偏微分方程 ——经典数学与现代数学的相互交融

发布时间：01年07月27日

王亚光

　　　　（上海交通大学应用数学系）

　　偏微分方程是在自然科学和工程技术的各门分支中出现的，反映一些重要的物理量关于时间的变化和关于空间变量的变化之间的制约关系。例如连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程，很多是偏微分方程。它们不仅对于认识自然界基本规律是非常重要的，而且对于预测自然现象的变化和进行各种工程设计有着很重要的作用。由于它所面临的数学问题是多样而复杂，所以不断地促进着许多相关数学（如泛函分析、复变函数、微分几何、代数、计算数学等）的发展，并从中引进许多有力的解决问题的工具。所以，偏微分方程是纯粹数学的许多分支和自然科学领域间的一个桥梁。它既有悠久的历史，又不断地更新它的对象、内容和方法，不断地产生需要解决的新课题和方法。下面，我们将就它的部分历史与现状做一简单的介绍。

　　偏微分方程与经典数学

　　微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题和规律，归结为偏微分方程而进行研究。十九世纪第一个极为重要的大步是由法国数学家Fourier迈出的：他从事热流动（在数学上可归纳为一类典型的偏微分方程——热传导方程）的研究，1822年，Fourier如愿发表的数学的经典文献之一——《热的解析理论》，建立了均匀的、各向同性体内热传导的偏微分方程理论，其中在求解热传导方程定解问题时，Fourier建立了至今仍在自然科学、工程技术等领域中起着十分重要作用的Fourier三角函数，Fourier积分等理论。下一个重要的发展以位势方程为中心，它在静电学、静磁学的研究中是非常重要的，尽管有很多著名的数学家，如Laplace，Poisson，Gauss等人投入到位势方程的研究，但关于它的解的一般性质在十九世纪二十年代还几乎毫无所知，通过自学成才的英国数学家Green，企图用数学方式来彻底讨论静电磁学，1828年Green出版了一本私人印刷的小册子《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》，为求解位势方程，Green引进了一个辅助函数，即现在称之为的Green函数，它已成为偏微分方程中的一个基本概念；解位势方程的另一个重要途径是复函数方法，这是基于一个基本事实：解析函数的实部与虚部均满足位势方程，Lamb在1879年发表的《流体运动的数学理论教程》是第一本在剑桥接受函数论方法的书。偏微分方程中许多主要的概念，其意义远远延伸到该领域以外，最先关注热方程的数学家兼工程师Lame在1833年发表的一文中引入了一个至今仍是十分重要的概念及技巧：曲线坐标系。经典偏微分方程最重要的类型或许是波动方程。它的第一个重要结果是Poisson在1808—1819年间建立的关于波动方程初值问题的解的理论，它很好地解释了被在传播过程中出现的Huygens原理。求解波动方程初值问题的一个完全不同的方法是Riemann于1858年在研究有限振幅声波传播的过程中创立的：把原问题的求解转化为求解一个较简单的问题（现被称为共振问题），这实际是Green函数方法的推广，也是现代偏微分方程中泛函分析方法的一个雏形。

　　十九世纪中，很多科学家经过不懈的努力，创建了几类非常重要的偏微分方程组，其中最具代表性的有：粘性介质的流体动力方程——Navier-Stokes方程，电磁理论方程——Maxwell方程，后者或许可认为十九世纪对科学和技术带有巨大冲击的最壮观的胜利，这是由Maxwell在无数先辈的基础上于1864年导出的。正是对此方程的研究，使Maxwell预言电磁波以光速通过空间，从而他勇敢地预言光有电磁现象。

　　众所周知，没有求解这些复杂方程的普遍方法，这促使数学家想方设法来证明其解的存在性。这方面的杰出工作首先是由Cauchy及其杰出女数学家Kowalewsky开创的。他们通过幂级数、极限等方法证明了一类重要方程初值问题解的存在性。这工作中一个重要的附属品是偏微分方程特征理论的引进，它在现代偏微分方程理论中起着十分重要的作用。另一类经典的存在性定理是关于位势方程边值问题的，很多数学家投入了此问题的研究，其中重要的方法是Dirichlet原理。上世纪最伟大的数学家Hilbert在十九世纪末发表的工作中，严格地建立了Dirichlet的变分方法及Dirichlet原理。

　　关于偏微分方程初边值问题的系统理论在十九世纪仍是很不成熟的。现代偏微分方程理论在二十世纪与其他科学互为促进，得到了迅猛的发展。

　　现代偏微分方程

　　随着现代数学，尤其是泛函分析、微分几何、代数等学科，以及计算机科学的不断发展，偏微分方程理论及其应用无论在广度上，还是在深度上均得到了高速发展。自然科学、工程技术等领域向数学工作者提出了很多复杂的非线性问题，而偏微分方程的特征理论告诉我们，非线性方程的光滑解一般不可能长时间地存在，它在有限时间内极有可能产生奇性，这就促使我们有必要将方程解的概念推广，使之容许奇性的存在。这涉及到如何拓广函数这一基本概念。

　　二十世纪四十年代，Schwartz，Sobolev等人大胆将函数视为分布，引进广义函数空间，这一令人振奋的数学理论为解决此问题指明了方向，致使偏微分方程广义解的存在性，正则性理论得到了空前的发展。然而正如Schwartz本人所指出的，广义函数之间无法相乘，这一致命弱点很大地限制了广义函数在非线性偏微分方程中的直接应用。自Schwartz创立广义函数理论以来，有很多数学家试图构造能克服广义函数这一弱点的一类“新广义函数”，并已有一些理论上的成果，这一尝试至今仍是方兴未艾。正如Green函数方法，求出偏微分方程的通解或研究通解的性质，其基本解理论是它的重要出发点，通过Fourier分析知悉，基本解的存在性等价于偏微分方程算子求逆的过程。

　　为了给予偏微分方程算子求逆，以及开拓偏微分方程在物理、微分几何等领域的应用，菲尔兹奖获得者Hormander等人自二十世纪五十年代以来创立了拟微分算子理论，法国数学家Bony等人于八十年代建立了仿微分算子理论，自此，在线性、非线性偏微分方程解的存在性，正则性方面获得了极其丰硕的成果，将这些理论应用于其它数学分支的研究正日趋热烈。自十九世纪二十年代建立Navier-Stokes方程以来，研究其解的存在性，唯一性就成为偏微分方程研究领域中十分重要的一个中心课题。

　　但自从1934年法国大数学家Leray建立的不可压缩流体方程组整体弱解的存在性以来，只有很少令人振奋的工作出现，Caffarelli，Kohn和Nirenberg在1982年获得了Leray解的部分正则性，菲尔兹奖获得者Lions在二十世纪九十年代将Leray的工作推广到可压缩流体方程组情形。对Navier-Stokes方程的理论研究正吸引全世界众多的数学精英，国际某一基金组织将此课题列入100万美元重奖的问题之一。对无粘流体的理论研究同样也吸引了很多著名数学家，这不仅因为其数学理论的深奥与精妙，更由于它在航空航天等领域中有十分重要的应用地位。对此流体方程间断解的研究始终是此问题的中心，自二十世纪五十年代，著名数学家Lax，Oleinik等人创立的一维激波理论以来，有很多数学工作者投身于此问题的研究中，并已取得较完善的成果，其中最具代表性的当数美国数学家Glimm于1965年构造了它的整体解，意大利数学家Bressan最近建立了此解的唯一性理论。然而高维空间中流体方程的间断解应具有更切实际的意义，理论上至今仍只有几个零星结果，它的系统解决还需很多数学工作者长期的努力。