今年是混沌理论提出50周年，《今日物理》邀请著名物理学家安迪尔森·莫特（Adilson E.Motter）和戴维 K.坎贝尔（David K.Canpbell）对混沌理论的出现、发展以及影响撰文回顾。本刊特编译该文，以飨读者。
1963年的时候，一位来自麻省理工学院的气象学者揭示了决定论可预测性只是一个美丽的幻想。与此同时，一个新的领域也随之诞生。时至今日，这个领域依然繁荣兴旺。
在经典物理学中，人们认为如果给一个系统赋予特定的初始状态，那么这个系统在未来所有时刻的状态都可以通过计算而得出。皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（Pierre Simon Laplace）有一段著名的话：“如有这么一位智者，他能够洞悉所有使得大自然生机勃勃的力量，能够了解大自然所有元素的状态。那么，如果我们给他提供足够多的数据……无论是未来还是过去，所有的一切将会尽数展现在他眼前，没有任何的东西会是无法洞悉的。”换句话说，机械式宇宙观是正确的。
而事实上真正困难的是：无论使用何种方式，我们永远不可能得到真实世界绝对准确的初始状态――指导教授可以要求学生提供更高精度的实验数据，但是结果永远不会绝对准确。到了19世纪，人们在研究中形成了一种默认的假设――近似的初始状态意味着近似的最终状态。这种假设帮助人们成功地描述了行星、彗星、恒星的运动方式以及无数其他系统的动力学模型。因而物理学家们没有理由去作其他的假设。
图1. 爱德华·劳伦兹和蝴蝶效应。（a）劳伦兹，在研究一个由计算机生成的时间序列。（照片由Inamori 基金会提供）(b)劳伦兹在研究蝴蝶效应时的原始资料的特写。图中显示了两个时间序列，他们由相同的等式生成，只是在初始状态上有微小的不同。由于对初始状态的敏感，两个序列间的偏差随时间呈指数形式变化
然而从19世纪开始，一系列的研究显示，直观的决定论可预测性在大部分系统中是错误的。这一情况在麻省理工气象学家爱德华·劳伦兹（Edward Lorenz）（图1a）1963年的论文发表后达到了高潮。初始状态中微小的不确定因素会演变成最终系统中巨大的错误。即使系统足够简单，所有的参数都是已知的，结果依然无法预测。决定论无法阻止混沌，这个结果足够令人惊奇。
怪兽展
在我们今天所熟知的混沌理论中，大部分内容是在二十世纪后四分之一的时间里成型。但是学者们与混沌现象的近距离遭遇战却在十九世纪八十年代早早的就发生了，而最初的战斗开始于亨利·庞加莱（Henri Poincaré）对天文力学中三体问题的研究。庞加莱观察到，在三体系统中，“初始条件的微小差异会在最终现象中产生巨大的差别……预测变成了不可能的事。”
在相空间中，类似庞加莱所研究的三体系统这样的动力学系统能够得到最好的描述。空间的维度对应的是动态变量，比如位置和动量，这样系统就可以使用一组一阶常微分方程来描述。主流观点长时间认为，如果放任不管，一个常规的经典系统最终会稳定在下面几个状态：一个由相空间中一点所描述的稳定状态；一个由封闭环描述的周期状态；或者一个准周期的状态，即存在数量为n>1的不可通约的周期模式，在相位空间中表现为一个n维的环面。
庞加莱通过计算得出，三体的运行轨迹不在上述任意一种状态的范畴之中。相反的，他观察到“除非使用非常复杂的方式将其折叠，否则每一条曲线永远不会与自身相交，而折叠后的曲线将会近乎无限次的交汇，以至最后能够占满所有的空间。形状复杂到足够打击任何一个人，我甚至不想去作图”。
而庞加莱拒绝去画的图形就是现在早已广为人知的同宿交错网，一个混沌几何分形的典型表现形式。
大多数人认为庞加莱的结论，雅克·阿达姆（Jacques Hadamard）的独立发现，以及当时在实验中看到的各种混沌现象是病态的、是人为噪声或是由研究方法上的缺陷造成的，因而这些结果被抛弃，同时被称为“怪兽展”。而在将近一个世纪以后，混沌理论才找到坚实的立足点。
一个偶然发现
当20世纪劳化兹开始研究气象学的时候，他很可能并不了解庞加莱之前的工作。Lorenz拥有数学的学士和硕士学位，他在二战时候作为气象学家在军队服役，后来他来到麻省理工学院完成气象学博士学位的研究。在1955年的时候，劳化兹留校任教。
在那个时候，大多数的气象学家都在使用线性程序来预测天气。这种方法有一个前提：第二天的天气是今天天气的一个明确的线性组合。而相反的是，一个由动力气象学家组成的新兴学派认为，如果能够模拟低层大气流动的动力学方程，天气预测就能够变得更加准确。劳化兹刚买第一台电脑（Royal McBee LGP-30，内存为4K个32比特字，即16K字节）的时候，决定将线性程序与动力学模型作一下对比，这个动力学模型经过简化之后拥有12个变量。（即使比他桌面上的计算器快1000倍，仍旧要比今天的笔记本电脑慢上100万倍。）
劳化兹在其中寻找非周期的解，一旦找到，将会使线性程序面临巨大的挑战。最后，在模拟太阳能对大气的加热作用时，他引入了一个随经纬度变化的热值，之后发现了这些解。毫无疑问，线性程序给出了一个远远不够完美的答案。
劳化兹发现，在模型中这些非周期的解只和它们自身有关系。于是他决定进行更加细致的调查。随后他重现了实验数据，然后将表示每一天天气的输出变量打印下来。虽然计算机有较高的计算精度，但为了节省空间，他只把数据保留到小数点后第三位。下面就是劳化兹自己的原话。
“为了更加细致的检验到底发成了什么，我决定重复之前的一些计算。我停止了计算机，把之前打印出来的一行数字输入进去，然后让它再次开始运行。这个时候我出去喝了杯咖啡，一小时后回来的时候，计算机已经模拟了大概两个月的天气。然而这次打印出的数据与之前的数据没有任何相似的地方。我直接怀疑是真空管损坏或者是计算机发生了其他不常见的问题。不过在打电话寻求帮助之前，我决定看一下到底是哪里发生了错误。我发现在刚开始的时候新数据与旧数据的值是相同的，不过差别紧接着发生在了小数的最后一位或者几位，之后差别扩大到之前的位置，然后是更向前的位置。事实上，差不多每四天的时间差别就会扩大一倍，直到第二个月的时候，才会找不出所有与原始数据的相似之处。这已经足够告诉我们到底发生了什么：除了保留的那一部分，我输入的数字并不是准确的原始数字。四舍五入产生的误差导致了问题的产生；在系统中，误差被不断地放大，直到误差充斥了最终的解。”
蝴蝶效应
我们已熟知，劳化兹观察到的就是对初始条件的敏感依赖性――混沌的一个典型属性。这种现象在相空间中已经拥了有清晰的定量特征：任意两条临近轨道的距离随时间呈指数方式增长。劳化兹亲手绘制的敏感依赖性见图1b，这幅图展示了使用同一个方程计算出的的两个不同的时间序列，由于初始状态的微小差别，最终呈现的差距随着时间不断增大。这种标志式的行为使得“随机性”成为了混沌动系统的外表。不过正如劳化兹自己所说，这样的外表是具有欺骗性的：无论现在是在随机系统中的哪一时刻，接下来都会发生任何可能的事情，比如掷骰子;但是在例如劳化兹所描述的混沌系统中，最终的结果都是完全已知的。（严格来说，掷骰子的结果也是确定的）
劳化兹意识到，如果大气的行为与他的模型相似，那么预测未来的天气将会是一项不可能的事情。在1972年美国科学促进协会的一次会议中，讨论的题目是“可预测性：一只蝴蝶在巴西煽动翅膀能够造成德克萨斯的龙卷风吗？”劳化兹使用了蝴蝶来比喻微小、看起来无关紧要的扰动有可能会改变天气的进程。随后这个比喻开始家喻户晓，并且敏感依赖性被冠以“蝴蝶效应”而变的广为人知。
计算机模拟程序中的每时每刻都在引入舍入误差，并且误差会被混沌系统放大。你肯定会问劳化兹的解到底能不能提供关于混沌轨迹的可靠信息。碰巧，它们可以。这是由于一个被称为阴影的属性：虽然对于任一给定的初始状来说数值轨迹与真实轨迹之间有差别，但是总是会有一个相近的初始状态存在，这个状态在预设时间段中的数字轨迹与真实轨迹近似相等。就像是从不同初始状态开始，最终通过计算得到准确的轨迹。这使得数值计算被广泛地用于混沌系统的研究。举一个例子，劳化兹使用经过舍入的数据计算得到的轨迹，实际上仍是他的模型依照原始轨道（或者说准确轨道）所作出的行为。
1960年东京的一次座谈会上，劳化兹首次公布了12变量模型的研究结果。在那次会议上，他只是简要的提到了舍入误差造成会无法预测的影响；他相信这些内容足够写出另外一篇论文。劳化兹没有成为万众瞩目的焦点，很显然，大多数的同僚还没有意识到他的发现会有广泛的意义。（与此同时，其他先驱关于混沌理论的研究也没有得到关注，据上田宗亮描述，他在1961年研究模拟计算机的时候就观察到“随机迁移现象”，后来这种现象被认为是一种混沌现象。）
洛伦兹吸引子
1963年3月，劳化兹以他的偶然发现为内容发表了标题为《确定的非周期流》的论文。在东京的那次会议之后，劳化兹花了大段的时间去寻找对于初始状态有敏感依赖性的有可能最简的模型，最终他找到了一个由非线性常微分方程组成的3变量系统，即后来我们所熟知的劳化兹方程。
图2.劳化兹吸引子，正如显示的那样，是一个从不交汇的单混沌轨道。图中的小球代表了劳化兹 方程每次迭代的结果，计算中使用的参数来自于劳化兹之前的开创性工作。（小球的颜色由迭代的次数决定）。从特定的角度来看，吸引子的两片叶状结构就像一只蝴蝶，同时让对初始条件的敏感依赖性有了一个昵称――蝴蝶效应。网络上能够找到吸引子更生动的图像
就像庞加莱的三体系统，劳化兹方程在相位空间生成的轨迹永远不会回归到它们自身，并且不会延伸到整形维度的表面之外。相反的，典型的轨迹会向一个有界的非整数维度的分型结构收敛，之后持续盘旋。
可能由于更多的人开始研究混沌理论，预示混沌吸引子开始涌现在对于耗散系统的研究中。就像坐在秋千上的孩子需要不断挥舞着胳膊或摆腿来保持秋千的运动，这些耗散系统也需要不断地被注入能量以补充自身能量的损耗。在劳化兹的系统中，能量依靠加热来供给，耗散则由流体的粘稠度来决定。
混沌吸引子是混沌集中最优秀的样例，一个混沌集中拥有无以计数的混沌轨迹；在这样一个集合中，任意一个定点附近的点都会产生一条混沌轨迹。但是不论这两个点有多么靠近，它们之间都会存在着由无数周期性轨道产生的点。从数学的角度来说，周期性轨道构成了混沌集合中一个可数、零测度、但是非常稠密的点集，就像实数集合中的有理数集。并不是只有吸引子上的点才会表现出混沌行为，任意位于吸引子吸引盆中的点都可以生成收敛到吸引子的混沌轨迹。
如果像洛伦兹吸引子那样的混沌集中有无数多条的运动轨迹，那么为什么人们不能在现实中看到那些轨道呢？答案在于周期性轨道是不稳定的，这也是混沌理论的关键特性。轨道的不稳定会造成临近轨道的发散，就像是由于在“上”这个状态不稳定，单摆运动到“上”的位置时轨迹会发生偏离。不过混沌集中的周期轨道使得轨迹会在每个点都发散。相比较而言，单摆的轨迹只会在“上”这个位置发散。由不稳定周期轨道组成的框架导致了不规则的存在，同时也造就了在洛伦兹模型以及其他混沌系统中所中观察到的混沌动力学。洛伦兹似乎很早就领悟到了混沌的基本特性，他认为，不只是非周期特征中暗示了敏感依赖性的存在，敏感依赖性也是造成非周期性的根本原因。
你可能以为洛伦兹开创性的模型在发布之后会立即吸引到众人的目光。但是事实上没有。直到12年之后，他的这篇论文也只有不到20次的引用。转折来自于一篇题为“周期三蕴含混沌”的论文，作者是李天岩与詹姆斯·约克。其他数学家和物理学家正是通过了这篇论文才了解到了洛伦兹的工作。虽然看起来比今天的含义更加局限，但是这篇论文还是为这个领域定下了名字。到了二十世纪80年代后期，不只是相关的研究突然火热起来，成千上万科研文章也证实了混沌的存在。现在，混沌的概念早已在不是科学家的普通人之间广泛地普及开来。
分形，叠合，以及拿破仑蛋糕
混沌吸引子是一般分型。为了理解混沌与分形之间的关系，我们把轨迹看做是相空间中由靠近混沌引子的点组成的水滴。引子的混沌动力学特性在一些方向上拉伸了水滴，在另外的方向上缩小了水滴，从而构成了一个很纤薄的长丝。不过由于轨迹是有界的，所以长丝最后必须将自己叠合起来。拉伸和叠合无限次的发生，就像面包师在揉面或者制作拿破仑蛋糕的糕饼一样，最终生成了一个分形集。在这个集合中，两个原始水滴中点的间距离在沿着吸引子吸引的方向上变得无穷大。
一个吸引子的几何形状与它的动力学特性存在着数量上的关系：（分型的）维度可以被计算求出。比如说可以从向空间中邻近轨迹的发散速率，或者从单变量的时间序列求出。实际上，分型的维度代表着当系统引入吸引子之后系统自由度的有效数目。虽然洛伦兹无法使用自己的数据求出维度，但是他的吸引子还是存在着一个分型维度，这个数值大约是2.06。
图3a展示了一个相空间轨迹中的渐近行为，这段轨迹来自另外的一个混沌吸引子，描述了受到周期性驱动和阻尼的单摆。通过放大相空间中的一小部分，我们可以看到吸引子的分形本质：在放大之后，吸引子在统计学上表现出了自相似性。有关分形的研究在二十世纪70年代的时候已经成熟，同时代的混沌学说也逐渐广为人知，看起来吸引子混沌属性与分形属性间存在有紧密联系也不是一个巧合。
即使是拥有非混沌吸引子的耗散系统，我们也能找到混沌的身影。一个例子就是受到周期性驱动的强阻尼单摆，这种系统的相位空间图中有两个周期性吸引子（见图3b），对应的是单摆的顺时针与逆时针旋转，像图中绘制的那样，每一个吸引子都有清晰的吸引盆，典型的轨迹以数值为1的概率向其中的一个吸引子汇聚。在吸引盆边界之间的是一个零测度、混乱分型的集合，也称作反射极，会对临近轨迹的进化产生短暂的影响。一个类似现象会发生在无界的轨迹中，就像在混沌散射过程那样。
图3. 耗散系统中的混沌。 (a)在相位空间中，一个受到周期性驱动和阻尼的单摆，运动轨迹向一个混沌吸引子收敛，这里绘制的时候使用的是整数倍的驱动周期；在相空间中的拉伸和折叠赋予吸引子自身的分形结构。 (b)对于经过充分耗散的单摆来说，在相位空间中的轨迹会有两个非混沌的具有周期性的吸引子。这两个吸引子在表示初始条件的空间平面上呈现为一簇白点。不过在相位空间中各个吸引子吸引域边缘会有一个混度集，图中使用红色和蓝色来表示。在两个空间平面中，x和y分别表示的是位置和角动量。（改编自的《混沌系统：基于经典力学的介绍》，剑桥大学出版社，纽约，2006）
汉密尔顿混沌
正如庞加莱所预示的那样，保守系统中也有混沌的存在，汉密尔顿曾经描述过这样的系统。在耗散系统中高维度的吸引盆有可能会向低纬度的吸引子汇聚，不同的是，保守系统在相空间中必然会保持体积不变。
为了理解混沌现象是如何出现在一个保守系统中的，我们设想一个n自由度的汉米尔的系统――一串没有阻尼的简谐振子。如果这个系统有n个独立的积分，也就是说如果这个系统可以被n个诸如能量和动量这样的守恒量来描述，那么这个系统是可积分的，因而他也是非混沌的。如果轨迹是有界的，系统的运动将会被分别限制在拓扑等价于n维环面的表面上；圆环的每一个维度与系统的一个周期模式相关联。在汉密尔顿系统中，周期模式的频率可以很方便的使用有理数来表达，但是一个普通的扰动就可以摧毁谐振环面。一些相关的轨道能够进入一个二维的相空间区域并且变得混沌起来，其他的形成了新的小规模圆环族。这些新的保守环族也会被同样的机制所摧毁，并且会一直这样往复下去。KAM定理保证了非保守的环面可以在不断的扰动中存活下来，不过小部分的环面随着扰动而减少，因而变成轨道。最终所造成的结果是通常在汉密尔顿系统的相空间中会同时存在着规则的和混沌的区域，区域的尺度可以是任意小。
我们可以小行星带以及土星环发现汉密尔顿混沌的美丽身影，这个中空的缝隙带符合混沌轨迹，是一个无限接近似于圆环的轨道。
图4.保守系统中的混沌.(a)一个周期性反冲转子的频闪图。图中的循环轨迹代表的是周期的和类周期的区域，散乱的轨迹对应的是混沌区域。(b)相空间中方框区域经过放大，显示的是相空间的近似的自相似特性。在两幅图中，x和y的维度分别表示的是位置和角动量。（改编自《从红衣主教到混沌理论：反思Stanislaw Ulam的人生和遗产》，剑桥大学出版社，纽约，1989）
混沌的表现形式。在丰富多样的自然环境中，有如下的混沌现象：(a)土星环中空缝隙带符合混沌轨迹，这种轨迹服从KAM理论。（由美国国家航空航天局卡西尼土星探测任务提供）（b）在巴伦支海的卫星图片中我们可以看到，浮游植物增殖由于混沌对流生成了类似于分型结构的图像。（改编自美国国家航空航天局海洋色彩页面）(c)还有地磁场，从天文时间的尺度上来看，地磁场的磁极以不规则、混沌的间隔翻转。这个行为捕捉自模拟混沌吸引子的过程
分支和多面性
动力学系统通常都有有分支存在，当系统的一个参数变化时，整个系统会突然改变。例如液体被从底部开始加热，当温度梯度一旦超过了某一阈值，液体中的对流会立即开始。混沌理论中一个决定性的时刻来自于二十世纪70年代，高精度的流体实验方法以及新颖的数值与统计物理学技术，使得研究人员可以定量地分析混沌是如何贯穿于各种不同分支序列的。
米切尔·费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）在1978年的时候展示了这样的现象，对于很大一部分数学和实验系统来说，在相同的标准化分叉参数的情况下，会发生同样的一个被称为倍周期混沌的序列分叉。这种普遍的形式随后被艾尔博特·利比直伯（Albert Libchaber）和毛雷尔的低温对流实验所验证。这个实验随后激起了混沌领域的爆发，并帮助费根鲍姆和利比查伯获得了1986年的沃尔夫物理学奖。从那时开始，理论和实验都证明了倍周期广泛地存在于各种系统中，也包括洛伦兹方程本身。
我们知道了些什么？
混沌集本身与其他的物理学革命不同，对于相对论和量子力学来说，混沌并不是关于特定物理现象的理论。
相反的是，混沌是所有科学范式的转型，混沌可以提供很多用于分析各个领域奇特行为的概念和方法。这些特点并不关心初始条件如何得到最终现象的，因而深受欢迎：早期的混沌发生在不同的学科――天体力学，数学以及工程。这些领域的研究人员对其他人的发现一无所知。同样，混沌打破了直接分析的方法。只有当交互式计算使得实验数学成为现实的时候，人们才能追赶上庞加莱等先驱的步伐。
基本的混沌理论已经被包含进了物理以及应用数字的课程中。不过从应用物理和工程到生理学、计算机科学以及金融学，都对混沌的具体表现有着强烈的兴趣。举例来说，最近的一个研究再次检验了一个长期存在的争论，最终的结果表明人类的心跳由于和呼吸存在耦合，也表现出了混沌现象。还有当恒星系统中有第二个行星出现的时候，系统也会变得混沌起来。
尽管存在对于初始条件的敏感依赖性，耦合的混沌系统可以同步运行在一个共享的混沌轨迹中。这种现象常见于网状系统，而相关的研究也已经展开。对计算机科学中的P与NP问题的研究已经开始。特别是在动力学系统表现形式下的限制优化问题中，当优化的强度增大的时候，混沌现象只会存在很短的时间。可能没有其他领域会像流体力学一样能从混沌中受益如此之多。甚至在受到周期性速度场支配的流体，微观上流体元的运动常常表现出混沌现象。一个经典的例子是冷流体越过障碍时候的瞬间混沌行为。这种行为已经被计划用来解释竞争关系的浮游生物是如何在特定的孤岛环境中共存的。在一个混合均匀的环境中，除了少数的物种，绝大多数的物种会灭绝。不过在一个岛的尾流中，各种生物可以寄居在不同的分形状流结构中，这些结构拥有很高的面积体积比，可以发生缠绕而不是混合（见图5b）。同样的，拉伸、折叠以及呈指数分离的临近点这些混沌的标志都在拉格朗日相关结构中被发现。这些内容将会被用于很多领域，诸如预测污染物在大气和海洋的传输等等。
尽管低维度的混沌并不被直接说成是湍流，流体中仍旧发现了高雷诺数值的时空混沌。洛伦兹在一开始的时候就建立起了混沌与湍流之间的关系，他在1963年论文标题的第一选择其实是“决定性的湍流”，最后只是因为编辑的怂恿而放弃。
混沌钟很多的基础问题还未完全解决。这些问题覆盖了从混沌在量子以及相对论系统中的意义到在相位空间中混沌与粗粒度的联系，以及统计力上的意义等等。还有的基础工作关注的是模型的建造，例如在天文学时间尺度上观察到的地球磁场磁极的不规则翻转，现在已经拥有了确定的混沌方程，与半个世纪之前的三等式模型已经大为不同。
洛伦兹吸引子已经被看作是渐进动力学的代表。洛伦兹无论在广度还是深度上都做出了标志性的贡献。正如他在1991年获得的京都奖对他评价的那样“他的‘确定性混沌’获得了巨大的科学成就，这个法则深刻地影像了大量的技术科学，并且戏剧性地改变了人类自牛顿以来的自然观。”
资料来源 physicstoday
责任编辑 粒 灰