数学和物理学的接近
和达三树（东京大学教养学部物理学教研室）最近几年来，在统计力学领域里可解模型的研究取得了大发展，这是关于二维的古典统计力学方面的，因该模型具有能准确计算出热力学量的特点，从利用它就能系统地进行研究这个意义上而言，它是具有划时代意义。而且，因它与保形场的理论及超弦理论有关连，与基本粒子理论在数字方面具有共通性。
江口徼（东京大学理学部理学教研室） 在基本粒子论方面，超弦理论作为力的统一理论而引人注目，保形场的理论已取得进展，它对超弦理论能提供必要的基础方面的数学依据。过去，物理与数学曾有过密切的往来史，如概率论和解析论在物理学方面的应用等。最近有人提出了代数几何学的概念，这对专门研究高度抽象数学理论者将是个冲击，但它毕竟是个非常新颖的事。
甘利俊一（东京大学工学部计数工学科） 研究物理学的人也许对综合系统这个词汇很熟识。现在人们正在积极研究的神经电路网与数学的接近比基本粒子论与数学的接近还相差甚远。
江口 迄今的数学尚未开发出像处理基本粒子磁场的量子论里出现的那种无限大的自由度。研究基本粒子论的人一直在利用量子论里会出现无限大这一点，从经验的角度开发出能巧妙地引出物理方面的结果。但数学家很难理解这种观点和作法、甚至对有些结果还持怀疑态度。最近对其中隐藏着的各种有趣问题已渐渐地得到了承认。这使人感到在数学方面也很有必要开辟新的解析法。现在出现的保形场的理论还不是把无限大的问题作为解析问题来处理的。
高桥阳一郎（东京大学教养学部基础科学科） 目前尚未能作为解析问题来处理。
江口 目前只能用代数或几何的方法从定性方面去理解，在定量方面的理解就更难。
高桥 用定量的理解也许还要10年甚至20年。
江口 目前利用定性方法可解释清楚的已出现了各种问题，这将给数学是个大的冲击。
冈本和夫（东京大学教养学部数学教研室） 因在数学领域里无法随意利用无限的自由度，那些问题的处理也许是利用数学的有限维数后再想用各种辅助方法配合的吧。
数学领域里的两股潮流
冈本 不限于解析。自古以来数学基本上存在着两种潮流。一是不断地朝着一般化方向，二是朝着非常特殊的方向。长期以来这两种潮流都隐藏在数学的航道里，但70年代初重现的孤波［soliton］就是属于非常特殊问题之例。
江口 用特殊方程去求其特殊解是令人耐味的现象。
冈本 用微分方程为例来说，到底在大的条件下来证明解的存在或去求其边界值等问题都是属于一般性的。但孤波的KDV方程时，虽说一般给予其始值去求解，但在这种条件下去求解并使人感到有趣味。所以KDV方程应该说是属于解特殊问题的，这就是十九世纪末一时盛行用它去解孤波等特殊问题。
和达 统计力学的可解模型也属于朝着去解决特殊问题的方向发展。
冈本 也许是那样，这对数学的冲击极大，因为以往数学家并不大留意去研究这个问题。
和达 物理学家也同样不太研究这个问题。
甘利 数学总想先办容易立竿见影的形式上的问题，对于特殊的且带有趣味性的问题并不太积极去研究，往往只把它作为例题而已。
冈本 因个别的有趣的问题相应地难了。
高桥 有时到了要研究“柯尔莫哥洛夫”［kolmogrov］相容性条件时才认识的是在本世纪初已有“勒贝格”［Lebesque］积分，“傅里叶”［Fourier］分析等经典解析学。在这基础上出现了“希耳伯特”[Hilbert］空间及“巴拿赫”［Banach］空间的理论。从三十年代前后开始，以统一的观点来看问题就成为数学上的主流。在遇到解析不通时，人们就爽快地着手去研究孤波之类的理论。
数学和物理学从走两岔到交接
和达 从60年代后半期开始，物理学领域就出现了现在这种潮流。原因之一是计算机的发展，像非线性问题的研究以往是用一步一步爬行的方法，如今天所说的孤波、混沌［chaos］、分数维［fractal］的问题过去郞只是作为例题而已。把这些利用计算机进行了集中计算，H混沌的研究而言，在变换各种x值的过程中，也渐渐地能看清其全貌。从孤波的研究看，无论用的是KDV方程或KP方程，它们都是KP的等级体系［hierarchy］。
另一方面，物理学在20世纪也经历了量子力学和相对论的大革命。另一部分人研究了另外领域的问题，但其研究成果在当时也许难于在物理史上留下了记录。其结果物理学家留下了一些尚未着手研究的问题：若认真去解非线性问题，就会发现那里有漂亮的数学结构。只要用散射法利用KDV方程学就应该可解出其初值问题。其结果已对等离子体的物理现象中被观测出来，而且证实了与实验的相一致。
对实验数学的研究持续到1970年前后，例如“佐藤（幹夫）”理论的出现使人们能抓住在数学方面发生着什么问题。直到前世纪末，数学家都在研究孤波的问题。如“范鲁比”［Vanrubey］提出的非线性微分方程或“达尔布”［Darboux］的微分方程、曲线、二次曲面等。
冈本 五、六年前，认真看了19世纪数学家“达尔布”提出的曲面论。当时流行的孤波方程中的主要内容已在该曲面论中以相同的形式出现。由于有些数学家认为这只对物理是重要，所以这些数学家还不知道在几何问题中已利用“达尔布”曲面论的方程。而知道达尔布曲面论的数学家又不知道在物理学方面是如何对待着达尔布曲面论，结果无法使数学和物理学相互沟通。
实验数学中的可解模型
和达 当利用经典论能解各种问题后，接着就想去研究量子论问题，这也使量子逆散射法出现了。这正是1811年被提出来的“傅里叶”变换扩张到量子论的非线性问题的缘由。另一方面，有着悠久历史的旋系的问题会缠到一起了，这就要想在格点上配置旋子系的统计力学问题。当考虑这些系能否解时，就会提出作为其充分条件的“杨 - 巴克斯特”［jahn-Baxter］方程。
相反，若用这个方程就会发现许多可解二维统计力学模型。这时数学家应考虑“杨 - 巴克斯特”方程的根底里的结构究竟是什么？解答之一是量子群，二是具有更一般性结构的跳跃［hop］代数。到了80年代后，物理学与数学的交接就非常顺利了。
和达 若要解析物理方面有浓厚兴趣的系统，那就需要丰富的数学知识。即使是线性问题也要用上从调和振子这种基本对象到对称群等各种数学知识。之所以利用一个模型就能解有关许多问题的背后里需要用如“卡茨 · 莫迪”代数这样的无穷维代数，量子群，许多奇怪的关系式等。
江口 说起来，可能模型很像是个实验数学的，从这个意义上来说，它不大像是数学的理论，例如摆弄可解模型时，就会出现各种像无穷维李群的东西，这几乎可以说是一种表示，一计昇就出来，但为什么是这样尚未真正地理解。要想做这种实验数学的人也许多半都是研究物理的人，即通过探索来发现成果。
冈本 我认为自己是个实验数学者，原来数学领域里含有许多实验数学的部分。这也许使数学家与物理学家混同在一起了，虽数学家的目标是提出或建立理论，但当还不知道建立新理论的过程中往往会卷进离奇的领域里。
甘利 无论开始是拓扑学或非欧几何学，甚至“伽罗瓦”［galois］群也没关系，可以说是属于实验数学的东西。
冈本 通过实验等渠道也许会找到什么新题材，Q模拟是古代数学里的一朵花，过去有些地方被当作游戏的内容，但其中有不少名堂。它有两个侧面，一是量子群，二是组合论。虽不能说现在这两个侧面都变成主题，但人们都在积极地研究这两方面的问题，出现这种局面与来自物理方面的冲击有关。
和达 可解模型中不属于量子群框内的还很多。
江口 杨 - 巴克斯特方程的解是属于椭圆函数之类的，要说是属于量子群就未必是正确的，也许尚未发现其大的结构。首先要使题材备齐，经过抽象化阶段和成熟阶段，最后将凋萎。现在在数学的各领域里需要题材，但理论化的进程赶不上。
甘利 基本粒子论在这个意义上来说，正在给数学提供了大量题材。
江口 也许今后在数学系里可能会建立应用物理教研室吧。
数学很讲究词汇
和达 在研究过程中发现数学也不是一块磐石，固然题材是重要的，但如何去处理它是值得担忧的。当你所想的方程还没有头绪时，往往会被卷进莫名其妙的领域，好像是受骗了。数学各领域都有它固有的哲学或基本思想，即使题目相同，若观点不同时其解法及研究的方法也不同，甚至旧题也可能变成新题。这也许对物理学带来麻烦，因在数学里只是把其用词改变了而已。著名数学家曾说，数学是很讲究用词问瓸，若你能用与众不同的词来表达，那就算你的工作有了一定成绩了。
江口在物理学中有“反常”这种无归结的问题。即使利用标准规尺［guage］的理论计算也会引起故障，因这是磁场理论，必须要去处理消散的问题，但又找不到具有决定性的依据。若用经验的办法去处理消散时，虽可得到一时的缓解，但问题依然未根除。若不设法去解决消散问题，系统的对称性就将被破坏掉。上同调［cohomology］能清楚地显示出故障的原因。因整个标准场的集成电路的布局就决定了故障的原因。这就是完全不靠计算机算法的帮忙就能引出清楚而且定性的结论。从七十年代中期以后，上同调的理论已开始浸透到基本粒子论，但在70年代中期以前，数学基本上未直接浸透到物理领域，而处于孤军奋战的局面。
和达 假定上同调这个词汇是表示物理反常时最好用的，那是否大家都来用上同调这个词汇呢？其实不应该如此，因不用自己的语言来表达就不能说是真正的理解了问题的本质。
甘利 因空间里还有空着的许多孔，所以拓扑学也就诞生了。从某种意义上而言，存在着组合论式的上同调的世界。另一方面，也存在着了不起的微分方程这样世界，微分方程的解的结构事实上是由孔所决定的。在微分方程里的代数结构实际上与上同调的是相同。
冈本 若能知道对某种对象的上同调完全消失，从某种意义上来说，就从此开始研究了。况且当问题的自由度大为增加时，来自外来的干扰也就相对地减少了。
江口 是否能出现可解析开拓的最终还是要看机械或机器的制造［machinery］的发展情况了。
标准度量理论
甘利 当利用相对论要建立统一磁场理论时想改变标准度量。本来这已成为电磁学教科书一隅的词汇而已，然而它又再现了，这到底有什么必然性呢？原来标准度量的变换是把磁场的长度作了局部的变换，从另一个角度看来，旋子这一类的也是这样的东西。
和达 物理学想改变标准度量的动机也许是为了保持对称性和守恒定律。
江口 从时间上看，重力理论出现的比“杨 - 米尔斯”［Yang-Mills］场早。重力理论是一种标准度量理论，它是具有一般相对性的对称特性。其动机是无论谁用什么坐标系去观察，观察到的物理现象都是相同。电磁学是相位变换，但粒子的相位是随着标准度量的变化而变化。所以，无论标准度量如何变化，数字间的关系仍保持着，电磁间的相互作用仍产生，这是接近于一般相对性的想法。杨 - 米尔斯理论较复杂，表示对称性的群是不可变换，其想法也是一样。
杨 - 米尔斯理论比更复杂的一般相对论出现得晚的原因是当时也许没有用场。在人们所知的相互作用并没有那种怪理论，在重力和电磁场外，即使想到这种假想理论，也会受到为什么要这样做的批判。在约20年后，杨 - 米尔斯理论就开始在电磁相互作用与弱相互作用的统一理论或量子色动力学中经常使用。
嘉当[cartan］的动标架理论在数学中一直在传着，但这在物理中几乎起不了作用。它虽独立而顺利地成长，但嘉当的理论约过了1970年后才开始引起了人们的注视。
物理是很讲实际的，若一个模型不是记述实际的世界，它有时难于被人们所接受下来。可见在物理方面受到的心理障碍就特别大。
甘利 现在出现的一个特点是包括物理学在内的 · 一切自然科学对于要从事实出发的这一基本原则的规范已开始松懈，像或许有这样事儿也未可知这类设想已在得到了承认，即允许冒风险。
超弦理论
甘利 在超弦理论中10维接下来的是26维，比26维大的还不清楚是多少，但一下子要找到它太难，所以暂定为26维。
江口 不，只有26维的，26维的值计算后已出来了，但其根源的地方还不很清楚。到了最近才弄清楚它的来源，并不是手尖就会改变的。现在反而变成需要积极地接受下来了。
甘利 从理论上讲，漂亮的理论体系或结构是26维的，所以自然界也一定是这样，这种设想不能说是不好的。
和达 设想应基于理论上应是如此的指导原理。例如推想出超弦理论必须是26维的，若错了，原来的指导原理值得重新评价。
江口 保形场的理论是对形成弦轨迹要考虑其保形变换。保形变换形成的代数是无穷维的代数且具有很强的对称性，然而，对这种变换的对称性从理论上 - 将拟进行分类。当然其对称性在自然界是否真正存在这一点并不是具有很强的确信。这个理论对研究二维统计力学系统的临界点的变化的值是一样。临界点虽有标度不变性，低保形不变性更强，虽仅有标度不变性还无法分类究竟有多少可能存在的东西，但若把保形不变性也加在一起就能完全定下来，二维的临界现象的分类也就清楚了。若把窗口开得太大就无法去解析，过狭就变成空空的。
江口 普通物理有自然现象的模型以及场理论的模型。通过解这些模型去研究其临界现象是如何发生的，但一旦付诸于行动时就不受到这种框框的约束，而所设想的却是探索到底有多少个可能的场理论。
和达 这与以往的理论物理的思考过程略微不同。在物理中虽也出现过使用点群究竟能出现多少种结晶这样例子，但这种例子毕竟很少，要批判这种理论很简单，如以二维的理论来说，人们总是反驳说这并不是二维的。但物理的结果是具体的，而且它在数学领域也是很有趣的。
冈本 有些人在议论“凯兹 - 木狄”[Katz-Moody]代数等到底是什么东西，到现在仍在数学上出现这种情况。因在大框框前提下，有些人还不知道会顺利发展下去的原因。
脑与数学
编辑部 一提到综合系统时将会想到些什么？
甘利 物理学者想到的是自由度大的力学系统，还有想到的是脑的问题。脑是结构极为复杂的在生物学领域里客观存在的东西，除了生物学者以外，其它领域的人把它列为有趣的研究对象。原因是，从情报处理的角度考虑从脑结构中想学到东西，还一个原因是从数理方面去研究其结构状况。最近有些物理学者也把脑作为综合系统的一个例题在研究。
对脑的结构问题迄今在理论上基本还未掌握，若有人能提出正确理论，也许会出现有趣的结构问题。只有相变这种立场还是不行的，物理学和情报在某种意义上仍是有差异的。物理学毕竟有物理定理和各种守恒定律。情报间的传输是动态的，两者间的形式是完全不同的，当然双方对问题的看法也就大不一样了。
即使出现了高性能计算机仍难于解决流体力学的问题。假定全部弄清了猴子的脑里有多少神经元及各个神经元是怎么连结的，再假设有超级计算机能把猴子的脑全部模拟出来。若到了这个地步就说完全弄清了猴子的脑的一切，那还是令人置疑的，即必须从脑找出什么是构成其核心的概念，并找到在现象中出现的情报的本质是什么，若没有达到这个地步，那就是这种计算机无法具有理解力。
高桥 一提到紊流就会议论“纳维叶 - 斯托克斯”[napier-stokes]方程是否好。即使纳维叶 - 斯托克斯方程能解，也不等于说弄清了紊流的问题，发达的紊流可以看作是统计力学或概率场，总是从低维的开始发生紊流并趋于复杂化，到底用什么办法才能抓住它呢？目前尚未有头绪。
传统的问题
甘利 数学家最好不要全部都研究抽象的，在什么时代都应该有各式各样的数学家。有时专门从事研究，有时也可暂时进入森林去搞开垦工作。
江口 那是传统问题，以苏联为例来说，数学家与自然科学者之间差别不大，几乎没有想独占自己地盘的意识。日本的情况是这样，若学生培养到中途时，这些人的就业就难了。
和达 美国的统计力学或非线性问题的研究员中属于数学专业的人不少。
冈本 这还是属于文化之差别，所以日本的数学或物理的历史只有100年，但欧洲却有300年。
高桥 无论是数学或物理或现在流行的数理物理学，据某些科学家说，要扎根下去就必须制度化，具体说来必须要有教科书及成立学科。
冈本 法国的数学在“布尔巴基”时来了个大转变的，但在这以前的法国的解析水平也相当高。这说明已扎下了根，如想看古代文献时基本上都是用本国语言写的，这有助于推广和提高水平。
“杜利埃”是位著名的代数几何学家，他在比较早时期就写了微分方程是什么的文章。他出身于比利时，那里只授古代数学，但两年后他一转身就钻进了近代代数几何学。日本就不一样，搞古代数学的只搞这一门。搞近代的只搞这一门，若把梯子搬走就像断了线的风筝一样不知往何去好。这不完全是个人爱好等问题，而是文化或传统之差异构成的。仅研究一样东西并不能说是继传统、美国和欧洲在这方面的条件较有利。
数理物理学有前途吗？
和达 物理和数学从分家走到接近，今后也许再分家，目前的状况也许只能维持10年左右。
冈本 但现在出现了各种例子，如迭代法和黎曼面都是。数学本身基本上都是蒙上了一层灰尘，如在对称群的表现中出现的“杨氏图表”从某种意义上说来，它是完全孤立的，然而它却是个美好的世界，反而在被大量用着。q模拟世界也一样。虽意义不同，迭代法的世界也不例外。若说得更悲观一点的话，令人感到迄今数学不知道搞了些什么。
江口 根据保形场理论，对整个基本物理的轮廓已有所了解。对物理有多少种理论及全体的状态如何的评估大体上也有把握。所以今后数学本身也必将深入下去。如在黎曼面有模式的问题，物理好像是专门挖出有趣问题似的，如果数学这部机器能发挥作用，那就不会受到大冲击。
冈本 当然问题本身带有趣味产生的冲击也好，但心理上的冲击也是有的。如黎曼面的模式是古时候就提出来的问题，但目标不清楚。
高桥 现在开数学研究会时经常请统计力学的专家来作连续演讲已成为常规了，近10年来数学与物理进一步密切化。
甘利 不仅是数学和物理，全体科学都在发生变化。10 ~ 20年前有些人还谈各专业间的壁垒问题，但现在似乎没有什么人谈了。
冈本 现在有的人说数学也是自然科学，物理是研究自然现象的学科，但数学不仅能研究自然的现象，还能创造出在自然界里没有的东西。例如黎曼面的形状模式等，从数学构想出发利用保形场理论可创造出美丽的东西。
高桥 从各种现象中发现新数学是重要的，相反，若数学单独能对物理作出贡献时，应独家去干，反正，物理学者认为对它有用的构想或设计时，它会制造实物出来。
和达 20年前还没有想到物理和数学会达到如此密切的状态。20世纪初数学和物理两家分居，在20世纪最后10年也许会再回到本世纪初的状态。
［科学，（日）1990年1月号］