我在哈佛大学的研究生生活是与J. 范 · 维勒克的著名课程物理学中的群论在1954年同时开始的。其课程的纪念物——有限小群的乘法表——仍然装饰在杰弗逊实验室的演讲厅中。在接下来的四分之一世纪中这一课程不断变化，经过了很多人（包括我）的手后变成了霍华德 · 乔基教授笔下的样子。很自豪我说服了霍华德来发表他有价值的讲稿。这课程的发展变化反映了物理学研究生们数学技能的增强；反映了李群对现代理论物理来讲变得像复分析和偏微分方程一样必不可少。有限群理论——范课程的论题——现在总结性的处理在本书的前七页就完成了。

这不是一本论现代数学的书。它涉及的是相当古老的数学在很新的物理学中的应用。大部分数学概念已由M. S. 李和E-J嘉当在十九世纪建立了。大部分物理学却是近十年内发展起来的。在这里，读者不会发现因为数学所作的自我陶醉的论述。正相反，我们物理学偏执狂们只把数学视为物理学的陪衬。数学方面的发挥限制在它们能涉及到可观测物理现象的范围内。

连续群和它们么正表示的应用在理论物理学中并没有什么新东西。球谐函数，竟然是转动群的不可约表示。电子自旋——在发现时不可思议的现象——简单地说明了量子力学（不同于经典力学）能够有意义地使用转动群的双值表示。维格纳已经说明了怎样用质量和自旋标示物理学上相应的彭加勒群表示。海森堡的同位旋能够非常简单地理解为么正矩阵群对质子和中子的作用。然而，在所有这些例子中，群论尽管优美而且教学上很有用，却并非必不可少。这些基本概念不需要明显地引用李群就能够（已经）得到。

近来，群论已开始发挥主要作用。在五十年代理论物理学家们找到了一种能包括同位旋和超荷的“高对称群”。而且能将新发现的奇异粒子也包括进那种有意义的模式。其正确模型（不同地被称为“八重式”，“么正自旋”，或“味SU(3)”）是1961年由M. 盖尔曼和Y. 纽曼构想出来的。当时，它并没有得到立即和广泛的接受。一些物理学家怀疑像K介子和π介子那样不同的粒子能够有意义地认为是同一超多重模型的元素。当1964年成功地发现其所预料的粒子时，怀疑者们沉默了并认识到理论物理学家必须懂得李群。

作为粒子物理学基础知识的SU(3)群竟如此复杂曾一度困扰过物理学家们。早些时候当晶体学家们发现了与32点阵群相应的晶体结构时也有过同样的情况。正如晶体对称性最终由原子论所解释一样，SU(3)同样成功地被理解为夸克的存在。自然界毕竟没有在任何基础性的问题上都使用味SU(3)，它之所以有用仅仅反映了三种轻夸克的存在。当发现第四种即重粲夸克时，一些物理学家被数学引入了歧途。他们觉得SU(3)不错就忍不住去寻找SU(4)，以至于它们对粲粒子性质的预料远远地超过了应有的界限。霍华德 · 乔基找到了真谛，并已渗透于本书之中，这就是：“对称性是一种必须用以确定未知动力学量的工具，反过来其动力学量必须说明对称性观点的成功（或失败）。群论是一种有用的技巧，但决不能代替物理学。”

李群在粒子物理学中更为基本的应用已联系到强及弱电相互作用的非阿贝尔规范理论中最新和最成功的进展。这些相互作用起因于在3分量李群下拉格朗日量的精确不变性。这一理论似号：为可达到能量下的所有（亦可能是绝大部分）基本粒子现象提供了一套完整和正确的描述。根据3分量李群所作的对基本粒子间三种作用力的描述提示我们可根据单一的单纯李群进一步统一起来。霍华德和我想出了一个基于SU(5)的简单理论。这种理论为电荷量子化提供了一种解释——即说明了所有观测到的电荷都是同一单位的倍数。此外，它预料到所有核素最终、但可以观测到的不稳定性。流行的文献中有很多基于更大的李群所苦心构成的统一理论。于是过去提出的问题现在可以再次提出：像夸克和轻子那样不同的粒子怎么能量于同一超多重模型？为什么大自然要用像SU(5)那样复杂的群？夸克和轻子之下还将有新的结构层次吗？我们现在还回答不了这些问题，但有一点是清楚的：即对于简单漂亮的李群理论的掌握总是必需的。在将来，我们仅仅能重复哈佛大学的前辈P. W. 布里奇曼在1927年所作的述评：“无论他关于自然定律或物质结构简单性的考虑是怎样的，有这样信念的人在物理发现的道路上具有真正的优势是不会有问题的。无疑有许多简单的联系有待发现，那些坚信存在这些联系的人比那些根本不相信它们存在的人更可能会发现它们。”我想会是这样的。

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* 这是诺贝尔奖获得者、著名物理学家Sheldon L. Glashow为Howard Georgi所著《粒子物理学中的李代数》—书所写的推荐，标题为译者所加。