数学家们为一个著名的重要猜想出人意外的获得了证明而欢欣鼓舞。

数学中一个悬而未决的问题——这个问题已经困扰了研究者们六十多年——最近被一位年轻的德国数学家所解决，“可以毫不夸张地说，至少在数论中，这是这个世纪的定理。它回答了似乎绝对不可能回答的问题，”芝加哥大学的斯潘塞 · 布洛克（Spencer Bloch）评论道。

伍珀塔尔（Wuppertal）大学的29岁的格尔德法尔廷斯（Gerd Faltings）所得到的结果是莫德尔猜想的解决。1922年，刘易斯 · J · 莫德尔（Lewis J. Mordell）在《剑桥哲学会会报》（Proceedings of Cambridge Philosophical Society）上发表了一篇论文，文中他提出了关于二元多项式方程的有理数解个数的一个有根据的猜想。莫德尔所猜想的实质上是一大类多项式方程只有有限多个有理数解。按照布洛克的说法，法尔廷斯对这个问题的解决是如此意义重大，以至“仅是他这个结果的应用就可以写成好几部书”。

法尔廷斯告诉《科学》（Science）记者，虽然他曾认为他“不大可能”证出莫德尔猜想，但他还是出乎本人意料地获得了成功。他回忆道，这花了他十八个月的工夫，其中大部分时间都在思索与用笔在纸上写写画画。当他认为已获得一个证明时，就把这个证明寄送给少数几位数学家。反应是迅速的。“现在，我正收到非常多的反应一比我过去收到的要多得多。”法尔廷斯说。法尔廷斯的证明是一份40页的打字稿，目前正在数学界中传阅。虽然它被认为是一个容易的证明，但“容易”是相对而言的。比方说，不是代数几何方面专家的数学家，要想看懂这个证明，非得下一番苦功不可。

哈佛大学的数学家巴里 · 梅休尔（Barry Mazur）说，莫德尔猜想涉及到所谓的代数学之谜。如果你有一个多项式方程，例如y²+y=x²-x，且这个方程具有有理系数，也就是说所有系数都是整数之比，关于这个方程的有理数解，即x与y都是整数之比的解，你能说些什么呢？有这样的解吗？如果有，有多少？你能把它们找出来吗？这些解的集合有什么数学结构能使你找到这个集合并从中寻找某些特解吗？这些问题在数学中是至关重要的；梅休尔说“一大批形形色色的问题都归于此类”。

数学家根据方程所含变元的个数来对方程进行分类。仅含一个变元的方程只有有限多个有理数解。例如，方程x²-1=0就只有二个有理数解：1与－1。

但是含二个变元的方程，即所谓的代数曲线，就比较有趣了。（当方程含二个变元时，它在普通二维空间中的图像就是一条曲线。）有时候，显然它有无穷多个有理数解。例如，方程以作为它的解，这是一条有无穷多个有理点的直线。另外一些时候，根本就不清楚有多少有理数解。

为了弄清楚多项式方程的求解问题，数学家们求助于拓扑学——一门研究曲面的学问。“这似乎很奇怪。但是要做算术，你必须先做些几何”，梅休尔谈道。每一条代数曲线都有一张几何曲面与之相伴。这张曲面通常是由这个方程的所有复值解所组成。

拓扑学家根据曲面上的洞的个数来对这些曲面进行分类。一次或二次方程例如x+y=0或x²+y²=1的复值解，组成一张没有洞的曲面——就像一个球的表面。这些曲线要么没有有理数解，要么有无穷多个有理数解。而当它们有无穷多个有理数解时，你一旦找到其中一个，就可以按照一条规则系统地列出所有的有理数解。

由椭圆曲线即三次多项式的解所组成的拓扑曲面有一个洞——就像油炸圈饼的表面。例如，x²+y²=1就是这样一条曲线。“三次的情形还没有确定，”布洛克说，“椭圆曲线还没有完全被掌握。我们认为我们知道问题的答案，但是我们不能证明。”

相伴的拓扑曲面上有二个或二个以上的洞的所有曲线，都归于第三种类型。莫德尔猜想，任何这种类型的曲线都只有有限多个有理数解。法尔廷斯证明了这个猜想。而且，更一般地，他证明了这些曲线在任何给定的代数数域上也只有有限多个解。例如，

相伴曲面上至少有二个洞的各类方程一般是至少四次的方程。其中最著名的就是所谓费尔马曲线。十七世纪，法国数学家费尔马（Fermat）在一本书的页边空白处随手写下了一段注记，说他已经证明了x²+y²=1形式的方程（其中n至少为3），当n为奇数时只有二个有理数解，而当n为偶数时只有四个有理数解。但是一直没有人能够重新构造出费尔马的证明，如果他确实有一个证明的话。据在新泽西州默里山的贝尔实验室的罗纳德 · 格雷厄姆（Ronald Graham）说，数学家已经用电子计算机证实，对直至100，000的n，这个费尔马猜想都成立。但是他们不知道这个猜想在一般情况下是否成立。

费尔马曲线的相伴曲面有二个或二个以上的洞。因此，根据莫德尔猜想，它们肯定只有有限多个有理数解。当然，这并没有证明这些仅有的有理数解都是平凡解（即x与y中有一个是0——译者注），但这确实提供了比我们以前所知道的要多得多的关于费尔马方程的解的情况。

根据莫德尔猜想而肯定只有有限多个有理数解的其他方程可能更复杂些。数学家有一个公式来决定这些方程的相伴几何曲面有多少个洞。这个公式的有效程度决定于这些几何曲面的光滑程度。例如，费尔马曲线的相伴曲面就是极其光滑的。所有非奇异的四次方程的相伴曲面有二个洞。非奇异的五次方程的相伴曲面有五个洞。

在有奇点的方程的相伴曲面上有着粗糙点。为了计算这些曲面上的洞的个数，数学家首先计算出奇点的个数，并按照这些奇点的好坏程度把它们分成等级，然后从那个在曲面完全光滑情形下给出洞的个数的公式中减去一个代表这些奇点的修正项。

在证明莫德尔猜想的过程中，法尔廷斯用到了代数几何方面的大量工作，特别是用到了哈佛大学的约翰 · 塔特（John Tate）以及苏联数学家萨法里维奇、帕欣、扎金和阿拉克洛夫等人的成果。这些工作包括阿贝耳簇，即定义在数域上的高维代数空间。“苏联人证明了莫德尔猜想是关于阿贝耳簇的某些特定事实的必然结果，并用一种‘高度论’进行尝试。法尔廷斯非常清楚地知道用这个理论做些什么和怎样去做，”梅休尔说道。

虽然法尔廷斯没有发展新的技巧去解决莫德尔猜想，但数学家们对他能获得成功还是有着极其深刻的印象。“这是一项令人轰动的成果。许多人在这个问题上花了大量的时间，”格雷厄姆说。“这是一项绝妙的工作，”梅休尔说。“没有人想到用这些工具去解决这个猜想，也没有人想到有人能解决这个猜想，”布洛克说。

现在，数学家们打算详细地研究这个证明及其含义。那些有机会去研究这个证明的数学家将在秋天开设关于这个问题的课程。布洛克就将讲授这样一个课程，他说他将有许多内容要讲。“我希望能在一年内完成。这个证明看起来并不怎么难，但有关的细节问题却很多，”他说道。

[Science,1983年7月]