〔提要〕“计算实验”这个词好像有点似是而非。确实，有的读者会说：通常，当对某种复杂的物理现象难以作计算时才进行实验，而如果能够作计算，那么就无需进行实验了。于是，要么计算，要么实验。
这种论点一般地说是正确的，但是它的出发点是成问题的。持这种论点的人认定：对任何物理现象要么进行实验研究，要么作理论计算。遗憾的是，远非每一个所研究的物理现象都证明这种想法是正确的。可能有这样的情形：实物实验由于太复杂、费用大和有危险而无从进行，而现有的计算方法又不能以所要求的精确度描述现象。
在人们开始掌握核能的时候情况正是这样。用核燃料做实验含有剧烈爆炸的危险，而经典数学在解决当时所出现的问题时又无能为力。
本文力图较详细地阐明：经典的数学方法在研究物理现象时的不足之处，电子计算机的研制成功在这方面开辟了什么新的前景，什么是计算实验，如何利用计算实验来解决某些科技实际问题。
数学模型
唯物主义世界观的基本论点之一在于：任何自然现象在其复杂性方面都是无穷尽的，因而要在一个研究中考虑它的所有因素是不可能的。所以，在研究任何一个现象时，研究者首先要设法从中找出从他所面临问题的观点看来最本质的因素，而略去非本质的因素。
从伽利略时代起，如果一个物理现象的因素用数量来表示，就认为这种描述是可靠的。这些量中有些可以直接测量，而为了确定其余的量，就要利用表示某些物理因素之间相互关系的自然规律。
例如，根据两个重质点的初始状态，就可以由力学定律确定随后任何时刻它们的相对位置；根据物体边界上的温度分布，就可以由传热定律算出物体内部任何一点的温度。
借助于自然定律，可以把表示所研究现象的各个因素的量之间的依赖关系表述成方程的形式——通常是微分方程，也可以是积分方程、积分 - 微分方程、代数方程等等。
所得出的方程组，连同解题所需的已知数据（初始条件、边界条件、方程的系数值等等），就叫做现象的数学模型。
两只拦路虎：复杂性和不可靠性
研究者在建立某一现象的数学模型时，主要关心的事情之一是：所得到的方程有没有解？为了能用比较简单的方法来求解，能否将方程作某种简化——比如说，略去某一项？
任何这样的简化，都相当于对所研究现象的特征作某种补充规定。
例如，让我们考察石块落地的运动。促使石块运动的是地球的引力。随着石块越落越快，空气对石块运动的阻力（此阻力与石块速度的平方成正比）越来越明显。能否忽略空气的阻力而认为石块下落单单由地球引力所决定的呢？如果空气阻力与地球引力相比足够小，也就是说，如果石块从足够小的高度下落，从而还未能达到较大的速度，那么忽略空气阻力是可以的。
因此，研究者在对现象的数学模型作简化的时候，实际上也就规定了它的适用范围。由这样的数学模型得出的结论，不能推广应用到适用范围之外去。忘记了这一点，就可能导致荒谬的结论。
这使我们想起宇宙“热寂”假说的情形。这种假说认为：全宇宙总有一天要达到热平衡（就像任何占有有限体积的孤立物质总要达到热平衡一样），从而任何过程，包括生命过程在内，都将停止。这个假说的错误在于：把应用于封闭体积而得出的结论，搬到了无限的宇宙空间上，而不考虑对于宇宙演化至关紧要的物质间相互引力。
上述情况可以使人们懂得，沿着所述经典路径走的研究者，始终处在复杂性和不可靠性这两只拦路虎之间。一方面，他们所建立的模型在数学关系方面要足够简单，以便可用现有工具对它作详细研究。另一方面，在作了简化之后，所建立的模型又要不丧失“合理的内核”，即不失去问题的本质。所以，建立数学模型是特种艺术，是把理论知识、经验与直觉密切地交织在一起的艺术。
实验不大可能，计算无能为力
数学物理是从事物理现象的数学模型的研究；它是数学的一大分支。它的长处是对许许多多自然过程（诸如行星运动与流体流动，弹性变形与波的传播，热传导与扩散等等）的方程作深入的分析研究。
可是，正如已经指出过的，任何理论都有自己的适用范围。所以，基本上由数学家在上一个世纪和本世纪前半叶建立起来的经典数学物理方法，也有一定的适用范围。因此，要想以必要的精确度来求解实际中提出的越来越复杂的问题，将会越来越经常地导致现有方法无法克服的困难。
如果无法计算为了解某种现象所必需的量及其相互关系，那就只有用实验直接把它们测量出来。可是在我们这个时代，现实生活里往往提出这样一些问题，对这些问题进行实验研究非常困难，有时甚至有一定的危险。与核能问题一样，这里可以举出其复杂性同核能问题相仿的开发宇宙空间的问题。从生态学观点看来，控制气候的实验是冒险的，在社会实验方面谨慎是必要的，针对人类健康的实验是禁止的等等。
在上述诸情况下，唯一可做的事情是：建立这样一些工具和方法，它们可以用来以任何所要求的精确度对所研究现象进行计算。
所述的工具就是电子计算机，而所述的方法就是计算数学，或者也称作数值方法。
应该指出，数值方法在出现电子计算机之前早就存在并获得应用——为了计算物理现象或者在设计结构时就用过数值方法。可是，为了借助于它达到令人满意的精确度，要是用手工或者用机械式计算机来进行计算，就要花许多时间。而在可接受的期限内，只能得出对现象历程和对未来机器性能的初步判断。
热传导 · 微分方程
设想在你手中有一根长的金属轮辐条。你拿着它的一端，而把另一端放在煤气炉的火焰中。经过不长一段时间就必须中止实验：金属是导热的，热量从受热的一端沿轮辐条传播，把拿在你手中的另一端加热到手忍受不了的温度。
我们用数学来描述这一个最简单的物理实验。我们来列出热量沿杆件（在数学物理中把类似于轮辐条这样的物体称作杆件）传播的方程。设想将整个杆件沿长度分成大量小块。物理学基本定律 - 能量守恒定律告诉我们：在一定时间间隔内每一小块中热量的变化，取决于从相邻小块流入所考虑的小块或从后者流向前者的热量——也就是取决于通常所说的通过两端面的热流差（为简单起见，我们略去了传给轮辐条周围的空气的热量）。
这样，我们就得到了简单的代数方程，出现在方程中的量有：通过小块两端面的热流差，相应于两个时刻的热量差，该两时刻的时间值之差，小块的长度（即其左、右两端的坐标之差）。
物理学上的分析到此为止，由此开始数学上的分析。将所得方程加以变换，使得其中出现的是上述诸差的比值，并且使得未知函数（热量、热流）值的差放在比式的分子上，而时间值的差和杆坐标值的差放在分母上，也就是把未知函数自变量的差放在分母上。
然后使所有的差趋近于零，于是方程中的比值都为其极限值所取代，此种极限值称为导数。包含有未知函数的导数的方程就称为微分方程。
在上述例子中，通过所述的步骤，最后得出所谓热传导方程。它描述传热杆件的加热与冷却。
然而，这样建立起来的热传导方程，只是人们所说的一级近似。我们略去了流失到空间中去的热量，可是要知道，这有时却是主要的（比如说，如果我们考虑的不是轮辐条，而是散热器）。物质的传热性质可能与温度有关（在计算等离子体热核反应堆中的热过程时，这种情况起着决定性的作用）。
是否需要考虑在一级近似中忽略掉的某些因素，从而对现象的数学模型加以修正，要看研究的目的和对精确度的要求而定。
热传导 · 差分格式
现在来讲数值方法。假定我们不是对一般的热传导方程感兴趣，而是要解决关于加热杆件的具体问题，并且把结果用数字表示出来，实践中就是这样要求的。
我们不打算重复前面的讨论，而直接从考虑杆件的一小块受热时得出的、对于小块中的热量和通过其两端面的热流的代数方程出发。杆件被分成多少小块，就能写出多少个这样的方程。这些方程是互相“牵连的”——要知道从一块中流出的热流要流入相邻的小块。这样，出现在我们面前的不是一些孤立的方程，而是联立的代数方程组。可以用传统的代数方法对它进行求解。
当然，解出了这样的方程组，我们只是在有限个点上，并且在一些特定的时刻确定了温度。
点越多，也就是我们把杆分割得越小，通常所得到的近似解就越精确。可是与此同时，所要求解的方程组中的方程数目也增多。正是在那个时候，必须要用电子计算机。但是，任何电子计算机，即使是非常先进的电子计算机，其功能也是有限的。致使杆件所分成的小块长度不能无限止地小，而要保持有限的长度。这就是把上述方法称作有限差分法的由来。
用来确定未知函数值的各自变量值的全体被称为差分网格（在这里所举的杆件例子中，差分网格由杆的分点和计算杆的状态时所取的各时刻确定）。用来按有限差分法计算现象的代数方程组，就称为差分格式。
在上述杆件的具体例子中，我们在说明差分格式的概念时，为直观起见，直接从现象本身出发来进行推导。这样做可能使复杂的概念变得比较明显，然而，如果以为在实践中就是这样建立差分格式的，那就错了。
为了说明建立差分格式的方法，我们本应采用热传导微分方程，并指明如何由它推导出求解杆件受热问题的差分方程组。在这之后只须说：在实践中，为了建立计算某种现象的差分格式，研究者不是从现象本身出发，而是从它的数学模型出发的。
计算数学与经典数学
我们要对上面所说的作一重要注释。当我们设想把杆分成小块时，细心的读者或许已经暗自注意到，将杆剖分成小块可以按多种多样的方式进行。换句话说，获取差分网格的方法远远不是唯一的，解某种问题的差分格式尤其如此。
而如果差分格式很多，那么其中就有从某种观点看来是最好的，例如，为了得出给定精确度的结果所需要的计算工作量最小的那种。分析和比较各种差分格式，从中找出最适合于某种目的的格式，这种本领是一大艺术。这里，必须要有数值方法的理论知识，以及在原有理论不合用的情况下求助于物理考虑的本领，这时需要用适当的、启发式的方式和一般原理。
当代的计算数学就是处理这些原理的，根据这些原理成功地发展出数值方法的理论。
不过，在强调计算数学特点的时候，如果我们孤立地看待它，甚至把它同数学的其他分支对立起来，那就错了。在数值方法理论中采用了线性代数、泛函分析的成果——一句话，采用了整个经典的“纯粹”数学的成就。同样，“纯粹”数学也要依靠与计算数学结合而丰富、提高。例如，迫切需要解决的物理问题的数值解法，促进了对双曲型方程、带有间断系数的抛物型和椭圆型方程、非线性方程的新研究。
计算实验
现在我们来考虑行之有效的数值方法，看看如何利用数值方法来计算某种物理现象。
就像在经典处理方法中那样，一切要从建立现象的数学模型开始，也就是从考虑哪些因素要在模型中体现出来，哪些因素忽略不计这个问题入手，这里，决定性的判断要由物理学家来作出。数学家则力求建立最便于在电子计算机上进行计算的方程。
建立数学模型涉及不少问题。所列出的描述现象的方程组从数学观点看来是否适定？它有没有解？如果有，那么解是否唯一？对于某些特殊情形上述方程组是否有精确的分析解？（最后那种情形非常重要：求出上述特殊情形下的数值解，并与分析解的结果相比较，就可以判断计算方法的精确程度。）
对于所提出的问题要编制出解题的算法，即一系列算术的和逻辑的运算，它们表现为所谓电子计算机的程序。计算就是按此程序进行的。
如果所研究现象的某种特例可以用实验来进行研究，那么对那种特例的计算就特别有价值。将计算结果同实验数据加以比较，研究者就可以判断所建立数学模型的可靠性，并估价模型的适用范围。这时，可能发现模型不够精确或者不够完全，而应对它加以改进和补充，把原先不恰当地撇开的因素补充到模型中去。也可能发现模型过于复杂，并且可以利用比较简单的模型得出同样结果。所有这一切都有助于建立最好的模型。
可是，总要选定一种现象的数学模型。通过改变问题的各个参数（边界条件、初始条件、方程的系数值等等），就可以在所采用模型的范围内对物理过程作详细的研究：揭示基本规律性，估计各种因素的影响——一句话，搜集与物理实验过程中同样丰富的资料。
就事情的本质而言，这种工作非常接近于实验，所不同的只是：按规定程序工作的电子计算机代替了实验设备，现象的数学模型代替了物理现象本身。
这就是为什么把按上述方式计算物理现象称作计算实验（或者数值实验，或者数学实验）的原因。
计算实验的优点
同实物实验相比较，计算实验的作用是很大的。
在用物理模型做实验时，在准备实验和进行实验方面要花费不少的时间和经费，而且对于每一个特定的实验，都要配置各自的测量仪器和拟定各自的测量方法。万一发现原有的设备不能足够完满地用来研究所研究现象的某一方面，就不得不建造新设备。再说，事先不可能查明所有的重要细节，就这样使处理问题变得更加复杂：从实验模型的原始设计到最后定型，中间要经过很多环节。
计算实验则比较省钱、迅速、简单和容易控制。去从事计算实验也不太困难。用计算实验可以模拟实验室中还不可能做到的条件。
如果说用来研究物理现象的经典数学方法对于大多现象只能定性地描述，而能精确解出的只是个别问题，那么，计算实验为求解大量的复杂问题、工程结构的最优计算、有科学根据地拟订研究方案开辟了道路。
应当指出，计算实验还有一个方面优于实物实验。也就是：尽管当代的物理和技术问题是五花八门的，但是它们的数学描述却归结为有限数目的方程（或者更确切地说，有限几种方程类型）。例如，扩散、热传导、磁化诸过程，形式上都由同一些方程来描述。受扭转的弹性梁的应力状态、流体活动、电介质中电场的分布，也由同样的方程来描述。所不同的只是出现在这些方程中的量的物理意义。
所以，一些问题的数值解法容易转用来解另一些问题。而适用于研究一些物理现象的实验设备，却不一定能那么轻易地转用来研究另一些物理现象。
当然，计算实验也有它的不足之处。最主要的不足之处在于：计算结果的适用范围受所采用数学模型的范围的限制；模型是建立在所研究物理规律的基础上的，而这些物理规律是用实验揭示出来的、这就是计算实验不论什么时候都不能排除实物实验的原因。出路在于两者合理地结合。
向“激光热核聚变”发展
现在我们举例说明计算实验在解决科学技术实际问题方面的作用。
当前谈论很多的、从根本上解决能源问题的办法之一，就是热核聚变。最适用于热核聚变的“燃料”是氢的重同位素——氘和氚——的混合物。为使热核反应得以开始，必须把氘氚混合物加热到几亿度。要想在实验室里实现这样的条件遇到了一大堆技术上的困难。
光量子发生器——激光器的研制成功，为研究者开辟了通往朝思暮想的目标的道路。产生了这样的想法：把激光聚焦在不大的热核靶（由氘氚制成的、半径的数量级为0.1毫米的小球）上，在很短的时间（10-9 ~ 10-10秒）内把相当大的能量“注入”靶中。在激光辐射的能量转变成熟之后，在靶中便会造成高温，而在这么短的时间内惯性不允许靶物质有明显的飞散。所有这一切，可以保证热核燃料的“点火”条件。
可惜现有激光器的功率还不足以用来在实验室里实现激光热核聚变。
然而，今天科学家们已经做了实验，把激光投射到靶上，仔细观察热核微爆炸时进行的过程，记录下物质的压缩和稀疏，测量温度，确定系统的效率，等等。在所获数据的基础上，挑选出具有最优特性——能量、脉冲持续时间、辐射频率——的激光器。诚然，这些实验不是用实际物质进行，而是用数，用描述“激光热核聚变”的方程进行。这就是计算实验。
电子计算机——发现的好助手
苏联科学院凯尔迪什应用数学研究所的研究人员，采用此法发现了新的物理效应一T层（热层）。
所发现效应的本质在于：在同磁场相互作用的等离子体中，在一定条件下可以产生一些温度较高的区域。在这些区域——T层（热层）——中，集中着加热等离子体和维持高温的电流。
T层效应在各种装置中都可能加以利用，作为这些装置工作基础的是磁流体动力学原理。我们举磁流体动力发电机作为例子。它的最简单布局是这样的：将等离子体“泵”过磁场。热的等离子体是导体，所以当它切割磁力线时，等离子体中便产生电流。等离子体的热能直接转化为电能，而用不着像涡轮发电机中的涡轮那样的中间阶段；而如果涉及中间阶段的话，不可避免地要损失能量，减小效率。
可是，制造磁流体发电机遇到了严重的矛盾。一方面，等离子体的温度要尽可能高——只有在这种情况下才能保证等离子体与磁场强烈相互作用，从而保证高效率。另一方面，在磁流体发电机中等离子又要足够的冷，否则无论哪一种金属，就连熔点最高的金属都经不住同等离子体接触，一接触它的结构就会破坏。
正是在这个情况下，T层效应可以起作用。设想进入磁流体发电机的不是炽热的等离子体流，而是“填满”狭窄高温T层的较冷气体。T层——电流就在其中产生——快速地通过发电装置而来不及显著加热通道。同时，气体冷“夹层”的能量又不白白地失掉——将T层推过磁场时，T层做了有效功，而此功进而转化为电。
T层是借助于计算实验而发现的。曾经以很高精确度描述了一种从前不知道的效应应当发生的条件。而可能揭示此效应的物理实验，由于太复杂当时还未能安排。因此T层的发现曾经引起不同意见的论争，引起从事等离子体研究的某些学者的怀疑——情况真是太特殊了：物理效应竟为数学家所发现。
然而，由数学家得到了新效应的精确描述，物理学家承担了用实验找出它的任务。取得了成功。在莫斯科等三个不同科学集体用不同的装置相互独立地记录到了T层。这只是计算实验在物理学中成功地应用的许多例子中的一个。
[Hαукα u Жuэнь 1979年2期27 ~ 32页]