先锋11号把木星和土星的壮丽照片发回地球，这项奇迹般的技术成就给我留下了深刻的印象。印象更为深刻的是，这项工作竟一举成功。当然，工程师们肯定曾对各个子系统进行过试验，再加上他们又有处理有关系统的经验。但是这一努力未经通常的试验和改进便获成功毕竟是令人瞩目的。与此相比，众所周知经济预测又是何等的不精确——尽管才识之士们为此殚思竭虑，又有巨大的（金钱）刺激。我们把物理科学和工程中的成功，特别是技术上的成功作为顺理成章的事接受下来。我们对与生命科学和社会科学更密切相关的领域中缺乏成功则坦然处之一也许是感到失望，但并不惊讶。通常的说法是：我们理解（或某些人理解）空间探索的科学和工程，但是我们对许多生物系统或社会系统就不那么理解。这常意味着物理科学中有良好的数学模型，而在生命科学和社会科学中所用的模型则远远谈不上有效。让我们稍微详细些来考察一下这个意见。

科学中的数学化

人们通过观察、实验和研究而使知识系统化，特别是使生物、物理和社会领域的知识系统化。最好用一个名词来描述这种努力，科学一词就是这样用着的。人人都把生物学、化学、物理学等当作科学。此外，经济学、心理学、政治科学、历史学和许许多多别的学科也都具有科学的特征。这份学科目录在十年以后肯定比现在还要长。每门科学都可以沿若干维来量度，其中的一维就是数学化的程度，即数学化的观念和技术在该学科中的使用程度。（今后我们就用数学作为数学科学的简称，它包括计算、运筹学、统计学以及更狭义的纯数学与应用数学。）从科学学科的观点看来，对数学化的高度需要并没有特别的优点。实例表明，精巧的数学发展导致的科学启发渺不可寻，倒是有这样的实例：用了精心设计的装置，结果一无所获。

最好给出数学用于其他学科的方式的通常模式（但绝不是无所不包的模式）。在大多数情况下，随着一门学科的发展，数学化有增长的趋势。但是这种见解为事后的认识所左右，将来随着计算机的作用越来越重要，见解上可能有重大的差别。我们将定出四个等级，大致相当于数学贡献于该学科的程度。我们要强调指出，重要的是数学的贡献而不是数学的深奥性或精致性。一个比较简单的数学概念用得巧妙可以具有巨大的效果；而一个非常精致的数学讨论却可能对我们关于该科学问题的知识谈不上什么贡献。

第一级，数学常常以数据与信息的搜集、组织和解释进入科学工作。在某些情况下，从观察中搜集起大量的数据：Tycho Brahé的天文数据，Gregor Mendel的植物繁殖数据以及1930年代开始的大量心理学习实验的结果。在另一些情况下，像不那么普通的自然现象（大地震、罕见病等）则可能只有少量实例可考察。决定需要哪些数据和决定怎样进行数据搜集常常是件难事。但这项任务是极为重要的，缺少好的数据会有效地阻碍一个领域的总体发展，至少也会阻碍它的数学化。例如，信息（或谣言）是怎样通过社会组织传播的？就这个问题所做的工作部分地由于缺少好数据而进展缓慢。从与数学相互作用的观点来看，数据的搜集和分析是统计学家的本行，常常也是计算机科学家的本行。在统计学和计算数学中的许多数学研究都是由处理实际数据时产生的问题的挑战而激发起来的。

第二级，某些数据集合只显示最一般的规律性一一经济统计数字通常就属于这一类。对另一些数据集合进行周密考察时则显示值得注意的模式。这方面最好的两个例子是Brahé的行星运动数据和Mendel的植物杂交实验报告。在数据或信息中的充分规则的模式可以概括为以经济为根据的“自然律”。就这一点来说这些定律不过是概括观察数据的方便方式，可以非常精确，也可以十分含糊。在物理科学中这种定律通常是十分精确的。例如Kepler的行星运动定律，它是以Brahé的观察数据中推导出来的经验定律，Snell的折射定律也是非常精确的叙述。在生命科学和社会科学中经验定律的精确度往往要差得多。例如Gause的竞争性排除定律（为了同一小生境而竞争的两个不同物种不能共存）和Gossen的边际效用定律（一件商品的边际效用随着这件商品的消费的增加而减少）的精确度要差得多，它们的合法性会受到争论，而Snell定律则不会因为这种原因而受到争论。

在讨论经验定律时值得进行一些说明，以防止误解。首先，这种定律通常是根据平均行为推导出来的：由于数据的平滑化或平均化，定律可能更适用于（多半不存在的）“平均”状态而不是适用于任何特殊状态。其次，定律的陈述常以某些（或隐或显的）假设为基础，而定律只是在满足这些假设的范围内才能描述观察数据。例如有一条Mendel遗传定律说，关于不同性状的基因是随机重新组合的。这条定律只是关于非环连基因的行为的精确叙述。如果我们想研究与环连基因相联系的性状，那么这条定律就不适用了。

经验定律作为实验和观察的简明而醒目的概括，可能是着重实验的科学家的一个目标。这种定律可能处于着重理论的科学家分析事态的中途，而接近于数学科学家本行的开始。

第三级，确认了经验定律以后，科学的数学化的下一步就是创造说明这些定律的数学结构——有时叫做理论。“说明”一词需要细加解释，我们以后再回过来谈。目前使用通常的直觉涵义就够了。在直觉和精确的双重意义上，不同学科中和不同时期内，“说明”一词的涵义都是不同的。一个数学结构，加上数学符号、记法与现实世界事态的对象及作用之间关系的一致性，叫做该事态的数学模型。可能有不止一个数学结构来说明一条经验定律，也可能一个结构说明一种事态的某些定律，另一个结构说明另一些定律。后者的一个例子（取自初等物理学）是光的波动模型和微粒模型：波动模型阐明了物理光学现象（反射、折射、色散），而光电效应——它在波动模型中很成问题——在微粒模型中才有安身立命之地。

对数学结构的研究引出的结论通常叫做定理，它是用逻辑论证而从假设和定义中推导出来的，根据数学中符号与术语这二者与原始情景之间的一致性，可以把这些定理翻译为关于现实世界情景的论断，通常叫做预测。我们现在可以明确“说明”一词的意义了。所谓一个数学模型说明一条经验定律，是指这个模型的一条定理能译成这条定律。

确定一个模型是否说明一批观察数据，常是件很复杂的任务。模型一般含有参数、含有符号来表示现实世界的量，如粒子的速度、商品的成本、通过通行税征收所的汽车到达率或一名被试在看了一遍无意义词句后还能回忆起来的似然率。为了把预测同观察数据加以比较，人们必须知道在该模型中出现的参数的值。参数估计是一件挑战性的数学和科学任务。有许多看上去像是可接受的模型搞不下去，就因为它们所依赖的参数无法估计。

数学模型作为一个数学结构，当然会引起数学上感兴趣的问题。这些问题可能、但未必对于引出该模型的事态有意义。无论如何，用数学形式来描述事物的一个重大优点是：在完全不同的科学情景中可以产生同样的或极其类似的结构。在一种情景中无关紧要的问题，在另一种情景中可能非常重要。于是，一个模型的发展超出直接需要是不足为奇的。

被认为对某些现象的研究作出科学贡献的数学模型的价值，取决于该模型的预测与观察数据的一致程度。在正常情况下，建立模型是个循环过程，用第一次建立的模型作出的预测不会与观察数据吻合。这时必须修改模型，并导出新的一批预测。通常一个模型要反复改进几次，然后才能达到适当的一致，这种改进工作可能要持续多年。

在建立模型过程中数学家扮演的是个合作者的角色，他常常作出主要的贡献，但是很少为该项研究作出明白的指示。在第一、第二级描述的活动都不是纯数学的，在第三级所描述的活动中也只有数学结构的分析工作才不含具体科学的内容。即使是分析数学结构，科学洞察力也可能有所帮助。通常只有非常熟悉该门科学的人才能创立模型、证实或解释根据该模型作出的预测。

第四级，设我们已经创造并发展了一个数学模型，并推导出一大批说明某些观察数据的预测（定理）。接下去还能做什么呢？我们可以用是否得到新的科学洞察力来考验这个模型。即我们寻找关于该事态的科学的这样一些方面，它们或者能用该数学模型来揭示，或者能用它来阐明。通常这意味着数学能预测后来将观察到的科学现象。在第三级我们是用现有数据证实模型，在第四级则用模型来告诉我们到哪里去寻找数据。

在现代物理学中有许多例子。一个例子是Weinberg-Salem预测右手和左手电子的理论（一个右手电子沿运动方向自旋，正像一个普通螺钉当右旋时向前运动一样），后来在Stanford实验室里做的实验中观察了这一现象，观察数据与预测紧密吻合。在化学动力学中也有些好的例子。具体地说，一种叫做Belousov-Zhabotinskii反应的化学反应呈现了不同状态（颜色）之间的有规则的持续振荡，在有些情况下向外传播圆形波。对这种事态的一个数学模型进行的分析表明，还存在向内传播的波。在预测了这种波的存在并努力发现它之后，已观察到了这种波。像这样一种证据大大增强了我们用模型来描述现实世界情景的信心。

对于着重理论的科学家来说，用数学来获得对科学的新的洞察力可能是最值得追求的目标。其他人可以有不同的目的；例如实验者可能感到观测数据有理论支持是最令人满意的，而数学家可能感到新的数学问题是最令人兴奋的。

在比较详细地讨论了科学的数学化的四个等级以后，现在我们可以用几句话来小结一下：

第一级：数据和信息的搜集、分析和解释。

第二级：科学原理和经验定律的定量表述。

第三级：数学模型的表述、研究和证实。

第四级：用数学模型来获得科学洞察力。

在物理科学和工程中发生的大多数事态都可以通过第三级或第四级来探讨。生物学中的某些领域，特别是遗传学；群体生物学和生态学都有第三级的模型。心理学中的少数领域，主要是学习理论和记忆理论也有第三级的模型，致力于获得新的科学洞察力的模型在生命科学和社会科学中比较少见，但也有一些例子。例如，可以认为，在涉及“浑沌行为”的数学现象的群体动力学中的模型提供了科学洞察力，虽然这个模型的生物学含义绝不是被充分理解了，这个惊人的结果是：一个系统，其行为从头到尾完全被（用一个简单的方程）一步步确定但对于—定的参数值却可以显示出完全像是任意的总体行为。另一个例子是K. Arrow关于个人爱好与团体爱好之间关系的工作。他的目标是研究具有某种直观上值得想望的性质的团体决策方法。他认识到并证明了一个关于团体决策的自然公理系统（即一个数学模型）是不相容的，从而戏剧地阐明了事态。简单说来，没有一个团体决策过程是以这种自然方式反映个人爱好的。

无论如何，在社会科学和生命科学中大多数重要工作都处于第一级和第二级。此外，数学作为物理科学的语言已被证明是如此有效，但作为其他科学的语言将在多大程度上同样有效，对这一点还有些意见分歧。有可能在生命科学和社会科学中使用定量技术的人应当对这种活动的潜在风险和潜在的报酬保持敏感。

数学的目标

—位实验者组织并解释结果可能只是为了使大量信息能为别人所接受。同样，作出经验定律可能主要是为了以缩写形式传达许多观测数据的结果。经验定律的作成方法常常是把描述经验定律的概念和语言明确化。于是，促进通讯（传达）和使概念明确化是个公共目标。

使用数学模型还有两个目标值得一提：用数学模型理解科学事态和帮助决策。用模型获得理解的想法前面已介绍过了，我们将马上详细地回过来再谈。先让我们转向经济学上很重要的用模型进行决策这一用法。当然，许多研究都涉及几个目标，而且在某种程度上所有模型都有一个“理解”的目标。但是决策模型有某些特点。

一个典型的事态是，计划人员或管理人员必须在一批供选择的行动方针中加以选择，以使某些量最优化（例如使获利最大，或成本最小）。有可能在应予决策的环境中含有某些未知因素（例如产品的需求量），多半还含有对手的行动。这方面有了一些利用数学规划和对策论的发展得很好的模型，可能有助于我们在各种方案中进行选择。人的理性和它在行动中反映出来的手段在许多这样的模型中起作用。有趣的是，证据表明有些知识界人士虽然未以数学术语提出他们的问题，但其行动方式却与数学分析指出的一致。

在讨论如何用数学来理解科学事态时，我们能表达几种意思。首先（也是最明显的），我们可能是指在研究了数学模型后能认识以前未认识到的真实事态的各方面之间的关系。例如，确认在淋病蔓延中核心感染源的作用有助于理解疾病对各种形式治疗的反应。另一个例子是理解从研究定量选择模型而得到的各种选举程序的战略意义。最后，前面提到过的Kenneth Arrow的工作是第三个例子。Arrow的工作很好地阐明了对各种假定的结果进行精确表述和仔细分析所能作出的贡献。他构作了一个精确模型，对这一模型进行的分析所提供的关于假设对结论的影响的信息要比用其他方法能得到的信息多得多。在可以研究一个假设的结果以前，这个假设本身必须做得精确。这是构作模型活动的一部分。

从对数学模型的研究中获得理解还有另一种意思。因为大多数模型都含有参数、含有据这些参数得到的预测，所以如果我们能确定这种预测怎样或在多大程度上随参数的变化而变化，我们就能获得这种事态的知识。这种知识在实践上和理论上都会是有用的。作为一种说明，我们来看一个经济分配问题，在这种问题中某个量（譬如说利润率）取决于受到某些约束的各种资源的投入量。目标是决定资源投入的一种可容许的选择，以使利润率最大。设一种特殊的投入法受到的约束是不得超过数量A。人们可能会对最大利润率随A的变化而变化的方式感兴趣。（这个变化是个重要的经济量，叫做投入的该资源的影子价格。）

当前正在所有领域内使用的大多数数学思想和技术都直接来自为研究物理科学中的问题而发展起来的那些思想和技术。总的说来，数学的使用开始于第一级，并随着可利用更多更好的数据而取得进展，我们对事态也有了更多的认识。当前大多数生命科学和社会科行正在第一级或第二级上使用数学，这一事实并不出人意外。如果物理科学所确立起来的模式在这些领域内仍成立，我们就能期望，从这些科学的不断的数学化而产生重要的新的科学洞察力。

[Mathematics Tomorrow，Springer-Verlag，1981年]