非线性物理撷美

发布时间：04年05月28日

沈箷

美哉, 线性物理；而非线性物理, 似更不乏撷美处。迄今物理学的主要理论构筑(除20 世纪之前的诸多经典理论外, 还包括狭义相对论、量子力学等)都是线性的。线性物理理论的美学特征, 诸如简洁、清晰、对称、和谐、自洽、统一、完备等, 皆为人们所赞赏和愉悦。而非线性物理理论, 亦有明显的臻美价值；广义相对论便是精湛一例, 它甚至被誉作最典雅的“艺术杰作” 。这个“优异理论之最” , 依然具有诸线性理论的那些相当明朗的美学特征, 其至高的对称性和卓绝的完备性甚为突出。

上世纪六十年代, 以考察混沌、分形、孤立子等非线性现象为主要目标的非线性科学突兀崛起；它是一个与广义相对论等纯物理的非线性场论体系不同的交叉性学科。过了三、四十年, 这个学科已取得可观的成绩；当然, 如今还是蒸蒸日上、方兴未艾。它涉及数学、物理学、化学、生命科学、信息科学、计算技术等一系列科技领域；而其中, 尤以物质世界之物理运动形式的非线性动力学机理为探讨重点, 以致与物理学各分支学科的前沿研究结合起来, 从而构成物理学进一步拓展的重要方面。如此意义上的非线性物理, 较之线性物理或者诸如广义相对论那样的非线性理论, 探讨的是十分不同或者颇有差别的动力学规律, 并蕴含着这般那般、不相一致的美学特征。

有人将混沌理论、非线性科学的问世和兴盛看作20 世纪继相对论创立、量子力学建树之后的第三次科学革命的发轫, 这说明人们对于这个新颖学科的深入发展寄予很大的希望。然而, 非线性系统非常复杂、非线性科学还只能算是处于初创时期, 故其动力学机理乃至美学蕴含还显得玄奥莫测、朦胧不明, 纵然又是多么的瑰琦诱人。本文试从几个侧面, 探索非线性物理之玄奥、朦胧、瑰琦的美学旨意,限于篇幅, 仅撷其一二罢了。

自然定律本来是非线性的

物理学家早就意识到自然现象的非线性, 例如费米曾感叹道：“《圣经》里也没有说自然定律要表示成线性的。” 实际上, 自然界里一切物质运动都遵循着非线性形式的规律。至于线性物理理论中的线性方程等线性数学表示, 只是对客观运动在一定条件下的近似摹写。诚然, 因受实验观测手段的限制(或者人工实验附加了特定条件),某些物质系统的非线性因素未必明晰地显露(或者被强烈抑制), 那末对其若用线性理论描述, 即能达到满意的结果。但随着实验实践的发展, 任何物质系统终究要以愈来愈完整的面目呈现；因为物质之间的相互作用实际上并不单一、相当复杂, 故而物质运动往往不会是比较简单的线性形式。所以说, 线性是非线性的特例, 线性理论是相当复杂的非线性运动之比较简单的近似描述；对物质运动的描述从线性演变为非线性, 实乃理论进步之必然。

且看引力场理论。对于弱引力场可用线性的牛顿引力势方程描述；而对于强引力场, 就必须用非线性的爱因斯坦引力场方程来描述。广义相对论计及引力场的自作用, 它显然是比牛顿引力论更准确的引力场理论。其他物质场理论亦然, 凡场强甚大、凡计及场的自作用, 必定是非线性的(反过来说,这非线性当然不仅仅由自作用所引起)。例如玻恩等人曾将麦克斯韦电磁场理论发展成非线性电动力学；对于甚强电磁场而言, 此非线性理论亦比麦氏理论更为准确。麦氏理论以至线性光学用于激光系统也并不适宜, 而应代以非线性光学。激光是甚强相干光, 激光器制成后(六十年代), 发现了许多非线性光学效应；这些效应乃源于光与介质之间以至光波之间的非线性相互作用。如今, 非线性光学已趋于成熟。此外, 研究得更早的还有非线性振动、流体和固体中的非线性波动, 热和粒子的非线性输运过程以及热力学中的非线性问题等；由此而形成非线性声学乃至非线性力学, 非线性热力学等分支领域。的确, 人们对非线性物理现象的研究由来已久, 并因非线性科学日趋红火而全面地展开, 其多方面的成果构成所谓“非线性物理”的新篇章。

与线性物理中线性方程对于遵循相同线性规律的不同物质运动系统具有泛定性相仿佛, 在非线性物理中, 相同的非线性方程对于具有不同物理内容的一类非线性效应亦有普适性；孤立波方程即是最典型的例子。在图12 - 1 中画出了一个(铜)钟形孤立波；而在图12 - 2 中画出了两个孤立波的碰撞过程, 其行为就像两个粒子的碰撞那样, 故孤立波又称作孤立子。

孤立波发现的故事时有宣传：一个半多世纪之前英国的一位工程师罗素(J. S. Russell)无意中观察到, 运河中出现因船急速行驶而堆起的水团并不因船突然停止而很快地弥散, 仍以一定速度前行了颇长一段路程, 其间水团不变形、不变速。正是罗素, 把这样钟形的水堆称作孤立波(孤波)。他还在水槽里做实验, 重现了孤波及其单向运行的现象。罗素把“看到这美妙而奇特的水堆” 当作是一次“幸运的机遇”,想不到由此而引出孤波这一非线性科学的重大分支。过了半个世纪, 荷兰科学家科特维格(D. J. Kortweg)和德弗雷斯(G. de Vries)对水漕中形成的孤波以及孤波所作的单向运动建立了一个波动方程：

　　∂u/∂t-6u(∂u/∂x )+ ∂³u/∂x³=0

此方程称作KdV 方程, 是一种典型的孤波方程, 其解则就称为孤波解。方程包含三项：第一项是非定常项, 第二项是非线性项, 第三项是频散(色散)项——反映色散效应所产生的影响。科学家们认为, 孤立波是波动过程中系统内非线性作用与色散效应相互均等抗衡的产物。孤波方程还有多种型式, 非线性薛定谔方程亦有钟形(包络)孤波解, 其他一些孤波方程给出的孤波解呈扭折形、凹陷形等。

孤波(或孤子)运动的一个最悦人的特征是稳定性。我们知道, 线性波中的钟形波包由不同频率的平面波迭加而成, 但波速与频率有关(色散效应), 于是波包便会弥散、甚不稳定。然而, 诸如KdV 方程中的非线性项均衡了色散项的弥散趋势, 却原来系统内的非线性作用能使波动凝聚, 从而导致孤波稳定。所以说, 这里的非线性动力学机制, 也如耗散结构中的一样, 是一种积极因素。一个鲜明的例子是孤子光纤通讯, 即在光纤中形成光学孤立子, 便可能无需中继站而实现信号的远距离、无畸变传输, 这当然为人们所欢迎。

各种型式的孤波方程在物理学各领域都有应用, 数学上已发明求解这类方程的若干方法, 并借助于计算技术的发达, 此应用就日趋广泛(而且已十分广泛), 孤波解的物理意义也日趋明朗。孤波方程是决定论性方程, 孤波解稳定、明确,较之相应的线性方程而论, 能更准确地描述各种客观规律, 因此其实用性也就更强、理论意义亦更为深刻。非线性的孤子系统往往是可积的, 便不出现混沌, 故而孤子理论也像广义相对论一般, 依然具有线性物理理论那样的简洁(就方程表示而言)、明确(就方程的解而言)、清晰(就解的物理意义而言)、自洽和(臻于)完备(就理论而言)等美学特色, 并且更为准确,能更确切地从某些侧面反映自然界内禀的对称与和谐。非线性孤波方程体现孤子系统的不同因素相互抑制、抗衡, 达到均等对称地位, 致使这方程具有反映自然界某些内敛禀性、和谐面貌的稳定解。再者,具有孤波解的不同系统同样显示了这些系统之运动规律的统一性；这种统一性涉及自然界的各物质层次乃至各物质运动形式范畴(不限于物理运动形式)。

分形的自相似性

“分形”这个新词, 现在人们已不陌生。实际上, 物质世界的天然形态大多为分形。分形之美是最明显不过的, 搞分形制作的数学家利用电脑和图形技术创造了一个个绚烂璀璨、五彩缤纷的分形画卷,故有人声称分形可归入艺术的行列；且不论此说是否妥当, 但分形图案确实给人以强烈的美感。(题头画和文后的两幅分形图不是都很美吗?)

分形研究发端于1967 年的一篇醒目论文：“英国的海岸线有多长?”(载于美国《科学》杂志)作者是法国数学家曼德尔布罗特(B. Mandelbrot)。他指出, 海岸线的长度会随着度量标尺的标度(譬如说一千米或一米)更易而改变。随着标度减小, 海岸线的测量值增大, 而且愈来愈精确。另外, 通过对海岸线愈益精确的考察, 发现它具有自相似性。而自相似性,乃是分形最主要的特征且看图12 - 3 中的科赫曲线。将一条线段去掉中间的三分之一,并作变换：用长度为这三分之一线段长的等边三角形的两条边替代中间的三分之一线段；不断重复此变换(迭代)即得科赫曲线。倘若在等边三角形的三条边上同时反复进行这样的变换, 便得科赫雪花图案,见图12 - 4 所示。科赫曲线和科赫雪花是从一维线段出发反复进行相同变换所得的分形图线。而图12 - 5 和图12 - 6 分别称为谢尔品斯基地毯和谢尔品斯基海绵, 二者分别是在二维平面和三维空间上反复进行相同变换所得的分形体。这些分形体的自相似性十分清晰、十分严格, 故称为规则分形。几何体都有维数, 传统几何里研究的几何体之维数都为整数。而分形体的维数有几种不同的定义, 且说相似维：按其定义可算得科赫曲线、谢氏地毯、谢氏海绵的维数分别为1.2619 、1.8928 、2.7258, 都不是整数, 故谓分维。分形往往与分维联系在一起, 即分维往往作为分形的重要标志, 但并不是其本质特征, 尚有个别分形体的相似维为整数的特例。

分形体的本质特征恰还正是自相似性；并且, 分形体有无穷多相似的层次或曰嵌套(无限深的精细结构)。这种自相似性可看作不同层次(或曰不同嵌套)之间的对称性, 它亦就反映了局部与整体的一致性。此对称性与传统几何里的平移变换、转动变换的不变性不同,它实际是标度变换不变性, 故而分形的自相似性也可改称无标度性(或无标度对称性), 虽然这两个概念并不完全等同。这分形对称性是多层次的对称、是向深层次反复变换的动态对称, 因此分形美是一种特异的对称美, 它更为深沉、并不凝固不化；特别是在天然分形体里, 于简单的自相似中蕴藏着无穷的复杂内容。

天然分形是无规分形或随机分形, 其不同层次之间的相似是近似的或谓统计意义上的相似。譬如说, 天然雪花的精细结构并不像科赫雪花图案那么规则, 图12 - 7是随机科赫曲线, 用它去描摹海岸线、国境线等, 似比规则科赫曲线适宜一些。物理学里讨论的布朗运动, 乃指微粒(例如水中的花粉粒子)受周围物质(例如水)分子热运动所致的随机碰撞而无规地行走,这行走的轨迹就是一种无规分形曲线(见图12 - 8)。自然界里的分形体比比皆是, 诸如地面的海岸、山脉、河流、树木, 空中的云朵、气流, 海里的旋涡、浪花等等。分形的自相似性并不局限于形态, 结构、功能、信息等亦有不同层次间的对称构成, 动物、植物和许多无生命物质体或可看作有多方面自相似性的极复杂的分形体, 整个宇宙亦然如此。甚至事物的演变和分化亦包含分形变化模式, 分形遍布物质世界辽阔而久远的各时空区域。

树木的生长是个分形生长过程, 而在凝聚态物理等分支领域里常常研究、构建物质材料的分形生长模型, 倒与树木及其枝丫的生长机理颇有相像之处；例如通过对“金属树” 的分形生长、晶体结构的分形演化、非晶态材料的晶化过程、表面分形模型等等的探讨, 物质世界之无规分形的复杂性已在当今物理学研究中占据重要的地位。分形美的复杂蕴含伴随其特异的对称性, 更显得瑰琦诱人。

混沌中的朦胧美

汉语中的“混沌” 一词, 并非现代新创, 中国古人用它来想象盘古开天辟地之前宇宙的朦胧状态；而如今非线性科学里对混沌的认识及其理论分析尚有几分朦胧气息。朦胧往往与不明、不解联系在一起, 但人们对于复杂多变的混沌现象之朦胧, 却还带着似明似霭、若显若隐、忽彰忽幽的感受, 这是与感觉某些简单稳定的线性现象的明朗、彰显之美不甚相同的一种美感。

我们知道, 分子的热运动、布朗粒子的无规行走, 都是随机性的无规运动, 需用概率论方法予以统计描述, 量子力学里对遵循不确定性原理的微观粒子运动亦给予统计解释。混沌现象与此不同, 虽然看起来它也像是无规和随机。实际上, 混沌乃指服从决定论性的非线性规律的动力学系统在一定条件下转化成貌似随机甚至紊乱、却内禀有序化机制的特殊运动状态。“美哉物理(十一)” 说到热力学系统当特征参量λ超越其临界值λc 后进入远离平衡态的非线性非平衡区,系统所满足之非线性动力学方程的解出现逐级分岔, 最终转变成混沌(参见图11 - 4 、11 - 5)。

这里就以系统经过倍周期逐级分岔而转变成混沌的过程(见图12 - 9)为例, 说明混沌的成因、性状和转变方式。设迭代方程

x _{n +1} =f (λ, x_n)

表示所考察变量x 通过函数f 映射之迭代从第n 级变成第n +1级, λ为特征参量。随着λ增大, 出现逐级分岔：λ<λ₁, 只有一个分支, 即只有周期为1 的解；当λ≥λ₁ 时, 分岔为两个分支,解的周期为2；当λ₂ <λ<λ₃ 时,解的周期为4；……如此下去, 分岔为周期为8, 16, 32, …, 2^m ,…以至无限大的解, 即当λ>λ_∞时时, 解为非周期的, 系统则进入混沌区, 其运动随机而紊乱。混沌现象有无规律可循?且说两点。其一, 美国物理学家费根鲍姆(M. Feigenbaum)发现：以一些不同的函数进行映射和迭代, 凡经由倍周期分岔过程而转变成混沌之际, 这所有转变均受制于若干相同的普适常数, 例如

lim_m_→∞((λ_m -λ_{m -1})/(λ_m+1 -λ_m))=δ=4.66920 …

真是妙不可言！δ称为第一费根鲍姆常数。普适常数的存在表明动力学系统从规则运动转变为混沌, 实系内禀之有序化机制所使然。其二, 乍一看, 混沌区似乎模糊一片；细看看, 原来是分出层次的,模糊中还有许多大小不一的窗口,窗口里仍可窥见其规则的运动,(亦表现为倍周期分岔, 又有相应的小混沌区, 小混沌区里又有窗口……)。所以, 混沌是奇特的运动形态, 混沌区是由无数随机运动层区和规则运动层区相互嵌套、交织一起、从而组成具有无穷层次结构的复杂而朦胧的动力学畴域。这无穷层次结构是具有自相似性的(无规)分形结构, 终究蕴藏着动力学规律的确定性和有序化机制。当然, 唯非线性的动力学系统才可能出现混沌, 非线性反映了物质之间的相互作用的复杂性。非线性的哈密顿动力学系统有可积和不可积之分。可积系统, 纵然有可观的非线性因素, 但其运动(在相空间的所有区域)都表现出明显的规则性。已利用非线性场论而研究过的一些场论系统即便如此。一般而论, 不可积的哈密顿系统往往会出现混沌。系统又有保守和耗散之分。保守系统和耗散系统的混沌运动各有不同的性状, 最主要的是前者的相空间体积在运动过程中保持不变,后者不断地减小, 最后趋于零, 形成所谓的吸引子。或者说, 耗散系统的运动趋向维数比原始相空间低的极限集合——吸引子。其中有零维的不动点、一维的极限环和二维以上的环面等, 这些是平庸吸引子。而非平庸的则称作奇怪吸引子, 被看作混沌运动之主要特征的集中体现。

这里需要提一下所谓的“蝴蝶效应”, 它反映了混沌运动的一个显著特征：非线性动力学系统演化对于初始条件的高度敏感性。六十年代初, 洛仑茨(E. Lorenz)用计算机模拟气象走势的非线性进程,意外地发现：倘若初始值略有些微改变, 过了足够长时间, 其结果竟相悖悬殊(见图12-10 ) ；这恰应了“差之毫厘、失之千里” 这一句成语。于是他后来形象化地提问：一只蝴蝶在巴西动翅膀, 过了十几天, 是否会在得克萨斯州刮起一股龙卷风?“蝴蝶效应”因此而得名。人们对初始条件不可能控制得非常确定, 那末, 与初值的微小变化相对应的非线性系统演化的“随机性” 不可避免, 对其作长期预测也就做不到了。显然, 这种随机性由系统的非线性动力学机制所引起,是“内随机性” , 与外界的随机性扰动甚不相同。

再来看奇怪吸引子。就以洛仑茨的用于描述气象走势等现象的流体运动方程(称为洛仑茨方程)为例, 其(洛仑茨)吸引子颇为典型,如图12 - 11 所示, 这是三维结构的二维投影。其中, 相轨迹线绕成两个环套, 每个环套都有十分靠近的无限多层, 每层上有无限多条回线。电脑可清晰地显示这吸引子的形成、变化——长时间的变化, 无穷无尽。在变化过程中, 相轨迹线总局限在一个有限大小的区域里；但始终迅变不息, 忽儿在左环套上绕几圈, 忽儿又移到右环套上绕几圈, 忽左忽右、圈大圈小、回线形状等都没有一定的规则性, 特别是永不自我重复、即没有周期性；而且凡初值极为接近的两条相轨迹线会很快地分离(按指数形式)。因此, 这吸引子在整体上稳定、在局域上极不稳定, 表现出变幻莫测的随机性。奇怪吸引子也是具有自相似性的无规分形结构, 维数一般亦都为分数, 洛仑茨吸引子的维数为2.06 。

总之, 混沌是非线性动力学系统在特定状况下显露的内禀随机行为, 系统遵循不可积的决定论性运动方程、实现非线性函数的映射及其反复迭代, 从而其运动变化非常敏感地依赖于初始条件, 这导致其长期效应不可预测。但这长期效应的某些全局性征状却与初始条件无关, 即具有运动之相轨迹的整体稳定性。那末, 奇怪吸引子把由非线性动力学机制决定的内随机性以及整体稳定、局域非稳、随初值急遽改变的特征表现得淋漓尽致。从电脑屏上看到的洛仑茨吸引子, 宛若彩蝶之双翼, 飘忽闪烁、瞬息万变, 显得美妙而朦胧, 尚难尽测其高深。尽管有点儿捉摸不透, 但恰恰是吸引子的分形结构, 透出了非线性运动的随机性所蕴含的有序化动力学机制的信息。所以可以说,分形是从无序到有序的桥梁；亦凭借于分形结构, 混沌系统成为无序和有序的统一体。

物理学之非线性拓展的美学旨意

物理学在不断拓展：线性理论在拓展, 又在向非线性理论转化和拓展。譬如说, 促使两大支柱理论——相对论和量子论进一步结合,便涉及线性拓展和非线性拓展两个方面。而粒子物理和宇宙学的未来发展, 就是在微观和宇观两个物质层面上有待吸收相对论与量子论进一步结合的新成果以及非线性物理研究的新成就。至于广阔的宏观物质层面, 诸如凝聚态物理、非平衡态热力学、非线性光学等领域, 自组织、耗散结构、非线性、复杂性等等, 则更是其主要的发展方向。孤立子、分形、混沌等非线性角色, 成为所有这些从今天到明天的重大发展中的生力军。特别是由于非线性物理的开发, 大大拓宽了经典动力学(以及经典电动力学)的范围, 所作的非线性化改造使其获得新的无穷生命力, 以致“老树” 上开出无数奇葩异花。

如果说线性物理具有“常规”美的特征, 那末非线性物理之美或许就该认为“非常规” 的了。其实, “常规” 与“非常规” 只是相对而言, 二者并有相通之处, 在一定的条件下可相互转化。例如, 某些可积的非线性方程通过变量代换可转化成线性的；再如对于某些非线性方程, 利用线性近似方法, 即可比较满意地求解。前述孤波方程与线性动力学系统的线性方程相比, 能够准确地描绘孤子系统所遵循的确定规律, 其内敛的稳定解确切地反映了孤子系统的内禀对称性。因此可积的非线性理论, 其美学特征与线性理论的颇为相近。而分形结构的自相似性、即标度变换不变性, 作为一种特异的对称性而被揭示, 也可算得是科学美学研究的一项成就。诚然, 这种对称形式与线性物理中的诸多对称形式颇有差别。它揭示了物质系统纵深方向、无穷层次之间的相似性。然而, 这简单的对称表现却伴有各层次随机(无规)变化的复杂性；再者, 分形体本身就是一种复杂结构, 却可通过简单变换的反复迭代而形成。这种从复杂中展示简单、从无规中寻觅对称和规则的探讨方式, 已成为非线性物理的基本研究方法。非线性物理以复杂系统为主要研究对象, 但复杂性研究毕竟离不开对简单性原则的探讨。所以说, 披露非线性物理的“非常规”美学蕴含, 依然要从线性物理的方法论探讨以至“常规” 美学讨论中取得借鉴。

至于混沌, 曾被过去某物理学家喻作“科学理论之墓地” , 足见此运动方式的复杂及其理论研究的艰难。然而混沌现象被及全部物质世界, 物理学拓展所须首先面对的, 当然就非此莫属。尽管混沌貌似随机紊乱、复杂无比, 却终究有规律可循；这是混沌动力学建树的依据。混沌集无序和有序、随机和确定、复杂和简单于一体。混沌动力学系统对应之非线性运动方程未必复杂, 有时还甚为简单(例如单摆运动、一维单峰映射等)。但其长期不可预测性源于对初始条件的高度敏感性, 反映了此运动形态的无序、随机和复杂；实际上其内禀的非线性动力学规律全然确定, 其非线性动力学机制本来是有序的。只是方程中可能含有特征参量, 此乃表征系统内部以及系统与外界相互作用的多重性, 致使系统的运动以随机、无序(紊乱)的面貌出现；但在这表观面貌的后面却总是有确定有序的动力学机制在起作用, 比如一系列普适常数即是明证。人们在相空间中描绘运动的过程, 已做的研究将不同的相图分类, 发现不同的混沌系统凡属同一类的都有一样的相图, 表明它们服从相同的变化规律；尤其是吸引子, 不同的吸引子是不同类混沌系统之变化规律的集中体现。混沌之美显得幽深、活泼、玄奥、朦胧；这朦胧中有随机的变幻、多层次的复杂, 有内禀规则的简单、有序结构的稳定、还有不同系统的相似、同类过程的一致。所以说, 混沌的朦胧美蕴藏着无穷的内涵, 有待深究细察。

看来, 孤立子理论的美学特征比起线性物理理论来, 不仅是相近, 而且有所强化；它所揭示的动力学系统之内禀对称性比线性理论所讨论的内禀对称性更深刻、更典型。而分形理论扩充了对称性概念的定义, 致使对称性研究具有层次感、立体感, 更符合进化和发展的观念。物理学家往往追求理论创造的审美价值, 混沌的朦胧美甚为诱人, 或许正因为如此, 倒更增强了他们探索非线性动力学系统的复杂性的兴趣、激发了将物理学进行非线性拓展的创新热情。混沌不是理论的“墓地” , 一位非线性科学家将它比作“冰山” , 说“在这冰山下面, 埋藏着各种极其玄妙的无限复杂性结构, 如同一座曲折迂回、没有终点的迷宫, 其中有超越现实、使人神魂颠倒、内涵深邃的无数美景” 。这座“迷宫” 是现代科学新理论的发祥地, 是现代文明新进展的源泉。非线性物理在前几十年开场和红火之后, 将转向艰苦的攻坚战；它的完善和发展是一个长期的过程, 因为从“冰山” 里取宝、从“迷宫” 中撷美决非轻而易举。然而有一点毋庸置疑：艰苦奋斗换来的必定是物理学、科学、科学美学之水准的空前提高；物理学的非线性拓展, 必然伴随着科学美学旨意的升华。非线性物理、非线性科学的新世纪辉煌, 将为人们展示大自然更为真实、全面、多彩、和谐的面貌。特别是对称, 即便是最玄奥的混沌, 未来的探索也会崭露其无穷无尽的新涵义；对称, 毕竟是科学美学旨意的最亮点。