数学是一种语言，科学家们依靠它描述物质世界中的一切事物，小到基本粒子的内部结构，大到遥远星系的外部空间。大多数科学家执着自然的数学结构本质，并认为科学家的任务只不过是简单地去发现这种结构罢了。数学是一种毫不含糊的事业，它容不得半点主观的渗入，它没有选择的余地，它通过一种逻辑的过程不可抗拒地发展着，在这个过程中旧的符号不断地被新的符号所取代。然而进一步的考察表明要精确地把握数学是什么并不是一件很容易的事情。

显然数学干得非常出色，有时甚至是出乎意料的好。1914年，当时爱因斯坦正努力想给空间和时间一种弯曲的几何，为的是使以所有的观察者都认为是一致的方式去表达自然的定律，而不管这些观察者处于什么样的运动状态，匈牙利出生的数学家马塞尔 · 格罗斯曼给他介绍了19世纪数学的一个鲜为人知的分支 :张量分析，就好像是为他定做的一样正好适合他的目的，又如最近，粒子物理学家已经发现是对称主宰了基本粒子的行为方式，而分形，曾经只不过是数学的一个古怪的分支，现已在无数的自然现象中揭示了它们的存在，包括从星系的构造到雪花结晶体的结构。

基本问题

可以说数学是有效的，因为它已帮助我们解决了一些问题。但这种说法避开了一些基本的问题，数学到底是我们发现的？还是我们发明的？显然，对数学是什么这个问题有不至一种的解释方法，各种不同的解释将导致我接受不同的在该解释中认为是正确的命题集合，并且这将对我们如何看待物质世界带来重大的影响，我要说的是如果没有对数学的含意和对它的局限有清晰的理解，我们就不可能探究到宇宙的真正本义。如果科学家们想把他们对周围世界的观察归结到一些终极的数学化的“关于世界万物的理论”，那么他们必需面对采用那一种数学的问题。

这个问题在基础物理学的发展过程中从来没有被当过一回事，但它却在本世纪初就开始困扰数学家，那时他们正开始努力对付在逻辑学，集合论和在没有直觉可参照的关于无穷的研究中出现的一大堆不平常的数学概念。数学家们同时又面对着几个令人为难的问题。这几个问题动摇了他们的自信心，像理发师悖论这样的逻辑悖论（一个理发师给所有不给自己刮胡子的人刮胡子，那么理发师的胡子该由谁来刮？）或像由所有集合所组成的集合（它是它自身的一个元素吗？）这样的两难问题威胁着整个逻辑和数学大厦的基础。因为谁知道下一个悖论会在那儿冒出来呢？面对这样的困境，当时第一流的数学家大卫 · 希尔伯特在1900年提出了整个地抛开数学含意的主张，作为替代，他倡导了一种后来被称为是形式主义的方法，也就是说我们可简单地把数学看成是一幅由公式所组成的挂毯，这些公式可以根据一定的法则通过巧妙地处理所涉及的符号而从某一组彼此相容的最初的公理出发推导出来。数学就是这样一幅巨大的交错编织着逻辑联系的刺绣品。

希尔伯特和他的追随者们甚至不想去解释为什么只有数学才如此适合用来描述自然。对他们来说数学不含任何意义，表示数学概念的公式存在于纸上但说只不过是存在在那里罢了，并不意味着其它的什么，形式主义者不对物理学的数学特性作解释，也不想去解释为什么物理现象不遵守诸如象棋或二十一点牌戏等的规则。希尔伯特认为他的这个方案无疑将使数学摆脱它的有问题的部分。给定任何的一个数学命题，通过搜索逻辑联系的网络从一组最初的假设出发去验证此命题是否正确是可能的，希尔伯特和他的追随者们充满自信地认为听有已知的数学都将纳入这件他们为数学缝制的形式主义的紧身衣之中。

然而，完全想不到的是，此计划在一夜之间就崩溃了。1931年，库尔特 · 哥德尔，维也纳大学的一个当时默默无闻的年轻数学家，证明了希尔伯特的目标在一个包括普通算术的足够大的体系中是不可能达到的。他证明了不管采用那一套彼此相容的规则去处理数学符号，总有一些用这些符号语言所构成的命题，它们的真伪性无法通过这些公理和规则去决定。更糟糕的是，我们连这些最初的公理是否在逻辑上是相容的都无法知道。突然，数学真理超越了公理和规则，如果你为了解决问题而引进一条新的规则或一个新的公理，那么你就同时带来了新的无法判定真伪的命题。为了完全地了解数学，你必须跳出数学这个圈子。

随着航行过程中风力的停息，形式主义者飘离了他们的目标。虽然他们继续在发展着数学的形式主义，但他们现在知道数学的相容性和完全性是不可能达到的。一种相对有限的形式主义在1939年被一群法国数学家借用笔名“尼古拉 · 布尔巴基”所再一次地开创，他们尝试通过强调不同数学分支如几何、算术、代数等等中相同结构的展示去了解数学中可判定部分的意义，他们认为数学是由人类数学家创造的一种充满活力的，正在成长的结构。但这种方法从来没有使科学家感到满意，而且今天布尔巴基的计划正招致许多数学家的猛烈批评，因为它把数学从解决问题和对自然的探索中分离了出来，在过去的20年中也表明了布尔巴基的处理方法是一种有争议的数学教育风格。

人类发明

布尔巴基对是人类创造了数学的强调被许多学科中的数学使用者所接受，这些学科包括经济学、社会学、人类学和心理学，其重点都偏向于人类的活动。对这些“发明主义者"来说，数学只不过是这些活动之外的另一种活动而已，简单地说就是数学家所作的活动。如果没有数学家，像集合和三角形这样的数学概念就不会存在。我们发明了数学，而不是发现了它。但这样世界的数学表述就显得平淡无奇，因为只有那些最适合数学描述的物理现象才能被我们揭示。

如果数学只不过是一个有用的人类发明，那么在这个领域里我们应该能看到显著的文化差异。虽然就数学表达的风格和数学研究的种类而言，不同的文化之间有些看得到的差别，但历史上不同时期不同经济，文化和政治背景的数学家们发现的却是同一个数学定理。这个不寻常的现象把创造性的数学从音乐和艺术区别了开来，毕达哥拉斯定理曾经被不同的思想家独立地发现过许多次（虽然很有可能毕达哥拉斯并不是其中之一），但莎士比亚的哈姆莱特或贝多芬的第五交响曲却是独一无二的。

这似乎意味着数学的基础独立于人类思想之外，并且完全不受我们人类思想方法的影响。我们自身和任何其他有知觉的观察者的存在需要自然中一些秩序的存在。对这种秩序的研究构成了我们称之为数学的部分。但针对数学的发明主义观点最具说服力的反对意见却是我们人类思想的进化。如果数学在某种意义上来自于我们的思想或是从某种我们目击的自然现象的结构中复制而来，那么这种形成的数学结构又是从哪里来的呢？

我们可能会争辩道，世界的数学结构是通过一种进化的过程烙印在人类思想上，在这个进化过程中，对自然作忠实反映者将生存，而对自然作虚幻反映者将被淘汰。我们的眼睛反映了光的真实本性，我们的耳朵反映了声音的真实本性，这就是为什么它们能进化成为光和声音的有效的感觉器的原因。同样我们的思想反映了自然界有秩序的结构。如果这种秩序不存在，或者我治无能力储存这种秩序的精确反映，那么我们也就不可能存在。对我们的进化和生存而言需要多少这种周围世界的结构和多少我们的头脑对它的正确反映这个问题远远超出我们所能理解的范围。然而关于数学的有效性的最引人注目的例子是在那些与人类活动最无关系的学科之中，例如在对基本粒子的物理特性的研究或在对宇宙作为一个整体而演化的研究之中。

这个对发明主义的批评基于这样的论点，即在这个物质宇宙中有一种独立于任何“观察者”的秩序。此宇宙的任何一个观察者都必须拥有对这个秩序的至少一部分的忠实反映，这种对数学的解释，即数学柏拉图主义，是世界在深层意义上是数学化的这种“自然哲学”的悠久传统的一部分。数学概念不是发明的，它们本来就存在，它们是数学家发现的。即使没有数学家，数学也存在，这个思想是在1930年由詹姆斯 · 琼斯总结的，当时他提出“宇宙的伟大制造者现正开始以一个纯粹数学家的姿态出现”。确实，如果像现代宇宙学中所假设的那样整个物质宇宙能用数学来描述，那么就意味着在物质宇宙之外必然存在着一些非物质的逻辑。

一种有效的哲学

形式主义和发明主义对数学在描述自然时所体现的无可理由的有效性感到有些不自在，而柏拉图主义者却把它作为支持其哲学的一个重要证据。事实上，许多科学家和数学家在这个框架之下工作，虽然他们并不喜欢在周末的时候为之强烈地辩护，但他们确实是在认为柏拉图的观点是正确的条件下处理他们的日常事务。

关于数学本体的这个特性的真实性有一个极不平凡的推论。对于像我们这样的有知觉的观察者生存其中的宇宙而言，如果有关于其演化的一种数学描述，那么具有智慧的观察者们必也存在于此数学的这种形式体系之中，因为他们也能被那种数学所描述。但这个数学本体的世界又在那里呢？我们又如何与它联系呢？如果数学的本体存在于我们所经验的物质世界的具体细节之外，我们就不能把数学知识与其它形式的我们通过感官得到的关于物质世界的知识等同对待。我们认为这些知识是有意义的，是因为我们认识到的这些事物以一种因果关系的定律与我们相互作用，但数学本体并不以这种方式影响我们。

所以柏拉图的数学观点把我们引向了深奥的玄学问题之中。哥德尔看到了这一点而且坚持认为存在一些非物质的本体，且这些本体与我们之间有“另外的一种联系”。另一个柏拉图主义者英国数学家罗杰 · 彭罗斯把哥德尔的著名公式（这个公式把逻辑悖论“这句句子是错误的”编码成算法从而表明了它的自身不可证明性）当作是人类知觉非规则性本质的一个标志，这个不可证明性是指某事物我们“看”起来是正确的但它不可能在此逻辑体系或我们正在使用的规则系统中得到证明，即使这个规则系统是一些人工智能热衷者作为思想的产物千方百计去定义的。这是一个令人惊奇的断言。它隐含了任何不能掌握哥德尔所说内容的含义和真理性的人在某种意义上不是完全自觉的。它也意味着只有那些包含算术体系的足够大的数学体系才有可能导致在它们之中有知觉的观察者的存在。较小的数学体系如欧几里得几何或没有减法运算的算术体系就不行。

为了找另一个交替的观点，我们必须再一次回到本世纪初的那几年去，回到引起形式主义的逻辑悖论的不确定性的酝酿时期。对这种混乱状态的另一个处理办法是“构造主义”或“直觉主义”。它最早出现在19世纪80年代，按照它的创始人之一德国数学家里奥波尔得 · 克罗内克，它就是对“上帝创造丁整数，其它的一切都是人为的”的认可。通过这个餐后的评论他意味着我们应该只接受可能是最简单的，直觉上显然的数学概念，即整数1，2，3，4，……，和计数的概念，然而从它们开始一步一步地把所有其它的东西推导出来，这样作的目的是为了避免处理反直觉的像无穷集合这样的数学实体，例如，所有偶数所组成的集合，对它们我们没有实际的经验。

对构造主义者来说，数学只不过是一些从自然数出发经过有限步演绎而构造出来的命题的集合，从而一个数学公式的“意义”也就简单地成为是用来构造它的一系列计算所组成的有限链。这个观点听起来直截了当，但它却有使人意想不到的结果。它开创了数学命题的一个新的范畴，就像在苏格兰法律中法庭可以裁决有罪，无罪或证据不足一样，现在一个数学命题可以是真，假或无法判定。

构造主义家之前的数学家们已发展了各种各样的证明公式为正确的方法，这些方法并不是都能用有限步的构造性步骤所表达。其中有一种被古希腊人所喜爱的著名方法，那就是归谬法，在这个方法中，他们先假设某事物是正确的，如果从这个假设出发他们推出了矛盾的东西（像2=1之类），那么他们就断言原来的假设是错误的，但这种推理方法实际上包含了一个隐藏的假设，即任何一个命题非真即假。按照构造主义家的原则，这样的论证是无效的，因为它要求一个命题只有明确地用有限步演绎步骤证明出来时才能够被称为正确的。

构造性结果

如果构造主义在物理学中被采用将会导致大量很有意义但未能探究的结果，因为许多重要的物理理论像爱因斯坦的广义相对论或尼尔斯 · 波尔的量子力学在关键之处都使用了非构造性的推理去推导宇宙的特性。对大多数数学家来说构造主义的这种限制相当于把某人的一只手臂绑到背后然而教他去拳击一样。又例如，由斯蒂芬 · 霍金和罗杰 · 彭罗斯在1966年到1972年这段时间内建立的宇宙黑洞理论是非构造性的，他们从假设时间没有开始出发导出了一个逻辑上的矛盾，从而充分说明了有一个时间的开始存在。他们并没有把这特别的开始明确地构造出来，因此在构造主义数学中这是非“真”的。

然而，更仔细地看一下的话，构造主义显得相当奇怪。它把数学定义为是从人类直觉的基石自然数出发所有有限的一步一步演绎的总体。它暗示着在这个构造出现以前没有数学的存在。从哲学意义上来说，它把人类重新摆到了宇宙中心的位置，而自从哥白尼和其它一些人开始把他们当作只不过是物质世界的外部观察者的时候起就已经把人类从此宇宙中心的位置拉了下来，哥白尼的观点宣告了16和17世纪科学革命的来临，从而表明了其对现代科学发展的影响是如此的成功。

对自然数而言有一个一般的人类直觉这个看法缺乏历史的证据，因为在一些原始文化里计数只能计到2，而且看来并没有关于数的任何抽象概念出现。构造主义者不考虑我的直觉与你的直觉是否相同，或者人类直觉是否已经进化，而且在将来将进一步进化。源于人类直觉的数学受时间因素的制约，它依靠构造它的数学家而存在，它是心理学的一个分支。

构造主义留给我们几个没有回答的问题：为什么我们要从自然数开始？什么样的步骤才能算作是一个构造性的步骤？为什么有一些构造比另外一些构造更有用，更适合于实际世界？最重要的是，为什么一些非构造性的数学概念如实数的连续统在物质世界的研究中是如此的有价值？此外，并不能在有限步内表示出来的关于实体的无穷集合这个数学概念也已不知怎么地在人类直觉中开始出现。

然而构造主义就自然的数学特征而言对我们有所启发。哥德尔证明了总是有某些我们既不能证明又不能驳倒的无法判定真伪的命题存在，但对所有那些我们能够用传统的构造性或非构造性的数学方法加以判定真理性的命题又如何呢？它们当中的多少能够被构造主义者所证明？构造主义者又比一台电子计算机强在那里？设想制造一台电子计算机，它能够接受输入，能够显示机器的当前状态，并具有一个能从它的当前状态决定一个新的状态的处理器，然而使用它在有限的时间内去判定一个给定的命题是真还是假，这在原则上可行吗？与许多数学家的期望相反，答案是，不行。1937年，剑桥的阿伦 · 图灵，普林斯顿的埃米尔 · 波斯特和艾农左 · 丘奇证明了总有那么一些命题它们的真理性需要无穷的时间去判定。它们比一步一步计算所能探索到的要复杂无限倍。

以上构划的理想计算机称为是一个图灵机，它是任何一台计算机的基础，其能执行的运算称为是“可计算的”，这意味着我们能够用具体的物质制造一个仪器，使它的行为模仿此运算，典型的仪器可以是正在摆动的单摆或电脉冲。反之，像这样的物理仪器也能够用可计算的数学运算很适当地加以描述，自然界能被数学很贴切地描述这个事实相当于无论是最简单的数学运算，如加法，还是在科学中使用的更复杂一些的运算都是可计算的函数。如果它们不是，那么它们就不能等效于任何自然过程，从而数学的有用性将受到限制，即使世界具有数学特征，我们也会发现数学在预示或描述它的时候并不是一种很有效的语言。

最近几年有一种增长的趋势趋向于我们似乎需要重新考虑我们关于自然界定律的基于对称的观点，而用一种基于计算过程的观点取而代之，这个观点把自然定律看成是运行于物质和能量基本粒子“硬件”之上的一种“软件”形式。很有可能计算的离散特性与数学潜在的构造性定义紧密相连，就像粒子物理学家的观点与时空连续性和数学的柏拉图哲学是紧密地结合在一起的一样?

[New Scientist，1992年12月21日]