数学如何有助于生物学研究、哪些生物学问题将产生数学分析，以及怎样寻求生物学与数学的有效结合——这是美国国立卫生研究院与美国科学基金会近期举行的有关研讨会，上的中心议题——

尽管采取了预防接种措施，为什么今年冬季在科罗拉多州波尔德的儿童中还是爆发了致命的百日咳？克马克（Kermnack）和麦肯德里克（Mckendrick）的经典数学分析解答了这一生物学问题——他们用临界值定理计算出防止传染病暴发所需接种的最小量。

克马克和麦肯德里克运用临界值定理判断传染病传播的情况已被证明一对计算根除诸如小儿麻痹症、天花之类疾病以及预防百日咳爆发所需的接种水平至关重要。该定理表明，流行病的发生与易感个体人数、传染持续期以及疾病的传染性相关。临界值定理最初被用来解答两个基本的生物学问题：为什么会发生传染病的流行，以及为什么在所有易感个体患病前它们通常就被消灭了？这些问题可通过运用临界值定理推出SIR模型（易感、传染、根除）来解答：它由三个不同的方程式组成（SIR模型假定，在一种流行病的时间段内，人的出生和死亡是可以忽略不计的）。这一模型包括可能感染人群中已被感染人数的疾病根除率（被感染人或死亡，或恢复），而不需涉及更正确但更难分析的假定，即一个个体传染给他人有固定的时间段。在传染病暴发期间，用感染和易感个体数量k的图形显示可以解释临界值定理，其图形表明：当易感个体密度超过某一临界值时就会爆发一种流行病。这一定理毫无疑向已引起当今生物恐怖组织的极大关注。

与会代表感到，要在理解生物学问题方面取得进展，必须依靠数学在空间动力学、随机（非线性）动力学、空间系统方面的进步；以及模型如何更好地适合数据。在生物学中，空间随机系统正在积极建立新型数学模型，例如在森林或草地生态系统中，物种数量的动态变化便可用数学模型来反映。由于对空间动力学的完整描述非常复杂，因此需要近似法。例如：瞬时终止法可以在较短时段内模拟完整的动态过程，从而跟踪传染率的空间动态变化。这类数学模型对分析传染病的动态变化具有特别价值，因为易感个体被传染的可能性并不依赖于人群中已感染人数的总体水平，而是与易感个体所接触的已感染人群的传染性强弱密切相关。

图解：空间系统的动态变化经常界于生物学和数学之间。例如，在父辈周围，后代的空间分布就是一种能用分散中心模型来表达的在不连续时间段发生的空间过程。数据显示了甲壳类动物幼虫沿洋流距其父辈一定距离的分布情况以及种子在成熟树木附近的分布情况。事实证明，正像分散中心模型中的双倍衰减指数所描述的那样，更多后代距父辈很近而非很远。这一模型不仅对预测后代分布具有价值，而且对解答诸如海洋资源设计、攻击性物种的蔓延以及遗传变异生物体对自然生物数量的潜在影响具有重大意义

代表们认为，一些领域很有希望成功地运用数学和定量方法来解决生物学和社会学问题。例如如何管理自然资源、预测全球气候变化效应以及评估农业害虫的活动规律。数学有助于解决生物学问题的一个很：好例证就是：通过对所需海洋资源的数量和空间结构的计算来维持鱼类数量，而不被过渡捕捞，这其中的一个基本问题就是如何计算在空间的任何一点新个体的定居比率。离散时间和连续空间模型可以推导出海：洋生物的存活和延续情况，这些模型均以分散中心模型为基础。分散中心模型给出了从沿海岸线一定距离补充过来的生物体，从释放点以及从父辈那里产生后代的可能性。该模型的诞生已大大鼓励了人们对加利福尼亚海岸附近相关海洋资源的规划。接下来就是要保持海洋生物数量的可持续性，以便更准确地描述海洋过程，将海洋资源管理与经济紧密结合，并说明海洋生物数量增长率的不确定性。

定量法也可用来分析突变遗传因子从遗传变异生物体向自然生物体传递过程中是如何影响生物体数量的。相关数学分析检测了适量引人遗传变异生物体（GMOs）抵御害虫的最佳途径，尽管GMO技术正在受到有害昆虫不断进化以抵抗遗传变异生物体的威胁，但是数学提供了减少这些威胁的运算模型。

数学对理解传染病暴发的动态变化至关重要。其中一个生动的例子就是2001年在英国爆发的口蹄疫。诸如分散中心模型和显式空间模型这样的工具能够对控制流行病的不同策略进行比较，这些比较分析有助于实行控制策略，对已感染或接触过感染源的动物加以分离，从而制止传染病流行。

许多数学问题是在细胞和分子过程中产生的。在细胞中，三磷酸腺苷（ATP）的化学能量通过分子运动被转换为机械能，而分子主宰着生命系统的运动。数学模型提供了预测压力与速率之间关系及其他运动定量特性的方法。计算机技术的运用使得解决比单一运动机制更为复杂的难题成为可能，并且在慢速显微镜中产生可模拟真实数据的“虚拟”结构。

与会者们一致认为，下一步最重要的是培训兼有生物学和数学专长的科学家。可以预见，新一代具有较强定量分析技能的专家和正确评价生物过程结构的理论家将进一步促进数学方法在解决生物学问题方面的应用。

[Science，2003年3月28日]