的方法。人们用这种方法，能够直接触及有趣的应用。
实际上，这与应用数学的发展是一致的。以Fowrier级数为例吧。这个问题始于热传导问题，人们能够容易地证实表示任意函数的有效性，然后纯粹数学家提出关于什么类型的函数能够允许Fowrier再现，并深入进行纯分析。另一方面，应用数学家可以用分段光滑函数，在Fowrier变换、Laplace变换、广义调和分析和这些方法对一系列科学问题的应用，如射电天文学和分子结构的应用等方面大有作用。
另一个指出纯粹数学和应用数学二者之间特性不同的例子是数值分析和计算机。因为人们不能解析地解出数值天气预报必需的偏微分方程的解，人们不得不用数值方法去求解了。而且，人们没有偏微分方程组的现成定理，人们就不能证明在无穷小步骤的渐近极限中的收敛过程。但是，人们必须以一种建立在对确信过程有效性的经验数据基础上的信心，继续下去。否则，人们必须立刻停止在本国现在可以用机器加工的大宗分数计算。而且有人告诉我说，计算是一种十分庞大的工业，一年要花费十亿美元左右。
应用数学家教育的困难，并不像有时候人们所描绘的那么大。
应用数学家的培养
现在让我来论述教育计划：从一些一般性的评论开始，以提出一个专门的教育计划结束。
正如上面所提到的，我相信一个综合性的方法，即应该有一个公共教育计划（至少在大学阶段）、以开创应用数学家的团体精神。
人们可能问采纳这种综合性方法是否现实。从我自己对这个问题的调查，回答是一个绝对的“肯定”。我近来读了生态学、人口数学理论、经济、组合分析等方面的文章和书籍，我没有发现数学用于这个或那个有什么不同的地方。我发现，用于生物科学和用于物理科学的数学方法没有什么本质的不同，人们使用着相似的数值分析方法和计算机。
如果用于不同科学中的数学方法是完全背道而驰的话，那么在应用数学家中建立团体精神当然更困难了，也许甚至是无意义的了、
现在让我们转而讨论教育计划。随便哪一种教育计划的最终目标都必须包括下列内容：（a）培养态度、观点和价值判断；（b）获得大量的系统知识，这种知识值得一代一代往下传，而且易于理解，对探讨这个特别领域的研究具有特殊意义；（c）培育某些才干，尤其是解决这个领域内问题的创造能力。
我们怎样才能定出一个应用数学教育计划来达到上述目标呢？
这种培养过程必须在形成性格的大学期间开始。假如一个人形成一种想法，认为借助数学方法证明一条第一流的代数定理要比研究石油勘探或解释在大气层或银河系中观察到的某个现象更有价值（或者认为后者是他人的事），要使他转到另一套信念方面去是很难的。如果一个人脑海里有了一种要用自己的数学才能去解释高能物理中某个观点的深刻印象，他就不大会满腔热情地去攻生物学或经济学问题。
那么教材（或应用数学学生的主要知识内容）的基础，必须选自以往所有科学中的典型数学成就。必须采用实例的研究法。同时还必须使学生们懂得，虽然在已经建立的领域（如力学，或范围更广些，如物理）中，应用数学家能继续有成功的机会，但是将来惊人的成就可能在数学迄今尚未得到充分利用领域中出现。
正是缺少这种范围广阔的通论性课程，致使培养出来的综合应用数学家困难重重。一个有志于成为综合性应用数学家的青年学生，通常发觉他自己处于一种几乎不可能办到的地位，因为他得从大学各个自然科学系适合他的课程中替自己选出基础科学的数学侧面。而这种尝试本身具有极大的教育价值，但要作出极大的努力。学生的通常行动步骤是把他自己放在一个传统的系里，要么数学系或其它某个科学系，这种专门化会使培养综合应用数学家的主要目标失败。
有经验的科学家，为这些有志的青年学生做一种把数学与科学之间相互影响的全貌加以抽象和综合的工作。实际上，这种努力是任何专业教师起码的责任。为了使学生有效地进行未来的研究，他们必须讲好导论或概论课程，使他们看到整个领域现状的全貌。
另一类课程，最好由专业应用数学家来教，通常叫做“应用数学方法”的那些课程。这些课程应适合各种水平。除了这二类“专业课程”外，学生还必须打好基本纯粹数学方面的基础，并至少在一个科学分支中有一定深度的素养。
我们可以把综合应用数学的基本教育计划概述如下。它包括：（a）从应用数学家角度来培养，强调解决现实世界的问题；（b）从掌握通常工作技能来培养（应用数学方法）；（c）着重于全貌的应用数学概论5（d）纯粹数学的基本教育；（e）至少在一个科学分支方面有一定深度的素养。
计划中（a）（b）和（c）三项，应正规地由应用数学家讲授。计划中（d）由纯粹数学家讲授，计划中（e）应由不同专业的专业科学家讲授。
研究生教育，自然是上面讨论的基本计划的扩充和继续，它自然必需包括培养学生做研究工作的能力和独立思考的能力。
应用数学本科教育计划
麻省理工学院数学系，在应用数学委员会的推荐下，已经采用了一个强调应用数学，可能达到数学科学学士的计划。除了达到这个系一般的规定外，选择这个专业的学生必须达到下列要求：（a）基本计划（必修）：
微积分，微分方程；线性代数和近世代数，复变量，离散数学导论，连续数学导论。
（b）专门化：最少从下列二组课程中选择四门课；至少从每一组中选择一门课，即：第一组——（1）概率和随机变量或概率；（2）统计推断或应用统计学；（3）应用组合分析；（4）计算的数学理论导论。第二组——（1）数值分析；（2）数学物理导论1；（3）数学物理导论11；（4）流体力学导论。（c）打算进研究生院的学生，要努力读一门分析课。
我们对此作评论如下：（1）人们相信，建立这种选择，对师生二者提供了许多好处，特别是，它将使应用数学计划对学生们更加看得见摸得着。
（2）在实现上述计划中，尽力少包括一点限制性要求、以便给系里的全体成员提供多种多样的兴趣。
（3）对这个计划中的课程要求将作（大概将作）一次又一次修改，但是计划的总特点预料将会在相当长的时期里保持不变。这些有用的课程，在麻省理工学院可换选择，例如一门是统计推断或是应用统计。但这是多余的，因为统计中任何一门基本课程都是适当的。
教育计划的某些实际方面
至少有三个重要的实际理由提供给大学应用数学教育计划：
（a）如果仅仅提供一个研究生计划，人们不得不集中在某些专业领域中研究能力的培养方面，而对于广度的培养没有充分的时间，导致应用数学活动零乱得很，因而削弱了全部的努力。困难的通常症状是，少数优秀学生进入研究院去研究应用数学。
（b）维持大学计划，将给应用数学人员的兴趣和活动集中于一个共同点上。在一个大学计划中将引申出主题材料，但比较缓慢（牛顿力学一直有它的作用，量子力学不能一夜之间改变它）。这可在学校方面作出相对稳定的共同努力，共同努力创造了稳定性。对于研究生计划，教员中间必然存在各种各样的兴趣。而且，他们的兴趣按照科学进展的新趋势和主题材料的活动，经常十分迅速地改变。除去专家之间交往外，不可能存在真正的交往。任何团体，同事之间完全不来往是不正常的。
（c）数学方法课程，包括概括课程，对纯粹数学、科学和工程等许多其它方面的学生来讲有巨大的教育价值。实在的，通过系统的数学方法课，学生甚至可能排除提供专门的“公共服务”的需要。这种课程在大学中经常是巨大不满意的源泉。
经常地要求一个教员履行某些小小的教育义务。按照大学计划，一个应用数学家的教育责任，主要讲授培养未来应用数学家的课程。如果应用数学家必须先教“公共课程”，他们就不能不感到成了学术团体中的“二等公民”。
结束语
今天我的目的不是讨论应用数学的研究，我想只作几点简要的说明：
（1）强调把重点放在现实世界问题的解法上。应用数学家必须能够对科学产生实际影响、并准备与通过其它途径培养出来的理论家竞争。
（2）在一般教学方法和理论的发展中，应用数学家应当把重点放在与应用直接有关的方面。把极大多数（如果不是全部的话）纯粹数学的课题留给对应用感兴趣的纯粹数学家去处理。
（3）冒一点险。不冒险，一事无成，要攻新问题，避免过多的反省和狭窄的兴趣。
我不否认，有些学生宁愿先学纯粹数学，再学应用方面的某一专门行当。这些人能对应用数学作出贡献，但是我想，现在需要具有综合理解力类型的应用数学家。
[SIAM Rev. 1978年20卷4期838 ~ 845页]