§8 · 1传统见解。旧逻辑认为，定义是通过阐明包含某一个种的属，以及这个种的种差，即这个种区别于其他种的特性，来规定这个种的。一个典型例子是把人定义为理性动物。这里的属是动物，种差是理性。（这几句开场白是亚里士多德的定义理论。）许多教科书并不严格坚持亚里士多德的分析传统，而郑重列出以下四条关于定义的传统“规则”：

1. 定义应当给出被定义者的本质。

2. 定义不应当循环。

3. 定义只要能是肯定的，就不应当是否定的。

4. 定义不应当用比喻或含混的言辞来表达。当然这些规则作为实用的箴言是有重要的用处的。它们排除了像以下这些语句可以作为定义：

美就是在镜中凝视自身的永恒——卡列尔 · 吉布伦，《穆罕默德》，

它违反了规则4。或者：

力不是一个运动学的观念。

它违反了规则3。另一方面，这些规则在精确地陈述的理论（如在上一章中曾部分地展开了的实数理论）中，对于阐明一个正式定义的形式概念，是起不了什么作用的。

例如，我们可以在算术中把伪运算★定义为：

（1）x★y=z当且仅当x<z并且y<z。从我们关于算术的直观的知识出发，能容易地用这个伪运算去堆导出一个矛盾来。

1★2=3，

因为

1<3并且2<3；

但是又有

1★2=4，

因为

1<4并且2<4。

由此，我们可以推论：

3=4，

然而它同人所周知的事实3≠4相矛盾。可是（1）似乎满足所有那四条传统规则。（1）的确是说出了伪运算★的本质，不管这种本质是什么样的东西。而且，这个定义既不是循环的、否定的、含混的，也不是用比喻表达的。由这个简单的例子就可以十分清楚地看到，为了要展开关于定义的适当的形式理论，我们必须突破那四条传统规则的半陈腐的水平。

§8 · 2正式定义的准则。传统的通过属加种差的定义常称为真实定义，因为它被说成是刻划了一个种的本质。数学中通常用来引入一个新符号的那种定义，常称为语词定义或者名义定义^②。可是怎样对这两种定义作出一个明显的区别，这是不清楚的。对于我们的目的来说，只要懂得定义就是确立一个表达式的意义的语句就行了。定义是这样来做到这一点的：即把被定义的表达式（被定义项）与其他已采用的表达式（定义项）联系起来。

对这个未加说明的关于什么是定义的说法，至少马上能提出两个问题来。什么是‘其他已采用的表达式’？可以用作定义的语句，在逻辑形式上有什么限制，如果有限制的话？对第一个问题的回答是，我们总是认为定义是在一个具体的理论（如前一章所考察的初等算术理论）中引入的。这里所了解的理论是由它的初始的，非逻辑的符号及其公理来刻划的。就上章中的理论而言，其初始符号是关系符号‘<’，运算符号‘+’和‘·’，以及个体常项‘0’和‘1’。公理就是该章一开始就给出的十五条公理。第五章中引入的群论有三个初始符号和三条公理。在本章中，假定了在前几章中展开了的带量词的一阶谓词；逻辑，而且我们只研究那些能在这种逻辑的框架中加以形式化的理论。

—个理论中的第一个定义是某种形式的语句r它用该理论的初始符号确立该理论的一个新符号的意义。一个理论中的第二个定义是某种形式的语句，它用该理论的初始符号和第一次被定义了的符号确立该理论的第二个新符号的意义。对于往后的定义，情况也是如此。要注意的一点是，一个理论中的定义是依某种固定的次序，每次引进一个。由于这种固定的次序，我们总是能够有意义地谈论该理论中在先的定义。采用这样的观点，即任何被定义的符号只能用该理论的初始符号来定义，往往是方便的。在这种情况下，就不需要依某种固定的次序来引入定义。然而，一般的数学惯例是，在定义一个新符号时要利用先前定义出的符号；而为了给予此惯例以精确的说明，就需要一个固定的定义次序。

上一章已讲过：从逻辑推理的观点来说：一个理论中的定义仅仅被看成为一条新公理或前提。但这并不是说一个定义将对那个理论有任何实质性的增强。引进一个新的符号的目的是为了便于对那+理论的结构进行演绎的研究，而不是增补其结构。以下两条准则使得这些关于定义特点的直观观念更为明确了：（ⅰ）—个被定义的符号总是能从该理论的任何公式中消去的；（ⅱ）一个新的定义不能使旧符号之间那些先前不可证的关系得到证明；即它不能起创新的公理的作用^③。例如，在前面几章中，我们用等值式引进减法符号：

（1）x-y=z当且仅当x=y+z。

我们可以用（1）来消去减号的任一出现。因此，根据（1）我们就从

如果y≠0则x-y≠x

中消去‘-’从而得到算术上等值的语句：

如果y≠0则x≠y+x。

对引入一个新符号的任何定义，都要求能用来消去这个新符号此后一切有意义的出现。这一点看来是合理的。被定义的符号的一个特性就是能消去，这一点正好与初始符号相反。现在我们来把可消去性的概念形式化。

可消去性准则。在某一理论中引入一个新符号的一个公式S，它满足可消去性准则当且仅当：如果S₁是一个新符号在其中出现的公式，就有一个此新符号不在其中出现的公式S₂，使得S→（S_1←→S₂）是能从该理论的公理和在先的定义中推导出来的。

正如这个准则所指出的那样，今后我们不把定义叫做新公理，虽然它们在逻辑推理中起附加公理的作用。这个术语方面的限制，其理由是显然的。为了展开一种给定的理论以供研究，我们在一开始就要陈述一些开创性的公理而且总是把它们叫作“公理”。因为定义在理论上是可以省略的，我们就不把它们放在与该理论的基本公理相同的地位。

一个定义不是创新的这一观念可用下列语句加以形式化：

非创新性准则。在某一理论中引入一个新符号的公式S，它满足非创新性准则当且仅当：不存在新符号不在其中出现的公式T，使得S→T可以从该理论的那些公理及在先的定义推导而得，而T又不是可以如此推导而得的。

换句话说，我们不能容许这样一个引人新符号的公式S，使得有可能推导出某一完全用初始的和先前定义出的符号来陈述的、原来不可证的定理。不满足非创新性准则的公式的一个例子是群的第二条公理，如果我们考虑一个比群论更窄的理论的话。我们理论的仅有的初始符号是二元符号‘o’，而单个公理是结合公理：

（1）xo（yoz）=（xoy）oz。

现在我们提出下列引入新个体常项‘e’的公式作为这一理论的第一个定义：

（2）xoe=x。

然而，运用非创新性准则，我们不把（2）作为我们理论中所提出的定义，因为由（2）立即可推出：

（3）（Ξy）（x）（xoy=x）。

我们要注意（3）这个公式只有一个非逻辑符号即该理论的那个初始符号，而找出一个解释来表明（3）不能从（1）推去，乃是一件不足道的事。因之（2）是一个创新的定义，不可把它作为正式定义。

我们应当注意，非创新性准则的一个特殊结果是相对一致性准则。如果诸公理和在先的定义是一致的，并且如果一个引入一新符号的公式可能用来推出矛盾，那么这个新公式就不满足非创新性准则。这是因为，既然（P&-P）→Q是一个重言式，那就可以从矛盾推出任何公式。这样我们就不必把相对一致性准则作为独立的第三个准则。

下一节我们的任务将转入阐述定义规则，这些规则将保证满足可消去性准则和非创新性准则这两条准则。

§8 · 3正式定义的规则。在用精确语言陈述的理论（不论其对象是纯粹数学、物理学，还是心理学）中，我们通常引入三类被定义的符号：关系符号，运算符号，和个体常项。拿上章中开始讲到的实数的算术理论来说，‘≤’和‘≥’是定义出的关系符号，减法符号和除法符号是定义出的运算符号，而除了0和1以外的任何数的名称都是定义出的个体常项（例如，‘2’，‘3’和‘4’）。

为了叙述简明起见，我们为这三类符号中的每一类引入各自的规则。首先阐述要求正式定义是一个等值式的规则。然后讨论利用恒等式来定义运算符号和个体常项。在处理表示成等值式的定义时，习惯上在等值式的左边引入那个新符号，并且称这一边为被定义项（“被定义的东西”）。右边称为定义项（“用来下定义的东西”）。在减法的定义中，‘x-y=z’就是被定义项，而‘x=y+z’就是定义项。在本章中，我们到处都如此运用‘被定义项’和‘定义项’这两个词。

定义关系符号的规则。引入一个新的n元关系符号P的等值式D是一个理论中的正式定义，当且仅当，D的形式是：

P（υ₁，…，υ_n）←→S，

并且满足下列各限制：（ⅰ）υ₁，…，υ_n是各不相同的变项；（ⅱ）S中除υ₁，…，υ_n外无其他自由变项，以及（ⅲ）公式S中仅有的非逻辑常项是该理论中的初始符号和在先定义出的符号。

我们要注意被定义项P（υ₁，…，υ_n）是一个原子公式，它的形式必须保证能从每一可能的上下文中消去那个被定义的关系符号。与上一章的规定相应，变项υ₁，…，υ_n在等值式D中是自由的。要严格与形式推理规则相一致，可以在它前面加全称量词。举某些例子加以讨论，有助于阐明此规则的三项限制。变项υ₁，…，υ_n是各不相同的，这个要求防止了这样的定义：

（1）x≤x当且仅当x=x或x<x。

公式（1）并不真正定义了二元关系符号‘≤’，因为只有一个变项出现在被定义项中。有了（1）我们还是不知道怎样从公式x≤y中消去‘≤’。（1）的定义项必须看成定义了一个一元关系符号，比如说‘U’（一元关系就是性质，也就是说，一个性质是一个一元关系）：

U（x）当且仅当或x=x或x<x。

当然，性质U是每一个数都具有的不值一提的普遍性质。作为第二个例子，我们看一个四元关系的定义，这个关系是在四个数之间成立的，假定第一个数与第二个数的差小于第三个数与第四个数的差。我们用字母‘A’作为关系符号。

（2）A（x，y，u，v）当且仅当x-y<u-v。

如果（2）换为

（3）A（x，y，u，x）当且仅当x-y<u-x。

那么（2）的一般性以及由之而来的关系符号‘A’的一般可消去性就被破坏无遗了。（3）的定义项实际上定义了三元关系T：

（4）T（x，y，z）当且仅当x-y<z-x。

注意关系T的直观意义是：T（x，y，z）正好在x比y和z的平均数小即，（x<（y+z）/2时成立。）

第二项限制防止了这样的定义：

（5）R（x）当且仅当x+y=0。

当（5）加进算术的公理中去时，会推出矛盾。麻烦的根源是变项‘y’在定义项中出现而不在被定义项中出现。（5）逻辑地等值于下列一对语句：

（6）如果x+y=0则R（x），

（7）如果R（x）则x+y=0。然而根据量词的逻辑，我们知道（6）与

（8）如果有一个y使得x+y=0，则R（x）等值，而（7）与

（9）如果R（x）则对每一个y，x+y=0等值。从（8）和（9）我们直接推论出下式明显是假的：

（10）如果有一个y使得x+y=0，则对每一个y，x+y=0。

（注意在这一讨论中变项‘x’始终是自由的，因为它合乎要求地同时出现在（8）的被定义项和定义项中。）

另一方面，第二项限制并不阻止变项在被定义项中是自由的却在定义项中不是自由的。这样我们就容许

（11）Q（x，y）当且仅当x>0。

禁止变项在被定义项中是自由的，但是却容许它们在定义项中是自由的，这是没有断然的形式方面的理由的。另一方面，这样的变项不能用来表达任何直观上有意义的东西；它们作用之微不足道由下述事实表明：我们总可以找到一个等值式，它与上述定义的逻辑内容相同，并且有相同的、在被定义项和定义项中都是自由的变项。例如，我们把逻辑真理y-y拼到该定义项上，就可把（11）转换为具有相同的、在定义项和被定义项中都是自由的变项的公式。新公式

（12）Q（x，y）当且仅当x>0&y=y

与（11）逻辑的等值。类似地我们可以利用若干逻辑恒等式的一个合取式，把在被定义项中比在定义项中有更多自由变项的任何等值式，变换为一个它们两者中有相同数目自由变项的等值式。

第三项限制为的是禁止两种循环定义。我们不能承认以下的定义是正式的：

（13）R（x）当且仅当R（x）；

像（13）这样的逻辑真理是没有创新性的。其缺点在于不满足可消去性准则。公式（13）没有提供消去关系符号‘R’的程序。与（13）类似的另一种情况是下面这一对等值式：

（14）R（x）当且仅当并非P（x），

（15）P（x）当且仅当并非R（x）。

如果我们用新关系符号‘P’来定义关系符号‘R’，又反过来用‘R’定义‘P’，那么我们就无法消去两者，归到初始记法。因此我们提出要求：在定义中不能出现别的新符号，并且定义要按固定的次序给出。

现在我们转到定义运算符号的规则。有一个本质上新的限制要加到关系符号所需要的三项限制上去。在叙述这条规则时，我们用标准的记法

（E!ω）S

来代表

恰好有一个ω使得S成立。

定义运算符号的规则。引入一个新的n元运算符号O的等值式D是一个理论中的正式定义，当且仅当，D的形式是：

O（υ₁，…，υ_n）=ω←→S

并且满足下列各限制：（ⅰ）υ₁，…，υ_n，ω是各不相同的变项，（ⅱ）S中除υ₁，…，υ_n，ω外没有自由变项，（ⅲ）公式S中仅有的非逻辑常项是该理论中的初始符号和在先定义出的符号，以及（iv）公式（E!w）S能从该理论的公理及在先的定义推导出来。

考察§8 · 1中提到的伪运算★就足以证明第四项限制是正当的。用了伪运算★就能在§8.1中推出矛盾来，这正是因为‘x★y’并不指称一个唯一的实体。运算★的定义是：

（16）x★y=z当且仅当x<z并且y<z。

在这种情况下，我们无法证明恰好有一个z，使得x<z并且y<z，因之（16）不是一个正式定义。第四项限制的作用在于要求在任何新运算的定义之前要有一条定理，此定理保证该运算是唯一确定的。第七章中在负运算和减法运算的定义之前都有提供这种保证的定理。这一适用于无论多么复杂的运算的定义规则，其一般性不应模糊以下事实：我们经常是同二元运算打交道，它的定义具有形式：

xoy=z当且仅当S（x，y，z）。

我们还需要一个在先的定理，大意是说，对每一个x和y而言，恰好有一个z使得S（x，y，z）成立。

我们可以把个体常项看成是零秩的运算符号。然而，由于当用等值式而不用恒等式来定义时，个体常项的定义具有使人感到有点奇特的形式，因而明确陈述定义它们的规则看来是适当的。坚持用等值式来处理个体常项的定义，其理由在于未必总能用恒等式来引入它们。这一点我们马上就会看清楚的。为了使一般规则直观上更显然起见，让我们先来说明在算术里怎样定义常项‘0’和‘1’，假定我们没有用‘0’和‘1’作为初始符号来塑述我们的公理的话。这样我们就应该引入下列两个等值式：

（17）0=y当且仅当对每一x，x+y=x。

（18）1=y当且仅当对每一x，x · y=x。

注意，变项‘x’在（17）和（18）的定义项中都是约束的。对y的唯一性的限制，必须用到个体常项上去。如果丢掉了这个限制，我们就可以用如下定义引入一个常项‘b’：

（19）b=y当且仅当y>0，

从而推出矛盾。因为从（19）可以得到

b=1

和

b=2。

因之，

1=2，

而这是荒谬的。

定义个体常项的规则。引入一个新个体常项C的等值式D是一个理论中的正式定义，当且仅当，D的形式是：

C=ω←→S，

并且满足下列各限制：（ⅰ）S中除ω外没有自由变项，（ⅱ）公式S中仅有的非逻辑常项是该理论中的初始符号和在先定义出的符号；以及（ⅲ）公式（E!w）S能从该理论的公理及在先的定义中推导出来。

下一节我们用恒等式而不用等值式来引入定义运算符号和个体常项的规则。

§8 · 4采取恒等式形式的定义。在上节中，我们讲到运算符号和个体常项往往用恒等式而不是用等值式来引入。现在我们就来研究适合这种恒等式的规则。

由于定义：

（1）2=1+1

比定义：

（2）2=y当且仅当y=1+1

更自然而恰当，提出为什么总是用等值式来定义个体常项这个问题是有理由的。回答很简单，仅仅用恒等式不足以完成这项任务。如果‘0’和‘1’在算术中不作为初始符号，它们就能用上节中等值式（17）和（18）来引入，但是这些等值式就不能被消去归到恒等式^④。

对不用恒等式而用等值式来定义运算符号，可作同样的说明。例如，如果第七章中的算术理论中不曾给出其它定义，那么负运算符号和减法运算符号都不能用一个恒等式来定义；但只要给出一个，另一个就可以这样定义：

x-y=x+（-y），

-x=0-x。

或者，如果个体常项‘-1’先用等值式定义为：

-1=x当且仅当x+1=0，

那么负运算符号就能用恒等式来定义为：

-x=-1 · x。

正如这些例子所表明的，用恒等式定义运算符号的可能性与该理论在先的定义的严格性质本身有关。

现在我们转入形式规则。就用作定义的恒等式来说，我们把它的左边叫做被定义项，右边叫做定义项，如同根据以前的用法我们所预期的那样；在这里被定义项和定义项都是第三章所说的意义上的词项。与第三章中所引入的原子公式的概念相应，这里引入原子词项的概念是方便的。一个原子词项或者是一个个体常项，或者是一个运算符号恰好在其中出现一次的词项。这样‘x · y’，‘x+y’，‘x-y’和‘1’都是原子词项，而‘x+（x+z）’和‘x ·（y+z）’都不是原子词项。当一个定义是恒等式时，就要求被定义项是一个原子词项。

定义运算符号的规则。引入一个新的n元运算符号O的恒等式D是一个理论中的正式定义，当且仅当，D的形式是：

O（υ₁，…，υ_n）=t，

并且满足下列各限制：（ⅰ）υ₁，…，υ_n是各不相同的变项，（ⅱ）词项t中除υ₁，…，υ_n外没有自由变项，以及（ⅲ）词项t中仅有的非逻辑常项是该理论的初始符号和在先定义出的符号。

值得注意的是，当用恒等式来定义运算符号时，不需要有提供合法性的定理来保证运算符号被正确地定义了，因为公式（E!ω）（t=ω）是一条逻辑真理。

由于用恒等式来定义个体常项的规则与刚才给出的关于定义运算符号的规则十分相似，因之我们把它的形式陈述留作习题了。数的名称的标准定义是用恒等式来引入个体常项的例证：

2=1+1

3=2+1

4=3+1

……

§8 · 6条件定义。数学中通常的惯例不是采用上节^⑤末了引入的使人感到棘手的与公理无关的定义，而是采用条件定义。条件定义的手法是在通常的正式定义之前加一个假设。这样，除法的一个可能的条件定义是：

（1）如果y≠0则x/y=z当且仅当x=y · z。条件定义的主要缺点在于它们不完全满足可消去性准则。例如，如果我们用（1）去定义除法，就不能从语句

1/O=1/O

中消去除法符号。另一方面，显而易见，我们可以在所有“感兴趣的”情况下，即所有满足（1）的假设的情况下消去除法符号。

虽然与用来定义运算符号一样，条件定义也同样用来定义关系符号，但我们将只陈述定义运算符号的规则，而把陈述定义关系符号的规则留作习题。

运算符号的条件定义的规则。引入新运算符号O的蕴函式C是该理论中的一个条件定义，当且仅当，C的形式是：

H→[O（υ₁，…，υ_n）=ω←→S]，

并且满足下列各限制：（ⅰ）变项ω在H中不是自由的，（ⅱ）变项υ₁，…，υ_n，ω是各不相同的，（ⅲ）S中除υ₁，…，υ_n，ω外没有自由变项，（ⅳ）公式S和H中仅有的非逻辑常项都是该理论的初始符号和在先定义出的符号，以及（ⅴ）公式H→（E!w）S可从该理论的公理和在先的定义推导出来。

鉴于前面几节中对类似的规则作过一些详尽的解释，这里就不需要另加说明了。一些应用已给在习题里边。^⑥

^{________________________________}

① 本文是Patrik Suppes的《逻辑导论》（Introduction to Logic，V.S.A.）—书第八章时摘译。——译注

② 也译为名词定义、唯名定义。——译注

③ 这两条准则是波兰逻辑学家S·列斯涅夫斯基（1886 ~ 1939）第一次表述的，他也是第一个给出满足这些准则的定义规则的人。——原注

④ 如果我们的基本逻辑扩充到包括一个摹状算子‘那个对象x使得…’，那么关于恒等式不胜任的说法就假了。这个运算通常符号化为‘（ιx）’，这一记法是皮亚诺第一次引用的。有了这个可采用的算子，我们就能引入

0=（ιy）[（x）（x+y=x）]

作为‘0’的定义。我们没有引进这个摹状算子，因为对能在一阶谓词逻辑中形式化的理论进行演绎的研究时并不真正需要它，又因为它的引入会把我们基本推演规则弄得更加复杂。——原注

⑤ 指§8·5，这里从略。——译注

⑥ 与条件定义有关的一个哲学概念是鲁道夫·卡尔纳普的化归语句概念。这个概念提供了一种把倾向性谓词（如‘能溶于水’）与直接可观察的谓词联系起来的方法。一个可能的关于可溶性的谓词的化归语句是：

如果X是放在水中的，那么x是能溶于水的，当且仅当x溶解。

进一步的详细讨论见卡尔纳普的文章《可检验性与意义》,《科学哲学》第3卷（1936年），第419—471页，第4卷（1937年），第1—40页。——原注