1900年，希尔伯特（Hilbert）在巴黎国际数学家会议的前夕^[1]，作了一个著名的演讲。他说：“一个伟大世纪的结束，不仅引起我们回顾过去，而且指引我们思索未知的将来。”希尔伯特强调数学研究中的某些特殊问题的重要性，并列出了他十分感兴趣的23个问题。现在，希尔伯特的大多数问题已经得到了解决，这是今日数学成就的标志。但是，还有一些问题仍然顽固得难以解决，其中最著名的是黎曼假设（Riemann hypothesis）。希尔伯特的第十六问题涉及两个相似且基本上不相关的部分：第一部分问：一条平面曲线的不同分支能怎样排列；第二部分提出一个微分方程在平面上产生的极限圈个数的模拟问题。关于希尔伯特第十六问题的第二部分，有一些重要的新进展，但并非完全被解决了。

在叙述目前的研究情况之前，我将较仔细地考察一下这个问题的提出。十九世纪末，数学家们开始对非线性微分方程产生了浓厚的兴趣，特别是他们研究了具有dy/dx=Y/X形式的微分方程，其中X和Y是x和y的多项式。一般说来，写出这个方程的显式解是不可能的。但是，亨利 · 庞卡莱（Henri Poincaré）发现，用拓扑学的方法能够得到大量的信息。将这个方程改写成一个系统dx/dt=X，dy/dt=Y，其中t是—个新变量，被看作表示时间。当t变化时，解（x(t)，y(t)）在平面上描绘出一条曲线。这条曲线取决于初始条件（x(0)，y(0)）。考虑所有可能的初始条件，就可得到一个曲线族。这个曲线族被称为此方程的相映象^[2]（phase portrait）。相映象给出了这个微分方程的所有可能的解的一个几何图形，并且是进行定性研究的一个有力的工具。

在对微分方程研究的一个重要的新方面中，庞卡莱确定了这个相映象的一些基本的拓扑性质。特别是他认识到，当相映象中的一条曲线自身闭合成一个环路时所出现的极限圈的重要性。一个极限圈对应于这个微分方程的一个周期解。在周期解中，这系统一次又一次地重复相同的特性，因而它具有真正的物理意义。（事实上，在确定极限圈时，要采用某些非常特殊的方法，但这里我将把这些略去。）

希尔伯特第十六问题的第二部分问：对于次数给定的多项式X和Y，能出现多少个这样的极限圈。当希尔伯特刚提出这个问题时，人们甚至还不知道极限圈的个数是否一定是有限的。当赫 · 杜拉克（H. Dulac）写出长篇论文（Bulletin de la Société Mathématique de France 51，45 - 188；1923）时，希尔伯特问题的较弱形式似乎被肯定地解决了。杜拉克的证明中的关键一步是指出在相映象中的一个奇点的周围不可能聚集起无限多个极限圈。

后来，莫斯科国立大学的约 · 斯 · 伊尔雅西科（Yu · S · Il'yashenko）（Uspekhi Mat. Nauk. 37，127；1982）注意到杜拉克为建立他的主要定理而使用的引理中的一个错误。现在，伊尔雅西科已经设法修改了杜拉克论文中的一些结论，并在更严格的条件下，证明了极限圈个数的有限性。特别是他证明了，对二次多项式出现在平面的任何有限部分中的极限圈的个数是有限的；以及对‘几乎所有的’二次多项式，在整个平面上的极限圈的个数是有限的。他在证明中使用了奇异性理论（Singlarity theory）和范式理论（theory of normal forms）中的一些最新成果。

关于高于二次的多项式的极限圈的个数的有限性的证明，是向解决希尔伯特问题迈出的重大一步。但是，希尔伯特还进一步探问：精确的个数是多少？确切地说，令H(n)为X，Y是n次多项式时可能出现的极限圈的最多个数。上面所说的已取得的成果甚至不能说明H(n)是有限的。然而，在所有已知的例子中，H(n)不仅是有限的，而且还相当小。推测所存在的数值与已经知道的数值之间的差距是很大的。

恩 · 恩 · 鲍丁（N · N · Bautin）（Mat. Sborhik 30，181 ~ 196；1952）发现了一对出现三个极限圈的二次多项式。这样，H(2)至少是3。希 桑林（Shi Sonling）改进了这个结果，他找到了一个有4个极限圈的例子。这样，H(2)至少是4。这个例子是由X=-y－10x²+5xy+y²，Y=x+x²－25xy所确定的系统的一个小的（并且非常复杂的）摄动。

到目前为止的最好结果是，对偶数n≥4，H(n)至少是?(n²+5n－14)，对奇数n≥9，H(n)至少是?(n²+5n－26)，以及H(3) ≥5，H(5) ≥14，H(7) ≥27。前两个结果是由恩 · 弗 · 奥托可夫（N. F. Otrokov）（Mat. Sbornik 34，127 ~ 144；1954）得到的。H(3)的结果是由凯 · 斯 · 西勃斯基（K · S · Sibirskii）（Different，Uravneiya I，53 ~ 66；1965）和希 桑林（Acta Math. Sinica 4，300 ~ 304；1975）得到的；最后两个是从伊尔雅西科（Mat. Sbornk 78，360 ~ 373；1969）的一般结果中推出的。

非线性微分方程在各学科中都是重要的，它处在现代数学研究中一些最活跃的领域的前沿。分析非线性微分方程的现代方法为许多普遍现象提供了深刻理解。此外，借助于计算机实现的数值方法能够提供关于任何我们感兴趣的特殊微分方程的非常详细的信息。希尔伯特第十六问题恰好在其中间。它涉及一个方程类（那些是由n次多项式X和Y所确定的方程）。由于所受约束太多，这方程类不适于用一般的方法，由于范围太广（自由参数太多），也不适于用数值分析。另外，希尔伯特的问题是要求出在整个相映象上的全局信息，而许多最强的一般结果也只是局部的。

数学家们倾向于考虑两个变量的微分方程，以为是容易些。这恐怕只对一些特殊的方程或任意方程的局部特性是如此、希尔伯特第十六问题的情况表明，方程的多参数族的全局特性接连不断地提出一些几乎是不可能解决的问题。我们都能赞同希尔伯特1900年的开场白：“我们之中有谁不乐意揭开掩盖着未来的面纱，看一看我们科学的下一步进展和未来几世纪中科学发展的奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将追求怎样的特殊目标呢？新世纪将在宽广、丰富的数学思想领域中揭示出怎样的新方法、新成果呢？”

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[1] 多数资料表明：1900年，希尔伯特在巴黎第二次国际数学家大会上作了题为“数学问题”的著名演讲。一校者注。

[2] 这里相映象是指该系统在相平面上的相轨线的全体，即系统在空间（t，x，y）中的积分曲线在相平面（x，y）上的投影。——校者注。