在本世纪的前半叶，人类对物理学的世界图像的认识有三个大的革命性变革，那就是狭义相对论，广义相对论以及量子力学。前面两个是爱因斯坦倡议的，当然他对量子力学也是有贡献的。今天不是谈这些（那是大家熟悉的），我要讲的是，爱因斯坦对如何理解理论物理所做出的贡献。这对今天的物理学的发展有很大的影响。我要讲的内容如下：
所谓“对称性规定相互作用”的原理
场论的统一的必要性
物理学的几何化
对“理论物理方法”的诠释
§1. 对称性规定相互作用
下面要讲的大多和麦克斯韦方程有关。它是电磁学的实验定律，即库仑定律，高斯定理，安培定律，法拉第定律的数学表示。法拉第是对电磁学有很大贡献的人之一，他引入力线概念，对本世纪物理学的发展给予重要影响。他虽对数学不太擅长，但物理洞察力却是很突出的。1881年赫姆霍兹讲道，“他通过直观，完全不用数学式子，就能发现普遍定理，实在令人吃惊。如果系统地演绎出那些定理的话，可能要求很深的数学知识。”
法拉第的直观想法，由麦克斯韦整理成麦克斯韦方程的形式。对于一般人来讲，方程要比别人的直观想法容易懂得多。所以到麦克斯韦，才对法拉第和麦克斯韦的电磁学逐渐有所理解。特别是在十九世纪末，根据麦克斯韦方程的数学结构推导引出了变换的不变性。这种洛仑兹不变性是已经知道的，它是非常重要的概念。发现它的当时对其物理涵义并不明确，1905年由于26岁的爱因斯坦的勇气与洞察力，才弄清了洛仑兹变换的物理意义。有趣的是，远比爱因斯坦知识渊博的洛仑兹也好，最伟大的数学家之一的彭加瑞（Poincar6）也好，虽都对洛仑兹变换有浓厚的兴趣，却没有能够理解它。能够理解的是爱因斯坦。要回答原因何在，固然不容易。恐怕原因之一是爱因斯坦对于包括洛仑兹，彭加瑞在内的所有人们所持有的时间概念，即同时性概念产生了怀疑。一旦产生了怀疑，他终于认识到洛仑兹变换是现实的东西，而不单单是数学手段。
概括以上电磁学的发展，首先是有从实验得到的电磁学的四大定律。麦克斯韦从数学上把它们加以概括。随后就知道了麦克斯韦方程具有洛仑兹不变性，最后爱因斯坦弄清了这个变换的意义。可是，我在这里要讲的是把这个话题倒转过来，这也是爱因斯坦首先这样做的。1907年他这样想：代替从实验得到方程再向对称性引申，而是把这个连锁倒转过来，从对称性出发到方程再到实验。他在自传里，这样写道：“这个连锁很有趣，如果从洛仑兹射称性以外的对称性出发（实际上他考虑了更普遍的坐标变换）推导出方程再利用它进行实验，不更好吗”。他对这个“连锁的倒转”加上了叫做等效原理的物理要求，在1916年完成了引力的深邃理论——广义相对论。须强调指出，爱因斯坦所开创的这一发展，成为现代物理学的主流。这个事实可以表述为“对称性规定相互作用”。可以说先找到对称性是个适当的出发点。作为一个例子，就是爱因斯坦所倡导的，开始于广义坐标变换的广义相对论的发展；另一个例子是，根据叫做规范不变性的不变性（以后还要讨论），引向描述电磁学或非阿贝尔规范理论的方程的途径。
在1973年又发展了所谓超对称性（Supersymmetry）的思想。这和前面讲的对称性是不同的类型，和表示费米子和玻色子之间的对称性的场论有联系。在1976年，这个理论又推广到包含引力在内的理论，叫做超引力（Supergravity）。这些发展的方向都一样，都是爱因斯坦在1907年所开创的。在现阶段超对称性或超引力虽还都没有与实验结合起来，尽管如此，物理学家仍在发展这一想法，这也是毫不足奇的。原因是都离不开对称性，对有的对称性来讲，费米子与玻色子虽各不相同，但这种区别，绝不是不可逾越的鸿沟。这两者的统一需要新的构思，和实验还没有结合这一点是否意味着基本想法尚不够完备。
§2. 场论的统一的必要性
强调场论的统一的重要性也要追溯到爱因斯坦，1936年他这样写道：
“法拉第和麦克斯韦所建立的电磁学，恐怕是牛顿时代以来物理学基础的根本性变革”。
已经知道所有相互作用都能用场论来表述。场论开始于前面已讲过的法拉第的力线概念。最早使用“场”这个词的是麦克斯韦。他在1865年提出的论文“电磁场的动力学理论”（A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field）可算作物理学在二十世纪最大的论文之一，其中这样写道：
“我所倡导的理论，可以叫做电磁场理论。原因是和带有电荷或磁荷的物体的周围空间有关，在该空间内有运动着的物质，从而引起电磁现象，可以叫做力学理论。”
麦克斯韦虽是伟大的，但还是有先入为主的观念。注意一下所谓“运动着的物质”就会明白，他当时认为必有用于传播的媒质，这种想法是和以太概念联系在一起的。实际上，由于他的这种先入为主的观念，使他花了大量时间与精力，利用力学的物质来近似地得到他的方程。比如，他考虑涡漩系，它在媒质中近似地按照麦克斯韦方程进行运动。这就产生了一个疑问，这种媒质近似和麦克斯韦方程，究竟应把那一个看成是基本的，对此他自己也没有弄清楚。在他的论文中，他这样写道，“由于存在媒质，它是更为基本的，方程不过是近似的而已。”但在别处，他又说，“麦克斯韦方程是基本的，涡漩的模型不过是为了说明方便而已。”麦克斯韦本身的混乱助长了那个时代的混乱。一直到30 ~ 40年以后，他的理论仍未被理解，究竟应如何解释，争论很大。
在物理学家所知道的场论的电磁学之后，1916年，出现了第二个场论，即广义相对论。爱因斯坦充分认识到场论的重要性，他注意到存在两个不同的场论，于是在提出广义相对论以后不久，就谈到了这两者应该是统一的，随后这样写道：
“存在两个独立的空间结构，引力的和电磁的，这两个场应该存在于一个统一的空间结构。”
所谓引力场是空间结构，这是爱因斯坦本身的创造，通过广义相对论为人们所接受。然而，尽管爱因斯坦经常明确讲，电磁学也是空间结构，可是在当时的物理学家当中，并没有产生什么反响。他在1930年以后的大部分时间，致力于引力和电磁学的统一，但如大家知道的以失败而告终。这个失败对他引起了非难，甚至在物理学家当中，有这样的看法，爱因斯坦到了晚年产生了“狂想”。确实是“狂想”，但这是带有洞察力的“狂想”。总之，可以这样讲，爱因斯坦虽没有完成统一大业，但是他顽强地坚持统一概念，给物理学带来了概念上的重要发展，尤其是规范场概念的引入。
今天看来，所谓规范变换的名称是错误的名称。严格讲应该叫做位相变换，这意味着在时空各点进行不同的位相变换时，理论是不变的。
魏尔开始阐述他的理论时，使用所谓“Masstab不变性”的词，“Masstab”是德文，是“尺子”的意思。翌年他改称为“Eich不变性”，在1920年初翻译成英文称为“规范（Gauge）不变性”。
位相这一概念，在物理上是非常重要的概念，许多理论都以位相概念为基础，比如超导、约瑟夫逊效应、全息照相和激光等。
总之，爱因斯坦的统一主张最初虽不对，后来导致了电磁场是位相场或规范场的正确认识。这个认识又进一步发展如下（虽和厂史次序相反，但这里所阐述的是复杂的规范场的最自然地引入）。由于电磁场的位相在复平面的单位圆上，是U(1)位相。因为把单位圆上的两个复数乘起来仍在单位圆之上，所以它形成群。这就产生了一个疑问，“是否存在更复杂的位相”，确实存在，那叫做李群，它在数学上的重要性怎样强调也不过分。由这种复杂的位相所组成的变换的不变性，叫做非阿贝尔规范理论。这可以通过两条路径得到。其一是，把刚才讲的已认识到电磁学当中位相概念的重要性加以推广。另一方面是，1950年代根据局部对称性的想法，再通过守恒流是场源的想法，引入了非阿贝尔规范理论。在1950年代初期，已知道存在着许多种基本粒子，基本粒子各有不同的自旋，同位旋。可以考虑这些量的各种组合。于是产生这样的疑问，在自然界里是否存在着对各种基本粒子都遵守的共同原则，例如考虑电磁学和引力的话，我们知道都有守恒量。电磁学的情形是电荷，引力的情形是能量。伴随着这些守恒量就产生场。另外当时也知道同位旋等的守恒量，那就不禁要问它也产生场吗？这种疑问是自然的。沿着这个方向进行探讨，虽有一些技术上的困难，但到达了非阿贝尔规范理论。从今天的观点看来，用这两种不同方法到达相同的非阿贝尔规范理论是不足为奇的。这是因为，局部不变性，守恒量，位相这三个概念是有深刻的内在联系的。上面讲了不少有关非阿贝尔理论的话题，也许有必要讲讲非阿贝尔规范场究竟是什么。理论的运动方程分别如下，麦克斯韦方程：
非阿贝尔规范理论虽在1954年才开始提倡，但在当时的基础物理学里还没有看到具体例子。这个理论依赖于复杂的位相，即复杂的对称性。对于解释自然现象来讲，对称性有些过分了。因在自然界里虽有对称性，但并没有看到严格的对称性。尽管有对称性，但如何找到有非对称性的可能性成了1954年以后的努力目标，于是需要一个叫做“对称性破缺”的基本想法。这种想法开始于1960年，南部，戈德斯通，希格斯等认为尽管有对称性，但存在着出现破缺形式的可能性。1967年温伯格与萨拉姆以尚没有引进所谓“对称性破缺”的重要论点的格拉肖的初始想法为基础，倡议了电磁与弱相互作用的具体模型。他利用非阿贝尔规范理论与对称性破缺的概念，以统一的形式包括了两种相互作用。在提出当时并未引起人们的注意当然评价并不高，但1970年初，由于't Hooft，B. Lee对有关这一模型的重正化的发展，并得到和这个模型的预言相一致的实验结果，从而使人们相信它能很好地解释自然界的一部分。在这个激动人心的涡旋席卷之下，发展到甚至想把强相互作用也统一在内的尝试，这就是所谓大统一（gut）的尝试。这是近年来极为活跃的领域。今后恐怕还要继续进行若干年积极的研究。随着规范理论的发展，不仅引起这种统一热潮，也促进了前面已谈到的可能重正化，渐近自由性，囚禁等的发展。
§3. 物理的几何化
物理的几何化也是爱因斯坦经常强调的。这有三个侧面，首先第一个侧面是爱因斯坦的所谓“电磁场是空间结构”的想法。似乎其他任何人都没有认识到它的重要性，必要性。把电磁场也包括在内的规范场可看成是几何的结构。对于第二个侧面，他在1950年这样写道：“麦克斯韦方程虽暗示洛仑兹群，但洛仑兹群并不暗示麦克斯韦方程。从洛仑兹群出发虽能到达麦克斯韦方程，但从其它理论比如标量场理论也能推导出来。总之，麦克斯韦方程也好，标量场理论也好，都是洛仑兹不变的”。自然界选择麦克斯韦方程，是由于它要求规范型的相互作用，而且由于麦克斯韦方程是最单纯的规范场方程。第三个侧面是，所谓“真正的自然法则不可能是线性的”。这样讲当然是由于成功地推导出形式优美而且是非线性的广义相对论方程。
从代数的角度看，该方程是非线性的，感觉不到其背后有什么合理性。但从几何的角度来解释的话，不仅完全自然而且优美。因此爱因斯坦全力以赴地努力于把非线性项自然地推导出来，并主张所有自然法则都是非线性的，通过非阿贝尔规范理论的非线性项，这个主张自然得到满足。
下面说明一下规范场是几何学的理由。高斯定理与法拉第定律虽能表示成（1）那样，但用外微分形式的话，则和明显的几何式子所谓??A=0可看成是一样的。这个式子代表，“范围的边界是本身就不带有边界”的定理，举例的话，如第1图的S的边界是圆c。因圆c为封闭曲线，是没有边界即端点的。另外，立方体有六个面，其边界如何，因6个面各有四个边，可看成共有24个“边界的边界”。然而按右螺旋数各个边时，对某个面，数的时候是从左到右，对相邻的面则是从右到左，由于数两次是相互抵消的，结果“边界的边界”就没有了，这是普通的定理。它的成立是与形状和维数无关的。我们所观测的物理世界的许多现象都能用麦克斯韦方程来解释。比如，化学就以这个方程为基础。这四个方程当中的两个和现在所讲的几何学的概念是一样的，这是一个奇迹。物理世界为什么建立在几何学概念之上，这也许将是长期难解之谜。另外物理学家相信规范场是几何学的概念是有理由的。由于狄拉克（Dirac）的磁单极（1931年），玻姆 - 阿哈让诺夫（Bohm-Aharonov）实验（1960年），非阿贝尔规范理论的't Hooft-Polyakov的单极解（1974年），Polyakov等的instanton解（1975年）等的理论发展，很明显必须从整体来考虑规范场。它们都具有拓扑性质，以几何学的表示为特征。几何学概念逐渐有和整体性质相结合的趋势。由于这些发展，使物理学家和数学家相信，规范场的几何侧面，不只是可能的看法，而且是本质的看法。
§4. 理论物理学的方法
最后阐述一下，以“理论物理学的方法”为题的爱因斯坦的论文。这是他在1933年到1934年写成的。有助于理解他对理论物理的看法。
“创造的原理存在于数学之中，因此我相信，在某种意义上许多先人像做梦一般通过纯粹的思考能够掌握真理。”
“理论物理学的公理基础不可能从经验抽出，而必须自由地去开创。”
“适当的数学概念也许能通过经验而得到暗示，但不大能演绎出来。”
这些都经常被引用，但大多是在错误的意义下被引用，甚至有许多人认为，晚年的爱因斯坦是被纯粹数学的价值判断所束缚的物理学家。这是错误的。爱因斯坦确实是物理学家，他本身也没有把自己看成是数学家。1949年他70岁在自传回忆录中的一节，谈到了为什么成了物理学家。
“很明显，这是由于我在数学领域里，把根本性的重要的而且是真正基本的东西和不太重要的知识加以区别的直观能力并不够强。更重要的理由是我对自然界的知识的关心更为强烈。在学生时代，并不知道要更深刻地了解物理学原理必需很繁杂的数学方法，进行了几年研究以后才逐渐体会到了。物理学确实有各种领域，那一个都足以使我们对知识的饥求尚未得到满足以前就吞没短短的一生。相互没有多少关系的数据堆积如山，但在这个领域里，我们立即觉察到基本事物的内部联系并从那些脱离本质使理性混乱的许多事物当中找到了这种联系。”
他起初并没有想到物理必需复杂的数学。在建立狭义相对论，广义相对论的过程中，逐渐认识到它的重要性，这在另一节里，他讲得很清楚。
“理论物理学家为纯粹数学形式的考察所引导的程度越来越大。这不能责怪那样做的理论家是空想的，相反，应该给予他空想的自由，此外没有达到目标的途径。”
数学与物理有很复杂的关系，一方面如爱因斯坦所说，物理学在基础阶段，经常与数学有关。狭义相对论是以所谓四维时空连续体的几何学概念为基础。广义相对论是黎曼几何，量子力学是希尔伯特空间，而规范理论是建立在纤维丛几何学的基础之上的。必须牢记，并不是说其它方面的成功都仰仗于数学。实际上，那样做大多以失败而告终。例如凯普勒想要解释行星轨道半径的比，他首先考虑一个球，其中放一个立方体，其中再放一个正8面体，其中再放一个正12面体，想通过这些正多面体的大小来求得轨道直径的比，这种尝试在数学上是一幅美丽的图画，但并没有成功。我们再来看看，当麦克斯韦打算把法拉第的想法用数学表示出来之际，法拉第抱有怀疑。麦克斯韦比法拉第年轻40岁，对他很崇拜，经过几年的努力，他把得到的方程作为中间结果，写信告诉法拉第。今天是用四个式子表示麦克斯韦方程，当时他用分量式子写成23个式子。1857年3月25日法拉第的回信如下：
“拜读您的论文，很感谢。但对您所讲的‘力线’实在不敢当。您要是讲哲学道理还可以那样说（这是指麦克斯韦赞颂力线概念的重要性）。尽管如此，我仍感到欣慰，数学的魅力竟与此有如此密切的关系，实在令我吃惊，想不到数学有这样大的用处。”
我认为法拉第的疑惑是实在的，事实上复杂的数学化为乌有。数学实际是极为基本的方法、以完全意料不到的方法用于物理学，这是不可想象的。尤其是当回忆起所有的场论都是以实验为基础发展起来的，更加如此。物理学家通过简单的实验设备能够知道存在着用艰深的数学概念才能解释的物理世界的结构。这些数学概念，其中有一些是数学家完全与物理的现实无关地想象出来的，这是一个奇迹：如我的“有关数学与物理的二叶理论”，我把数学与物理比做几乎任意伸展的两个叶子，重合部分是很少的。可以说90 ~ 95%的数学与物理无关，奇怪的是只有很小的一部分是重合的。这种重合对于两者都是最基本的概念。在这个完全重合的领域，数学家也好，物理学家也好，想法都相同。然而，即使在这个领域，对于事物的重要性的判断标准也并不相同，两个领域是有区别的，由于叶子伸展方向的不同，显示出它们不同的作用。
[《物理学会志》（日），1982年3月号]