在一张古老和宽大的沙发上，坐着一位头发已见灰白的男子，看上去五十开外。在他面前的书桌上，整齐地堆放着一大叠书稿，手中拿着一张信笺，他那深邃的目光已经离开了信纸，显得疲劳而有点暗淡，而面上还露着焦虑的神态。

他是谁？他是德国的大逻辑学家，现代数理逻辑的奠基人G. 弗雷格（1848 ~ 1925）。堆放在桌上的是他即将完成的新作《算术的基本规律》的手稿。他手中拿着的是英国青年数学家罗素给他的一封信。信上揭示了出现于集合论基础部分中的一个悖论。集合论是弗雷格的《算术的基本规律》一书的基础。如果果真集合论出了毛病，当然《规律》的立论也会成问题。此时，面对罗素诘难的弗雷格，真是束手无策、进退维谷。他的心情正如他自己后来所说：“对于一个科学家来说，再也没有比这样的事情更不幸的了，就是当他的箸作快要完成之际，发现他的大厦的基础已经崩溃，在我的论著（注：指《算术的规律》）即将问世时，罗素先生的一封信，置我于这样的一个境地之中”。无独有偶，德国数学家戴迪根当时也正在为分析数学和数论基础而著述《什么是数，其意义如何？》和弗雷格的处境相似。

为什么弗雷格要如此担忧呢？为什么罗素信中提到的问题如此严重呢？这还是得从悖论说起。

所谓悖论，它的字面意思是指荒谬的理论，有的叫它“逆论”，有的叫它“反论”。之所以用这样一个晦涩的名词，据说是为了掩盖其自相矛盾的真相。悖论是一种逻辑矛盾，其中含有一个命题，由它的肯定可推出其否定，而由它的否定又可以推出其肯定。用公式可以表示成：

p→﹁p且﹁p→p

其中P为命题，“→”为蕴涵。你接触了悖论后，也许就会发现，没有什么会比一个使人的主意忽左忽右的悖论更能引起你的兴趣了。

A. A. 弗兰克尔关于悖论的陈述是精确的，如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式。那么我们就说这个理论包含了一个悖论。当然这个陈述也显示了悖论集中地表现在肯定等价于否定的复合命题之中，然而它还指出了一个重要方面，悖论总是相对于一个理论系统而言的，相对于一个理论的看上去是合理的公理和推理规则而言的。

悖论由来已久，它的起源可以追溯到古希腊和我国先秦哲学时代。公元前六世纪克利特人伊壁孟德的说谎者悖论。大体可以这样描述：有一克利特人说：“我正在说的这句话是假的。”如果这句话是真的，可以推得这句话是假的；如果这句话是假的，又可以推得这句话是真的。历史上还可以举出很多悖论，就是近代也有不少悖论。康托在十九世纪末发明集合论时，就曾提出过最大基数悖论。所谓基数是集合的一种属性。康托把集合定义为“我们直观和思维能够确定的对象”。例如：数2，3，5，7可以组成集合；甲班的全体学生可以组成集合；自然数1，2，3，…也可组成集合。前两例为有限集，集中元素有限。后一例为无限集，集中元素无限。有限集中元素的个数就是该集的基数。无限集的基数的确定情况要复杂一点，它需要通过一一对应来解决。十把椅子上坐十个人，人和椅子都没有剩余，这是一一对应。全体自然数：1，2，3，…，n，…和全体偶数：2，4，6，…，2n，…之间可以建立一一对应，一一对应的集合之间的共有属性就是该集的基数。凡和自然数集能建立一一对应的集为可列集，可列集的基数为χ₀。

上面介绍过集合，现在再说子集合。一集合A的部分元素所组成的集合，称为A的子集。不包含任何元素的集合为空集，我们用符号Φ表示。我们规定，全集A和空集Φ总是集合A的子集。当有了这些概念后，我们就能定义幂集概念，以集合A的所有子集为元素组成的集合，称为集合A的幂集，记作PA。可以计算幂集的基数。康托定理断言：幂集PA的基数≥集A的基数。这可以通过一个实例说明。令集合A由三个元素□，△，○组成，它的幂集应由A的所有子集组成。先计算A的只含一个元素的子集：{□}，{△}，{○}，再计算含两个元素的子集：{□，△}，{□，○}，{△，○}，还有空集Φ和全集{□，△，○}，数一数共有8个子集，也就是说A的幂集PA由8个元素组成。PA的基数是8，集合A的基数为3，确实PA的基数8≥A的基数3，现在令A为世界所有事物组成的万有集，当然它的基数为最大，但是据康托定理它的基数又小于等于它的幂集的基数。这样就和A是万有集有矛盾。这就是所谓最大基数悖论。悖论由来已久，在罗素悖论之前已经发现了不少。不过仔细考察后可知，它们可以避免，对逻辑学、数学基础的研究并不带来什么大影响。试以最大基数悖论为例，一方面构成这个悖论，是在基础概念建立以后，相当后面才遇到它；另一方面我们如果不承认有最大基数，悖论就可以避免了。但是1903年罗素提出的悖论，情况就不同了，它在集合理论的基础部分刚刚展开时就出现了，实在难于避免，它直接影响到从逻辑推导出数学时，用到的最基本概念和最初的推理。在介绍悖论前，先介绍一下罗素发现悖论时的感受也是很有意思的。

1900年到1910年，怀特海和罗素把大部分时间用于撰写三大卷《数学原理》。1902年5月23日罗素写完了《数学的原则》。写作《数学原理》想解决两类问题：哲学的和数学的。罗素感到，当时在哲学方面有两种相反的发展。一种是愉快的，一种是不愉快的。愉快的是，所需的那套逻辑框架，比我所想象的要简单。不愉快的是，自亚里士多德以来，无论哪一派逻辑学家，从他们共同承认的前提，似乎总可以推出一些矛盾来。这表明某些东西是有毛病的，但是找不到纠正的办法。在1901年春，其中一个矛盾的发现_我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。并且他还说：“是在把康托的这个证明（无最大基数的证明）经过一番仔细思索之后，才发现那个矛盾的。”

罗素发现的悖论是这样的。罗素把集合分为两种，一种是不把自身作为元素的集合，称为正规集；另一种是把自身作为元素的集合，称为非正规集。现在问：正规集的全体所构成的集合是否正规集？回答说是正规集不行，说不是正规集也不行。这可以和图书馆编目录作类比。有的图书馆把所有馆藏图书都编入一本目录里，但不把这本目录书本身编进去。这相当于上面说到的正规集；有的图书馆却把馆藏书连同目录书统统编了进去，这就相当于非正规集。现在如果把世界上所有“不把自己编进去的目录书”编成一本总目录，问这本总目录该不该把自己编进去呢？编进去的话，这本总目录就不是一本“不把自己编进去的目录书”，就不该编进总目录；不编进去的话，这本总目录却成了一本“不把自己编进去的目录书”，应该编入总目录。左也不是，右也不是，总是自相矛盾。这就是罗素集合论悖论的宣观描述。

由于罗素悖论出现在集合论的最基础的开始部分，这样就给逻辑科学以至数学的基础是否可靠的问题，带来了否定性的巨大影响。因此，弗雷格、戴迪根为此发愁就不奇怪了。“塞翁失马，焉知非福”。悖论对致力于这方面工作的逻辑学家和数学家来说，既是一种压力，又是一种动力。促进他们去寻找原因和解决问题的办法。应该说罗素的研究最为值得称道，因为目前的一些解决悖论的方法，几乎都渊源于他早年提出的见解。罗素是从本质上而不是从个别技术细节上来分析悖论的。罗素剥去了悖论在数学上的技术枝节，揭示了惊人的事实：我们的逻辑直觉（即关于诸如真实、概念、存在、集合）是自相矛盾的。罗素还提出了解决问题的设想。

罗素知道集合可以通过枚举它的对象或指明它的性质两种方法定义，前者是外延式的，后者是内涵式的。罗素就是按此提出两种解决问题的方向的。一个方向是所谓“之”字形理论，或曲折理论；一个方向是限制大小理论，或量性限制理论。限制大小理论要求一个类或概念的存在所依赖的命题函项的外延不能太大，要加以限制，这可算作外延方面的理论。最能刻划它的特点是不承认万有类的存在性。后来由策麦罗及他人发展的公理集合论可以看作是这种思想的深入。“之”字形理论涉及内容与意义，后来奎因建立的系统具有这个纲要的某些本质特性。罗素本人在解决悖论问题时，特别分析了非直谓定义，在此基础上提出了类型论。比较接近于第一个方向。

悖论为逻辑学和数学的基础带来了危机。罗素当然梦寐以求想解决这个难题。为此他提出了三条衡量问题是否解决的标准。

1. 必须解决矛盾，这是绝对必要的。如果不解决矛盾、怎能称得上是解决了悖论。

2. 应该尽可能使数学的原样保持不动。尽管从逻辑上讲并不是非此不可，但是如果不具备这个条件，就很难贯彻他设想从逻辑导出数学的逻辑主义主张。

3. 悖论的解决应该符合逻辑的常识。这一条罗素说得比较含糊。

罗素经过深刻研究后认为悖论的根子在于恶性循环。也就是形成悖论的原因在于假定：一类事物可以包括本类的整体作为分子。例如：一切类的全体还可构成类。在罗素看来，这种类是一种“不合法的全体”，承认“不合法的全体”，就会导致“恶性循环”。为避免它，罗素提出“恶性循环原则”，其实是不可恶性循环原则。该原则说：没有总体能包含只能用该总体定义的、或牵涉该总体的、或预设该总体的成员，从集合的观点来看它直接隐含了这样一种思想规定，任何一个集合绝不是它自身的一个元素。我们可以称它为类型不可混淆原则。为贯彻以上原则，罗素对类作了分类（考虑到谓词的外延就是类，因此，罗素也处理了谓词的划分）：

类型0：个体

类型1：个体的类

类型2：个体的类的类

……

只有在两个适当的类型之间，才能有是否为分子的问题。也就是说属于类型1的个体的类，它的分子只能是属于类型0的个体。一般地说属于类型n的类的分子只能是属于类型n-1的类。说总体是它自身的分子就是无意义的。这样可以避免罗素提出的悖论。这就是罗素的简单类型论。为彻底贯彻“恶性循环原则”，罗素还提出了分支类型论。在同一类谓词中，还要根据在定义方法中是否涉及“所有的谓词”而加以分级。由于经典数学的形式系统并不满足恶性循环原则。例如：只能通过提及所有的实数去定义实数。因此大部分数学被排除了。

总之：罗素提出的恶性循环原则，企求避免悖论的愿望是基本达到的，即达到了他的第1标准，但是第2条标准“应尽可能使数学保持原样”却很难做到。但是，不管怎么说，罗素提出了悖论，分析研究了悖论，提出了解决悖论的原则和理论，并且也取得了相当好的成就，因此应该说，罗素是悖论学说现代研究的开拓者、奠基者。