一个令人难以置信的间接证明解决了一个老问题，并且把似乎毫无联系的两个数学领域联系起来了。

已经向数学家们挑战了一百多年的一个著名数论难题现在已被解决。这个问题涉及数系族，它的证明中令人惊奇而意义重大的地方是，证明过程运用了椭圆曲线，这是完全不同的另外一种数学研究对象。总之，这个问题的解可能是把椭圆曲线的分析和这些曲线的数论联系起来而迈出的一大步。

这个证明是马里兰大学及马克斯 · 普朗克学会的唐 · 桑杰（Don Zagier）和布朗大学的本尼迪克特 · 格劳斯（Benedict Gross）最近宣布的。这两位数学家已发表了一项简要说明，宣布了他们的成果，不过还在撰写他们长达300页的详细证明。有些数学家抱怨说，这样冗长的证明几乎不可能检查，因为它常常要求读者消化大量资料并验证复杂的逻辑关系。不过，尽管这个证明十分庞大，格劳斯相信它是可以理解的，他说他“绝对无疑”坚信证明是正确的。

“它比大多数数学证明更明确，更不易出差错”。别的数学家也表示赞同。正在哈佛大学访问的奥斯汀的得克萨斯大学道里安 · 高费尔特（Dorian Goldfeld）说：“我相信这个证明”。

桑杰和格劳斯为得到这一结果已工作了好几年，但他们在开始工作以后就感觉到成功是必然的。格劳斯说：“数论的结论是如此严密，获得进展是非常艰难的。但是你一旦走对了路子，你就知道它必定走得通。”格劳斯说，他和桑杰为定理的证明“欢欣鼓舞”。

因此，一个重大问题是，要确定对d的哪些值唯一析因定理是成立的。在高斯时代已知，当d等于1，2，3，7，11，19，43，67和163时它是成立的。但是无人知道，是否还有d的其他值也能使它成立。在本世纪二十年代以前，数学家们在这个问题上已有所进展。他们知道，除了已经发现的九个值外，最多还只能有一个值，而且，如果这个d值存在的话，一定大得是个天文数字。

大约15年以前，麻省理工学院哈罗德 · 斯塔克（Harold Stark）和英国剑桥三一学院的阿兰 · 培克（Alan Baker）独立地而且用完全不同的方法证明T，第十个d值是不存在的。然后他们决定再回头在文献中搜寻，在这个问题上人们还做了别的什么工作没有。他们发现了一篇论文，写于本世纪五十年代，作者是一位退休的瑞士科学家库特 · 海纳（Kurt Heigner），这个人把研究数学当作一种嗜好。在这篇论文中，海纳声称他要证明，只有九个d值能使唯一析因定理成立。但是数学界的舆论却认为海纳错了。斯塔克说：“这是一篇很难读的论文，它是用你所能想象的最可怕的文笔写成的。”尽管如此，斯塔克和培克回头来检查海纳的论文以后，他们断定他的证明是正确的，那是一个美妙绝伦的证明。

下一个问题是，如果在这些数系中没有素数析因，那么你能接近素数析因到什么程度？在这儿，高斯也有一个理论。他提出一种叫做类数的东西，它和从d数导出的任何数系有关。马瑟说：“类数是唯一析因定理失效范围宽度的量度。”如果类数为1，则唯一析因存在，如果类数是2，则这个数系就失去唯一析因性质。类数可以取不包括无穷大的所有数，而且类数越大则该数系分解成素数因子的方式就越多。

上述的九个d值是类数为1的全部数域。此外，培克和斯塔克能指出类数2的全部数域。但是其余的类数呢？数学家们被高斯最早提出的问题难住了：对任意数k，能否找出最大的数d，使它的数系有类数k。

大约六年前，高费尔特认为他几乎已获得答案了，他说：“我对类数研究了四、五年，我认为差不多成功了。”高费尔特发现，谁只要为他提供一种特殊的数学研究对象——一种具有某些特性的椭圆曲线，他就能给谁提供类数表。

这听起来容易。包括高费尔特在内的所有人都认为解决问题已为时不远。格劳斯说：“看起来很简单，但我们很快认识到，这是一条超出我们知识的道路。”他们要寻找的数学对象必须涉及椭圆曲线理论，这种曲线由形为x³+y³= z³的方程表出。

数学家们把一种称为L函数的函数和椭圆曲线联系起来，这些L函数用来推测那些曲线上有多少个有理点。数学家们寻找这些L函数在复平面上某个待定点的所谓消失阶，从而确定椭圆曲线上有多少个有理点。高费尔特提议说，如果谁能发现一种椭圆曲线，它的L函数有一个大于或等于3的消失阶，他就能解决类数问题。

六年来，数学家们为此而工作着。马瑟说：“这不仅听起来不难，而且，若我们的推测正确的话，我们想我们知道一些椭圆曲线有此性质。我们认为我们已经从一种较容易的理论一消失阶问题，走向一个较难的问题——类数问题。可是消失阶问题却比任何人所想的难得多。”

格劳斯和桑杰最后所做的是，把椭圆曲线的运算和消失阶理论联系起来。他们发现，椭圆曲线上的一些特殊点有这样的性质，如果它们非零，则消失阶恰等于1。如果它们是0，则消失阶大于1。而且他们还知道，消失阶是奇数还是偶数。这样，只要找到具有偶数消失阶且特殊点有零值的椭圆曲线，他们就以可得到消失阶大于或等于3的椭圆曲线了。格劳斯和桑杰称这些特殊点为H，以纪念海纳，他在被人长期否定的证明只有九个d值的论文中用到了这些点。

而这个证明本身，照格劳斯的说法，含有一个吓人的大方程。“计算方程的两边共用了100页。然后你必须将方程两边各项一一对应起来，以证明两边相同。这真是一团乱麻。”这证明确实毫不优雅。斯塔克说，“我仍指望它能大大简化。”

不过数学家们真正重视的是这个证明后面的思想。马瑟说：“这个证明令人吃惊地间接行事。他们所做的是，利用椭圆曲线去处理这个无穷数系族的结构。这些数系的全部范围都由一个数学研究对象来处理。”数学家们或许天真地认为，在椭圆曲线和这些数系族之间并无联系，可是马瑟说，最近的证明雄辩地指出，“这儿存在种种联系”。格劳斯同意这种看法，还补充说：“这种联系可实实在在是很不平常的。”

[Science，1983年10月7日]