我们生活在科技革命时代，并且已经是这样地习惯于这一说法，以致都很少去考虑它们的含又。经常有这样一些词组，它们牢固地结合成某种“文字结构”，作为一个整体被认识，这种整体首先引起的并不是思考，而是联想和感觉。这种结构常常带有质的色彩，并以“加号”或“减号”作为标志。有时，这种感觉的估价在时间进程中又会向对立面转化。比如，“向大自然开战”这一结构，过去显然是标上“加号”的。今天，对大自然的气势汹汹的态度已不再时髦了，越来越风行的结构是“环境保护”。时代在变化，重点也将重新配置。各种各样术语和概念的感情色彩是自然形成的，不能全盘地把科学和技术同感觉和意图分拆开来，并置于人造的、情感中立的环境中去。但有时能想一想，在那些习惯的结构下到底隐藏着些什么，把组成这些结构的词“揭开来”，考虑一下每个术语的起源及其含义，也还是不无益处的。

在这种情况下，严密而确切的定义也帮不了多少忙，几年前，当“机器能否思维”的问题引起热烈讨论时，很多人感到，争论的原因在于概念不够明确。认为，只要人们能很好地确定：什么是“机器”，“思维”又意味着什么，那么一切就都会很清楚了。但是在这里，事情完全不在于定义。即使是谈到那些众所周知的常用概念时，准确的文字表达也无济于事。一般说来，概念的生动内容通常总要比它被压缩了的文字定义来得更加广泛和更加丰富，因为生动的内容并不是靠定义，而是由于人们的社会生活和实践活动的全部经验、所有的联想、形象、类推乃至与某一物体和现象相连的情感体系所形成的。可以简括地将这种体系称为概念的“联想基础”。

我们不仅生活在科技革命时代，而且同它息息相关，它从各个方面向我们渗透，向我们包围，我们随时都感觉到它的恩赐和灾祸。为什么我们正是把今天的时代称为“科技革命”的时代呢？是因为近数十年来技术的“前所未闻的”发展吗？是因为科学在今天给我们带来的巨大作用吗？是的，事情正在于此。但是，技术在每一历史阶段创造出“前所未闻的”东西时，总是要不断发展的。对于人来说，当代的科学和技术总是他思维和创造的最高成就。我们称之为“科技革命”的那个时期之所以区别于以前的一切时期，并不在于技术的强大与完善，不在于科学的威力，而在于重点的转移。在我们时代，首要的任务不是建立愈来愈新的技术，而是理智的问题。要管理的不仅是机器，而且还有人和巨大人机系统。问题在于：技术和工艺的变化是这样的快，以至于来不及形成有经验的、善于明智地管理这种技术并使它起作用的人。过去，这种本领是慢慢获得，并且这样的习惯已经牢固地形成，并由父亲传给了儿子，由老师传给了学生。而现在，传统简直来不及形成。在人的一生中，周围的环境、要求和习惯却不止一次地发生着变化。

人类获得了巨大的可能性，同时也面临着巨大的危险。_为经历了“试验和犯错误”方法的旧世界，在我们时代已不适用了，进行“试验”的时间太少，“错误”又显得太灾难性了。科技革命，这是应该在科学的基础上，而不是直觉地作出重大决定的时代。因此，数学方法在一切领域中蓬勃增长作为我们时代的标志，绝不是偶然的。人们不再在现实对象中“试验和犯错误”，而代之以数学模拟来解决。应用数学正是为此而服务的。

我们并不想给“应用数学”概念本身下定义，还是让它留在“联想基础”的薄雾之中吧！但是，很多人却对这一术语的存在权利提出异议，认为用来解决实际任务的某种数学分支是自然而然的，但绝不会从“纯粹数学”变为“应用数学”。这种说法是什么意思呢？当然，“应用数学”的专门对象是没有的。但是，毫无疑问地存在着“应用数学家”——正致力于用数学方法来解决那些并非在数学本身内，而是在现实生活中产生的任务的人们。这些人，有时是自然的、有时则是有意识地形成应用数学的思想和独特的方法论，也可以说是哲学。数学家在着手解决具体的实际任务时，不管乐意还是不乐意，总应该改变自己的措施、出发点以及评论和推理的方法，否则他简直是寸步难行。

我们生活在“数学世纪”已成为老生常谈，数学方法愈来愈广泛地运用于实际，使用电子计算机的演算法，已真正进入生产力的行列。今天的技术、组织和计划，离开数学都是不可思议的。

过去，数学乃是抽象性和绝对性的标志，认为除了解平方根以外，就再也无事可做了。

众所周知，今天由人“解平方根”的功能已经被解除，计算机每秒钟就能解出千百万道算题。然而，解平方根的心理还未完全消失，还不时地听到一些坚定的主张，似乎在中学和大学里数学教学的主要任务是教会人们逻辑思维。当然，习惯于逻辑思维是件好事，但是数学家还有其他一些任务，这就是积极干预生活、理智地组织生产程序和其它程序。生活不断地要求数学家回答这样一个问题：在这样或那样场合下，在这些或那些情况下，应该怎样做？为了使他的荣誉事业不至于脱离这些要求而陷入抽象的漩涡，而是尽量去满足这些要求，这就需要进行专门的练习，善于把提出来的任务研究清楚，有时还必须抛弃数学的严格性，而采取一些理由并不完全充分、但已被实践证明了的措施。对于应用数学来说，其特征是：没有明确规定的概念，而是一种“冲毁了的”概念；它的范畴既不是纯定性的，又不是纯定量的；借助于称之为“机器试验”的数字计算来检验理论。现代应用数学所采用的手段——各种各样的“评估”、“启发式”方法等等，是这样不顾情面地跟习惯上的正统方法分道扬镳，以至于引起了“严密派”职业数学家们的某种心灵创伤。当然，认为所有的这种“邪说”都超出了数学的范围，这是很容易的，但是光声明不容许这种手段，但又不提供任何替代方法，这并非一条好出路。许多任务根本不是在严密水平上加以解决的，但是它们必须得到解决，生活是不愿等待的。这就不得不采用今天所容许的手段，其中包括那样一些做法，俗话说，我们的前辈数学家如果知道这些做法的话，他们在棺材里也要翻个身的。

看来，数学作用范围及其应用面的扩大，导致了对数学价值的全面歪曲。今天它正在降临所有的战线，进入一切知识领域，不单是传统的领域——物理、力学、技术，而且几乎所有的科学——经济学、社会学、心理学、语言学、生物学、医学等等，都需要数学方法。今天，很难列举出一门不使用数学的科学，如果说还有这样一门科学的话，十分可能是它将遭到不幸。到处都在建立数学模型，采用数学方法分析计划和试验成果。数学已开始从事那些有史以来一直是在人文科学水平上进行研究的问题，比如冲突情势、等级关系、友谊、协调、威信等等。正在出现这样一些奇异的科学，如“艺术计量学”、“未来学”、 “信息学”等等。数学方法已经较早地用于对文学风格和诗论的研究。总之，数学连同自己的资料、术语和方法学一起到处渗透。因此，在所谓的“精密”科学与“人文”科学之间的界限正在被冲平，而且变得几乎觉察不出。

实际上，“精密”科学具有哪些传统的特征呢？这就是：提出任务的明晰性，结论的定量性，推论的形式逻辑过程，对明确术语的使用，数学资料的广泛运用以及某种意义上结论的“无可争议性”。“人文”科学的传统特征则是另外一些：研究结构的文字方式，广泛运用类推和推论，利用一些还未形成准确内容的“含糊不清”的术语，科学的辩论和争论，诉诸于感情和想象。

现在在我们面前，这种传统的对立正在崩溃。精密科学与人文科学之间的界限正在消除。这两类科学正在相互渗透而相互丰富，但是这种相互作用，经常（太经常了！）被片面地看作为一切知识领域里的无往而不胜的数学化。数学连同它的演绎法体系、公里、形式资料，都被看作为其他一切科学必须向它看齐的某种思想的样板。从数学家方面来看，这样一种以征服者姿态对待其他科学的立场也并不少见：等着吧，看我们就要收拾你们了，只是到目前为止还没有空。这样的“数学家征服者”，同意把任何—门科学看作为科学，只是看这门科学用公式所装备的程度，其他一切都是空话，是“空气的振动”。

没有什么能比这种立场显得更为有害和更加徒劳无益了。强制性的数学化无论什么时候也不会带来益处，只有当某一门科学为了解决自己的任务，自己转向数学的时候，这种出自本身发展需要的数学化才是好的。在这种情况下，所发生的并不是单方面的，而是两组科学和两种方法学的相互渗透。数学在向它先前陌生的部门渗透时，自己也不可避免地发生变化，变得不那么形式化了，好像正在“人格化”，按其特征来说，在某种程度上正在向人文科学靠近。

实际上，我们问一问自己，精密科学和人文科学两种方法论之间的差别是因为什么而造成的呢？为什么数学资料很早以前就开始应用于精密科学，而只是在不久以前，才作为一种辅助依据被应用于人文科学呢？难道是因为从事人文科学的人比从事精密科学的人“愚笨”吗？不，不是的；实在是因为人文科学研究的对象比起精密科学所研究的要复杂得多，它们受形式主义的影响也要困难得多，假如有这种可能的话。对于任何一门人文科学来说，它所赖以存在的原因以及它'所参加的联系范围非常之广泛。从事研究的文字方法，不管多么离奇，总还是比形式逻辑的方法显得更精确。

但是在一系列情况下以及在这里，总还是数学模型在帮忙。在精密科学与人文科学的边缘上，存在着一系列以数学模拟作为起码生活资料的科学，在我们时代，按其范围、价值和可能后果都超越了过去的郞些宏伟措施，正在计划并实施着。强大的技术、劳动力和物质资源正在起作用。对这些措施必须进行有理智的管理，与以往任何时候相比，那些专横的、“唯意志的”决定今天已经再也不能容许了。过去的糊涂人是有害的，科技革命时代的糊涂人则是可怕的。

为了避免计算错误以及由此产生的严重后果，必须发展科学的组织管理方法。管理技术装备的科学，即所谓自动调节理论，早就存在了，并且毫无疑问，它是属于精密科学一家。然而，那些不仅包括技术装备，而且包括人的集体、联系手段、信息和训练的复杂体系的管理问题，又属于哪一家呢？属精密科学还是属人文科学呢？既不属这一家也不属那一家，但确切一点说，既属这一家也属那一家。在这些领域里，行将到来的大规模数字模拟演算的初步“失败”，并不是没有必要，而正是具有一种严肃的必要性。这实际上是避免错误或者至少是使错误缩小到最小程度的唯一办法。

但是，为了使数学方法在非传统领域里成为当之无愧的研究武器，其本身也必须完全改变。当应用数学在进入对它来说乃是新领域的时候，应该从这些领域的传统方法中借用某些东西，进行改造，制定出更加新的灵活的策略，获得新的思想。当然，这一切在我们眼前正在进行，不过并非是时时、处处，也并非是对任何人都显而易见的。

“传统的”数学研究是按照这样一种公式进行的：确切地提出问题并形成假设，然后借助于完善而精确的形式变换来解决所提出的问题。假如在这些变换中不犯错误，那么，其结果就认为是可信的。数学好像扮演了执行一个“不知名定货人”要求的角色，这个“不知名定货人”也正是这样来提出任务的。然后，这种解答就像某种“备用品”一样被搁在一旁，等待着，也许某人会需要它。

而应用数学则具有另一种特征：数学模型并不是“随便”形成的，而是与需要解决的具体实际任务相应的。对它来说，正是订货人和执行人“个人联合”的典型。执行者不可能把优选的准则和可能犯的错误撇在一旁，而被吸引来解决实际问题的数学家不仅一定必须参加任务的解决，而且要参加任务的提出。一句话，应用数学不应该成为谁都不需要的“游手好闲的人”。

对实际需要的周到态度，以及深入了解详细现状的准备，将真正的应用数学家与应用中的“游戏者”加以区别。实际上，数学家从需要帮助的实践家那里所得到的是什么形式的任务呢？常常是一种口头的、不确切的描述。譬如说，一个在厂里工作的工程师去求教于数学家。在生产过程中出现了一些必须消除的障碍和“薄弱环节”。如何支配现有的资源？拉起什么样的“小绳子”呢？实际工作者此刻犹如一个自己也茫然无措的病人，带着一些模糊不定的抱怨来找数学家。这是可以理解的，难道我们能要求一个病人去看医生时也带着已经准备好的诊断吗？而传统派的纯粹数学家常常是要求实际工作者预先提出现成的、确切的任务，他们说：我的事情不是提出任务，而是解决已经提出的任务。应用数学家不仅应该善于解决问题，而且应该善于提出问题，难怪人们说，数学家嘴中如能说出任务，这就意味着一大半的任务已经解决了。

应用数学家应该学会在现实状况下分清哪些是主要的，并将其与附属的、次要的东西区别开来，从现实状况的躯体中分离出数学骨骼，从实际工作者那里弄清他本身需要什么，有时实际工作者自己也会说出他的需要的，在与他建立经常的行动上的联系时，建立数学模拟，并根据它来进行计算，亲自参加分析和介绍所得到的资料。不要懒于详细地认识某一部门的实情，应清晰地考虑一系列问题：发生了什么事？它又是怎样发生的？在哪里发生的？为什么会发生？一个人假如不准备经常地深入现实过程的细节，他是不可能，也是不应该从事应用数学的。说到这里，倒想起了古爱尔兰的一句谚语：“假如你所拥有的颅骨像一个鸡蛋壳的话，那么你就不必到都柏林博览会去了”。

与传统数学相比，现代应用数学还有一个实质性的特征，就是根据数学模型进行第一轮计算以后，得再次进行数学模拟。计算某些对结果影响不大的参数可能是多余的，相反，某些重要的数据倒没有考虑进去。在对计算结果进行讨论的过程中，可能会出现新的、未曾预料到的观点和对问题的新态度。对数学模型进行这种方式的纠正，也是现代应用数学的一个特色。同时，这样一种模型争论也往往是富有成果的。当各种模型所得出的结论相互接近时，这正是它们客观性的有力证明。假如根据各种模型所得的结论相互矛盾，就应该弄清分歧的原因，以获得所短缺的信息。这样的争论特别能加深对现象的理解。过去数学所嫉妒的“争论产生真理”的论题在其应用分支里充分表现了自己的力量。

在最终选择决策时、数学并不能代替真正的人的智慧。实际上，数学只能运用“多”、“少”、“等于”的精确概念，但不能运用人的思维所特有的“可以接受的”、“实际上等值的”、“喜欢——不喜欢”等含糊不清的概念。看来，并非所有的“好——坏”都能归结为“多——少”。人在选择决策时，并不过多地陈述详情，只扫视一下整个情势，就选定了接受方案。而数学呢？在类似场合下，它的职能并不能提出最后的决策，而是帮助人们选择它，为此，用富于表达和易于应用的形式供给人们必要的信息，显示出每一个方案会引起怎样的后果以及哪些方案是绝对不适宜的。这种数学模拟常常能代替人所缺少的经验，特别是指那些首次进行的独一无二的措施。

应用数学与传统数学还有一个重要区别。在传统数学中，一旦提出任务和所有必需的假设以后，就进行一切数学变换和最精确的计算。而应用数学正相反，其特点是要求所有的研究因素都具有相等的坚固性。假如我们没有掌握计算所必需的原始资料或者它们有着明显的误差，那么运用复杂而精细的数学方法是没有意义的。在着手计算时，总必须问问自己，从哪里才能得到原始数据？它们的精确度如何？假如根据某一模型的计算需要了解在最近将来还不可能得到的参数和函数，那么就应该放弃这种模型，而代之以其他模型，哪怕不及它准确，但依靠了可得到的信息。

顺便说一说在数学模型中被看作为“已知数”的信息问题。这正是那些以“应用的”角色自诩，而实质不过是抽象练习的数学作业的一大弱点。研究还是从传统的方式开始，“让任务提出来吧…”并且列举那些以“已知数”为前提的数据。这些数据是从哪儿知道的呢？精确性如何？甚至连这样的问题都未提出，只要知道就行了。

这样，就会形成别无他称的所谓“信息畸形”的模型。就以冲突情势的传统模式——成对对抗的游戏为例吧：假设，游戏的每一方都确切了解对方的全部战略，只是不知道在某一具体场合对方将选用其中的哪一种。无疑，就需要一种精细的数学理论，它可以告诉双方，在怎样的比例下，其中的一方必须采用自己的战略以获得最大的收益。但是我们要问，我们从哪里知道这一整套可能的战略呢？在实践中，这几乎是没有的。一般地说，冲突情势中的明智行为在于正好能超出对方已知战略的范围，而不是在巧妙找到的比例下将它们打乱。这不正是许多人起初狂热地推崇的游戏模型的现实应用显得相对差的原因吗？

忽视作为研究基础的信息源，乃是许多运用概率论的作业的典型现象。一辑地说，在课题中出现的偶然因素的分布定律，必须以已知数为前提，但对它们如何和从哪里才能得到的问题则完全隐讳不提。概率论似乎成了可以创造奇迹的“魔术棒”；从完全的无知中制造出知识。但事实上，它只不过是帮助从一些现象（可以观察到的）的知识中得到另外一些现象（不能观察到的）的结论。当具备必要的统计信息时，采用概率论是可能的，也是应该的。在我们不具备这种信息的情况下，事情就非如此。一般地说，不应忘记，缺乏信息对研究人员来说并不是一个优点，而是一种不幸，尽管他有可能在这里靠极其精细的方法来露一手。合理地提出的任务，解决起来也相对简单。从“没有健全理性的数学”和“没有数学的健全理性”这两种极端的情况来看，总还是以第一种情况为佳。当然，最好的是数学和健全的理性携手并进，互相支援，互为检验，但这是远非能经常做到的，因为数学资料具有某种催眠的属性，所以研究人员往往总是无条件地相信自己的计算，也更相信：运用的资料愈是“过高堆砌”，那么不管是他自己还是机器所耗费的时间就愈是要多。

在用公式语言写成的密集信息流的情况下，在目前“时髦”的数学中很难区别真正的科学和伪科学。常常把数学方法的运用理解为纯粹的和绝对的财富。认为，任何一种数学化总是向前跨了一步，假如是伴随着自动化的数学化，那就更是如此。就拿众所周知并大肆宣扬的“自动化管理系统”来说吧，这些词已经结合成了一个不可分离的结构，在这一结构之上便是一个大的“加号”。实际上，只有当自动化管理体系具有经济效果时，它才是好的。但是现在，只要每一个机构都有自己的自动化管理系统就被认为是一种好风气。在强烈的热潮中，自动化管理系统几乎被奉若神明，被看作是祛除一切灾难、经营不善、马虎懈怠和简单愚笨的某种万应灵丹。认为，进入计算机管理过程本身，就已经是一种伟大的福利——取代了陈旧的“天赐福利”的现代“技术福利”。但是，自动化管理系统很少能够减轻工作人员的负担，他们必须填写大量的卡片。

应该正视现实，并且承认，在前数学的、人文科学水平上掌握现象以前，运用数学方法是有害而无益的，因为它只能把注意力从主要的方面移到次要方面，从而为广告和弄虚作假建立基础。对“自动化管理系统”这一词组中第一个词的贪婪注意，正是不理智和匆忙的结果，因为谁也不需要“自动化”，如果说需要的话，只不过是“管理”才需要它。不少人认为，管理的主要问题乃是信息的收集和处理，因为信息很多，所以就需要计算机。这种实质上的辅助程序往往倒被推到第一线，并被绝对化。而主要的问题则被排挤在一边：什么样的信息需要收集和处理呢？哪些需要，哪些不需要？而且需要到怎样的程度呢？先假定，任何一个信息都是有用的，并且在任何时刻都能把它从计算机中取出、进行评论，这才是自动化管理系统的主要任务。这样就产生了“信息的收集和处理”这一个带有“加号”的词组。对这一结论真的就没有争论了吗？所有的信息都值得收集、处理和储存吗？信息必须进行过滤，区别重要的和不重要的，需要的和不需要的，而且筛出的所需信息必须表现为富于表达和易于掌握的形式。当然，这也正是不得不在心理学和社会学边缘上工作的应用数学的任务。

目前，对所谓“大系统”谈得很多，写得也很多，但什么是“大系统”呢？确切的意思并不清楚。有一种定义是：“由大量因素组成的系统称之为大系统”。另一种定义是：“所谓大系统，是指关于系统所有环节和管理中心的完备信息，既包括不需要的，也包括有害的”。是的，当信息过多地阻碍并加重管理程序时，它可能是有害的。在解决复杂系统的管理问题时，首先应该对如下问题发生兴趣，即怎样的信息，并且在什么范围和限度之内才是真正需要的？对管理问题的这一极其重要的信息方面必须进行研究。只要这一问题尚未解决，那么过早地谈论建立自动化管理系统，也只不过是一种机器咨询。在这里，那些能对较大型信息变换系统的管理质量和业务效能进行比较，仅采用有用信息的数学模型，可以再一次带来大的帮助。

编制数学模型的艺术真正是一种艺术，这方面的经验正在逐步积累。天才的“巧匠”——好的数学模型的作者——并不像所希望的那样能经常碰到，但是一定必须将这一点教授给未来的应用数学家：谁为自己选定了去“都柏林博览会”的道路，也就是面对现实的、多方面的生活要求，而且实际上也不能用“鸡蛋壳”的抽象概念来蒙混的人，他的头脑就应该是“坚定的”、适应于周围世界的日常生活需要的。远非每一个数学家都能走上这条道路的，当然也并非每个人都必须这样做。

现代应用数学，这是间于精密科学、人文科学和实验科学的边缘，并大胆地采用其中每一门科学所制定的方法和手段的一门特殊的科学，既然它的任务不是抽象地苦思冥想，而是主动地干预生活，那么也只有它才可能成为这样一门科学。

[Знαнue-cuлα 1979年8期11 ~ 13页]