人们不能用正五边形铺满浴室的地板，相应这一道理，在晶体学上也有一个经典的守则，即在二维或三维空间里，不存在五度旋转对称的晶体结构。但使人感到惊奇的是，最近在美国国家标准局实验室里，舍赫特旻（Dan Shechtman）和他的同事们发现了五度轴对称的点衍射花样，样品是用快速冷却方法制备的具有微米量级晶粒的金属合金。
—个显示五度对称的衍射花样，即使它不具有正五边形明锐的布拉格峰的点花样，也足以引起人们的震惊。例如，若衍射花样是一些弥散的环，而在每个环的五个等距离点上出现强度极大值，这就说明有相当新奇的内容，它可理解为具有五度键取向有序而无严格平移周期性的非晶体材料。平移周期性是判别是否晶体的判据，按传统的习惯看法，尖锐的布拉格衍射峰只能由晶体产生，并且很清楚地知道，晶体是不能显示五边形对称性的。
上述美国国家标准局的资料，似乎使人感到有些迷惑，然而，这对凝聚态物理来说，可能会带有根本性的意义，因而启发我们去考虑准晶体的概念，这是一种固体材料中高度有规则的结构，它既不同于晶体也不同于玻璃以及过去所见到的其他材料。
事实上，舍赫特曼和他的同事们所发现的衍射花样，表示存在着一种规则二十面体旋转对称的结构，即五个柏拉图（Platonic）固体中的最后一个，它具有二十个等边三角形的面，十个三度和六个五度旋转对称轴。虽然，在经典的结晶学中这种二十面体群是不可能的，但是近几年来，它却一直吸引着结晶学工作者和趣味数学家。麦凯（Alan Mackey）和其他结晶学工作者已经注意到围绕着气体籽晶原子的晶体形成，开始的几个原子壳层倾向于排列成二十面体，当晶体进一步成长时，为要获得平移周期性，晶格必然要放弃二十面体的对称性。
趣味数学家们一直被结晶学上所禁止的二十面体群吸引着，因为在三维空间里，这是旋转群中最大有限的子群。英国粒子理论家潘鲁斯（Roger Penrose）作为业余爱好，对铺设理论进行了研究，其结果首先发表在“科学美国人”一九七七年一月号的数学游戏栏里。从此，人们打算将潘鲁斯非周期性的五度对称铺设推广到三维空间中去，其中有些人仅是出于兴趣爱好，而另一些人却像麦凯一样，他们希望这种结构与自然界中某种排列的材料相对应。
在美国国家标准局小组实验上取得新发现的同时，与此完全独立，美国宾夕法尼亚（Pennsylvania）大学的理论家斯坦哈特（Paul Steinhardt）和列文（Dov Levine）也在对潘鲁斯的铺设理论进行严格的数学处理，设法将其推广到三维空间中去。他们的研究结果表明，这种非周期性的准晶格具有长程二十面体旋转对称性。尤为重要的是，他们无拘于结晶学者的传统做法，尽管这种准晶格不存在平移周期性，他们仍然指出这些晶格的付里叶变换即衍射花样是明锐的布拉格3函数的点花样，当斯坦哈特和列文去年秋天第一次看到国家标准局的衍射数据时，他们感到既惊讶又高兴，因为实验结果与他们计算的傅里叶变换几乎完全—样。
电子衍射
舍赫特曼是从以色列海法市（Haifa）塔克尼（Technion）来到国家标准局的访问学者，这个研究小组的其他成员有：一个是国家标准局的凯恩（John Cahn），另一个是从法国维曲（Vitry）化学冶金研究中心来的格拉太斯（Denis Gratias），还有一个是从塔克尼来的布来奇（Ilan Blech）。奇特衍射花样是没有想到的意外发现。这个小组一直在研究用快速冷却铝和少量过渡金属如铁、锰混合熔体而得的金属结构的性质，他们将熔化了的液体飞溅到一个每分钟六千次旋转的冷盘上去，从而期望这种极快的固化将会产生新奇的含金晶体结构。
在用透射电子显微镜对原子比为六比一的铝锰合金的微米尺寸颗粒进行观察时，舍赫特曼碰巧注意到，像的衬度随着颗粒在电子束中取向强烈地改变着，这就使他自然地想到这些颗粒是产生明显衍射的单晶，所以他继续使用100 KeV电子束的电子显微镜，研究在各种不同取向时颗粒的电子衍射花样。他发现了一系列的点衍射花样，它们具有二度、三度和五度对称性，而这些轴间的夹角相应于二十面体旋转对称群中对称轴间的夹角。这些明锐的布拉格衍射花样，似乎已清楚地表明，这些颗粒确实是单晶体。但是，所有的结晶学教科书都告诉我们，二十面体群是不允许存在对称性的，这种结构可能不是晶体，然而，它是在一万个原子直径大小的距离内保持键合取向有序的高度有规则的结构。
凯恩说，“我最初认为这可能是孪晶。”当一些不同的晶体作为一个单个的实体，模仿五度旋转对称性成长时，五度点衍射花样方能看到。但是，用电子显微镜作进一步的成像研究后，使研究小组认识到这种材料不是孪晶。电子显微照相术也表明，这种特殊的有序态——不管它是什么态——像普通的晶体一样，从一个晶核中心向外生长。这种形核和生长过程表明，从液态的转变是一级相变。
这种新相是一种亚稳相，在室温条件下相结构长期不变，但在350°C时，在几小时内就要返回到普通的Al6Mn晶体结构，而在400°C时，仅需几分钟就能返回。从二十面体相转变到晶体相的观察表明，这也是一级相变。
舍赫特曼和布来奇在发现新相后不久回到海法市，他们为了解释这种新相，试探性地提出了模型，假设每个锰原子占据在二十面体的中心，而在十二个顶角上分别占有一个铝原子，因为一个锰原子仅对应于六个铝原子，所以，相邻的二十面体必然要均分铝原子，正是这种原子分配，使得在一个颗粒中的二十面体取向在同一个方向上。单元二十面体的相互连接是没有规则的，当然，也就没有长程平移的有序性。但是，他们认为存在着近似的周期性，这足以解释观察到的衍射花样的一般特征。
凯恩告诉我们，这简单的图像现在看来是错误的，最近由国家标准局的斯旺特杜伯（Lydon Swartdruber）所作的穆斯堡尔谱（M?ssbauer）研究表明，存在二种可分辨的锰原子位置，它们相对于铝原子位置是完全反对称的。由穆斯堡尔谱而得到的一个有趣的发现是，这些位置出现的相对几率是1.6±0.2，非常接近古希腊建筑学中的黄金分割，即
这个黄金分割的再现，与潘鲁斯的铺设理论以及在三维空间中准晶体的主导思想相同。
潘鲁斯铺设
大部分几何图形不能铺满一个平面或填满一个空间，例如，立方体能做到，而二十面体却不能。然而有些时候，一个简单图形所不能做到的，而一对同时使用的图形却能做到。任何有限的能铺满平面的不同铺设的集合，能够周期地铺满平面，虽然这一命题没有得到证明，但直到最近在铺设理论中仍是传统的看法。1974年，潘鲁斯设计出了最简单而又可能的相反例子，即一对图形能够铺设平面，但没有平移周期性许多不同的四边形对就能完成这样的铺设，它们都有两个特征长度，其比恰好是黄金分割。因为这种设计对游戏和装饰品有潜在的经济价值，潘鲁斯不愿意公开铺设方案，二年后他为此申请了专利。
1981年，麦凯指出，人们可以用一对菱形六面体将潘鲁斯的铺设理论加以推广，其中一个是锐角，另一个是钝角，他注意到这种非周期的结构有局部的五度对称轴，他用光通过掩膜来形成衍射图形，由此从经验上来研究傅里叶变换。在法国，摩瑟尼（Remy Mosseri）和萨道克（Jean Francois Sadoc）使用潘鲁斯的图形来仿造真实的物理系统。
在国家标准局数据去年秋天公布前不久，克雷姆（Peter Kramer）和内里（R，Neri）发表了一个三维的潘鲁斯图形，它是由多维空间的超晶格投影而得来的，1982年，埃尔森（Elser）仅出于个人兴趣爱好，完成了上述相同的工作，当时他是柏克莱（Berkely）的粒子物理研究生。另一个有贡献的人物是艾莫（Amman），埃尔森做了和他相同的工作，不过都没有公开发表。
理论工作
1982年，斯坦哈特、纳尔逊（David Nelson）和罗卡特（Marco Ronchetti）一起进行了计算机模拟工作，斯坦哈特和列文受这项工作结果的启发，将大约一千个理想化的氩原子作为模拟液体，让其过冷到平衡态熔化温度之下，他们观察到了二十面体键取向有序的开始状况。然后纳尔逊和斯坦哈特从各方面去寻求解释，当斯坦哈特受潘鲁斯图形的启发去考虑准晶体概念时，纳尔逊通过在弯曲空间里周期地排列二十面体，以寻求问题的解决，因为在弯曲空间中没有对称性禁止的问题。
当我们回到实际的欧几里得世界时，需要引入旋错线。纳尔逊和他的学生萨克达（Sachdev）最近的研究表明，某些旋错线的一定排列将会显示扩展了的二十面体排列，这如同美国国家标准局小组所观察到的那样。纳尔逊在微观方面的研究，比斯坦哈特和列文的准晶体模型更进了一步。
去年，斯坦哈特和他的学生列文对潘鲁斯的铺设问题，进行了更详尽的数学分析，为了使这些准晶体能无限地排列，他们设计出了“膨胀规则”，这样，二十面体的对称性不再是区域的了，而是以完整的定向排列延伸到无限区域。
准周期性
斯坦哈特强调指出，这些准晶体晶格既不是无序的也不是真正的非周期排列。无数的不同图形是许可的，但是一旦开始排列，每一个都严格地被限制着。他将潘鲁斯图形以及在三维空间里的推广表征为准周期性，而不是非周期性。准晶格点由平行面族（或线族）相交产生，它们的相邻间距在菲伯那契（Fibonacci）顺序中的二个特征长度间交替变换。毫不奇怪，较长与较短的间距之比应为黄金分割。
因此，在每个五度对称轴的方向中，存在着非周期地但在二个给定的不可约的长度间交替变换（黄金分割是一个无理数）。在完成了这种准晶格的付里叶变换后，斯坦哈特惊奇地发现，它们在倒易晶格空间里约化为8函数系，这是晶体学工作者只能在真实的周期性晶格中得到的。然而，与真实晶体的傅里叶变换不同，真实晶体的衍射峰被有限的间隔所分开，而准晶格的倒易空间在衍射峰里变成极其稠密。但是由于有限的强度分辨率，人们不能够区分晶体和准晶体衍射图形之间的差别——除了准晶体衍射图形可以显示禁止的旋转对称性之外。国家标准局小组所观察到的衍射峰强度与斯坦哈特和列文的计算结果符合得相当好。潘鲁斯图形、准晶体及其傅里叶变换都有“自身相似”的性质，当准晶体成长时图形能在较大的范围中重复。
展 望
如果准晶体理论能够正确地描述块料Al6Mn这种新亚稳态，那么它将能解释准晶格的一般对称性质，但是，它不能唯一地确定单位晶胞，也不能详细说明晶胞中实际原子的位置。如果要做到上述二点，这就需要对原子间作用力和采取这种亚稳态的热力学解释进行详尽的分析。斯坦哈特、纳尔森和罗卡特受亚历山大和麦克塔谷1978年的理论工作的启发，业已指出，向二十面体准晶体态的相变应该是一级相变。
Al6Mn衍射图形究竟是怎样的一种点状衍射花样，这仍然是一个未解决的实验问题，目前，在几个实验室里正在进行高分辨率的衍射测量，其结果可能是衍射峰比第一次看到的更弥散，这表明键的有向排列仅仅延伸在一个有限的相关长度内。
至今，实验数据和理论都表明，在固体中存在着一种新的有序结构，它既不是玻璃也不是晶体。斯坦哈特建议，我们必须对固体的经典和量子力学重新加以考虑。晶体的良好而简单的性能来自于它的周期势，斯坦哈特指出，相应于准周期势，将会出现类似的性质，然而，这总是感到有点异乎寻常。例如，代替数目有限的电子能带间隙，将会得到无限大的能隙密度，“在两个能带间隙之间还有另一个能隙，这是准晶体自身相似性的反映。”
人们必须用准晶体理论详细地计算电子的和弹性的性质，然后与真实的材料进行比较，最后确定它在物理世界中的地位。
[Physics Today，1985年2月号]