上帝不仅在物理学中玩骰子，而且也在纯数学中玩骰子。数学的正确性有时并不比投掷一枚完整硬币强多少。
当今，随机性概念不断困扰着物理学家，我们能预测未来的范围是什么？它取决于我们自身的局限性吗？或者在原则上说预测未来是不可能的吗？可预测性的问题在物理学上有悠久的历史，早在19世纪初，牛顿的经典确定论定律使拉普拉斯（P. S. de Laplace）认为，宇宙的未来能永远测定的。
后来量子力学出现了，这是我们理解大自然物质的基本理论。它描述极小物体，如电子和其它基本粒子，量子力学有争议的特征之一在于，它把概率和随机性放在一个基本层次上并引进物理学之中。
令人意外的是，非线性动力学的现代研究显示，连牛顿的经典物理学的核心部分都有随机性和不可预测性。去年《新科学家》杂志描述的一系列有关混沌理论的文章已经表明，随机性和不可预测性概念是怎样从一开始就看上去像一种一致的原则的。
看起来同样的原则甚至可延伸到数学之中。我能证明存在与数论有关的不可证明的定理，因为当我们提出相应的问题时，我们便可以获得相当于任意抛掷一枚硬币的结果。
我的结果一定会震惊许多19世纪的那些认为数学的正确性总是可以证明的数学家。例如，1900年，希尔伯特做了一次著名的演讲，在演讲中，他提出了23个问题，作为向新世纪的一个挑战。他的第6个问题与物理学的基本的普遍真实或公理的确立有关。这个问题中的一个要点涉及概率论。对希尔伯特来说，概率只不过是源于物理学的一门实用工具；只有当可获得的信息量受到限制时，概率才会有助于描绘现实世界。
他讨论的另一问题是他的第10个问题，这个问题涉及解所谓“丢番图方程”（diophantine equation），这方程以希腊数学家丢番吐斯（Diophantus）命名，它们是仅含整数的代数方程。希尔伯特问：“存在一个判定一个代数方程有否整数解的方法吗？”
希尔伯特几乎没有料到上述两个问题是微妙地联系的。因为希尔伯特早已有一个假设，这个假设在他看来是如此基本，以至于他在演讲中甚至没有将它作为一个问题明确表述。这就是认为每道数学题都有一个解答，对于这道题，可能我们不够聪明，或者可能我们还没有足够长的时间来做，但是，在原则上，解出它应当是可能的。希尔伯特就是这样认为的。对他来说，这是一种黑色或白色的情形。
现在看来希尔伯特的结果不可靠。事实上，在涉及概率论的希尔伯特的第6个问题与他的代数方程整数求解的第10个问题之间存在一种联系，这种联系会导致一种令人意想不到的而不是令人扫兴的结果，那就是随机性潜伏在大多数传统的纯数学——数论分支的核心之中。
很明显，简单数学题并不总会有清晰的答案，在基本数论中，包括丢番图方程的数学题能给出完全随机的并且看上去呈灰色，而不是呈黑色或白色的答案，这种答案是随机的，因为证明它的唯一方法是将每个答案假定成一个附加的独立公理。爱因斯坦惊恐地发现，上帝不仅在量子物理学及经典物理学中玩骰子，而且在纯数学中也在玩骰子。
这种使人感到意外的结论来源于何方？我们必须追溯到希尔伯特。他说当你确立一个公理的形式系统时，应该存在一个判定数学证明是正确的还是错误的机械过程，这些公理应该是相容的和完全的。如果这个公理系统是相容的，那么也就是说你不能同时证明一个结果和它的反面，如果该系统是完全的，那么你也能证明任何断言是对还是错。这样一来，一个机械过程就保证所有数学断言能机械地来判定。
有一种生动的方法可以解释这种机械的过程是如何起作用的，这就是所谓“大英博物馆算法”（British Museum algorithm）。你所做的——它不能在实际中运用，因为它需要永远的时间——就是应用数学的形式语言建立的系统，即按它们的长短和字母排列的次序查遍所有可能的证明。你可以检验哪一些证明是正确的一一即哪一些遵循规则并作为有效的被接受，原则上，如果公理的集合是相容的和完全的，那么你就能判定任何一个定理是正确的还是错误的。这个过程意味着一个数学家不再需要创造性和灵活性来证明定理，数学已经变成机械的了。
为什么数学并非是完全的
当然，数学并非是完全的。奥地利逻辑学家哥德尔和计算机之父图灵证明：既要获得数学的一个相容并完全的公理化理论，同时又要获得判定任意一个数学断言的正确与否，可证还是不可证的机械的过程是不可能的。
哥德尔是第一位设计表达在数论中的一个巧妙证明的人，这就是被称之为“不完全性定理”的证明，但我认为这个定理的图灵的表述比较基本而且容易理解。图灵用了计算机语言些指令，即一台计算机需要用它来计算出数学题的程序。他证明不存在一个机械的过程来判定任意一个程序最终是否将结束它的计算并停机。
为了证明所谓停机问题根本不能解决，我们将程序安置在图灵机上运行，该机是不带任何时间限制的数字计算机的数学理想化（该程序必须把隐含在它中间的所有数据包含在程序本身之中）。那么我们简单地问：“该程序将永远运行下去，还是在某点上说，我已经完成了，并停机？”
图灵证明了不存在给计算机任何指令集以及任何算法，它们将会判定一个程序是否将会停机。哥德尔的不完全性定理立即随之而得，因为如果不存在任何判定停机问题的机械的过程，那么也就不存在任何作为基础公理的完全集。如果存在，那么它们就会提供查遍所有可能的证明一个机械的过程来证明程序是否会停机，当然尽管它需要很长时间。
为了获得有关数学中随机性的结果，我简单地引用了图灵的结果并且只是改变了措词。我所得到的是一种数学双关语。尽管停机问题是不可解的，但是我们还是能考察一下一个任意选择的程序是否会停机的概率。我们用一种通用计算机着手进行一次思维试验。这种通用计算机被给与足够的时间，能做任何一种计算机的工作——即通用图灵机。
代替提问一种特殊程序是否会停止，我们观察了所有可能的计算机程序的集合。我们对每个计算机程序确定一个即将选定的概率。在随机程序中，信息的每一位都由投掷的一枚硬币选定，即对每一位，独立地投掷一次_因此一个包含许多位，比如N位的信息的程序，将有一个概率为2-N。现在我们能问这些程序将停机的总概率是什么？这个停机概率记为Ω，它把一个程序是否停机的图灵问题隐含在0和1之间的一个数中。若该程序永不停机，则Ω为0；若该程序总是停机，则Ω为1。
借助计算机可用二进制数表示数的相同方法，我们能够用一个0和1的序列来描绘Ω。我们能否确定这个序列中的第N个位是0还是1？换言之，我们能计算Ω吗？完全不能。实际上，我能利用被称为“算法信息理论”（algorithmic information theory）的方法证明这个0和1的序列是随机的。该理论根据是否有一种算法将数据压缩成一种较简短的形式，在一个信息或数据集中确定一个序度（degree of order）。
例如，一个描述某个数据的有规律的0和1的序列0|0|0|0|……一直连续到1000位数，可压缩在1个较短的指令‘0|重复500次’中。1个完全任意的数的序列根本不可能压缩到1个较短的程序之中，这可以说是不可能压缩到一个较短的程序之中，这可以说是不可能的算法。
我的分析证明，停机概率在算法上是随机的，它不能压缩成一个较短程序。要从一台计算机中获取此数的N位，你必须把至少长达N位的数字存入到程序之中 。Ω的N位数的每一位都是一个不可缺失的独立的数学事实，就像投掷一枚硬币一样随机。例如，Ω之中的0与1一样多。并且知道所有的偶数并不会帮助我们了解任何奇位数。
我关于停机概率是随机的结果，相当于图灵关于停机问题是不可判定的论断。这个结果在数论中给出一个随机性例子提供了一个好方法。加拿大卡尔加里大学的詹姆斯 · 琼斯（James Jones）和列宁格勒斯特克洛夫数学研究所的尤里 · 马蒂雅塞维克（Yuri Matijasevic）发现1世纪以前在法国由埃德奥德 · 卢卡斯（Edouard Lucas）证明的一个定理。这个定理提供了一种特别自然的方法，把一台通用图灵机翻译成一台通用计算机作用相同的通用丢番图方程。
我认为将它记录下来是一件趣事，因此在一台大型计算机的帮助下、我记录下了一个通用图灵机方程，它有17000个可变量，接近200页。
这个方程是被称作“指数的丢番图”（exponential diophantine）的一种类型，方程中的所有可变U和常量都是非负整数，0、1、2、3、4、5等等。它被称为‘指数的’是因为它含有自乘到一个整数次幂的数。在通常的丢番图方程中，这个幂必须是一个常量，而在这个方程中，这个幂能是一个可变量，因此除了含x3项外，还有xy项。
要把关于停机概率Ω是随机的断言转化成关于算术中解的随机性的断言，我只需要在这个长达200页的通用图灵机丢番图方程中作少量次要的改变即可。这个结果，即我的显示随机性的方程，也长达200页。该方程有一个单参数——可变量N。对于这个参数的任何具体值来说，我提出的问题是：“我的方程有有限或无限个整数解吗？”回答这个问题原来是等价于计算停机概率。这个回答在算术语言中“编译”成Ω的第N位数是0还是1。如果Ω的第N位数是0，那么对于N的那个具体值我的方程就有有限个解；如果停机概率Ω的第N位数是1，那么对于这个参数值N，此方程就心无限个解。判定方程解的个数是有限还是无限，就像Ω的第N位数是随机的一样——是一个独立的不可缺失的事实。我们从来不能得知。
在一些特殊情况下，比如说对于参数N的K值来说，要找到解的个数是有限还是无限，我们一定要把K个答案假设为K个附加的独立的公理。我们必须把K位数数据放到我们的公理系统之中，因此我们将不能向前更进一步。这是数据的K位数为不缺失的数学事实的另一种说法。
我已在纯数学——即在基本数论的分支中发现一种不可缺失的随机性的极端形式，这种形式与丢番吐斯的名字及追溯到2000年前的古希腊数学有直接关系。数学的正确性是黑色的或者是白色的，某种事情不是正确的就是错误的。我认为我的研究可使这些事情变得灰暗。数学家们正在与从事理论物理学的同行结成联盟。我认为这样并不一定会很糟。我们已经看到，在经典物理学和量子物理学中，随机性和不可预测性是基本的。我相信在纯数学的最核心部分也会发现这些概念。
［New Scientist，1990年3月24 日］