（美国河洛易理念书院）

语录两则

“河出图，洛出书，圣人则之（而立易）”；

“道可道，非常道；名可名，非常名；（数可数，非常数）”。

诗一首

阴阳虚实太极中，宇宙易化变无穷；

天演地适人竞道，三才谐振肇生生。

缘 起

1990年10月，笔者参加在中国河南省安阳市召开的国际周易与自然科学讨论会，作成两件极富意义的工作，一件是向大会呈交并简介作者所写的《洛书的数学研究》三篇论文，一件是在会议讨论中谈到中国哲学家如冯友兰等多将《易经》理解为“宇宙代数学”，但却说不出它的代数符号和数目字，这两件事的巧合对作者启发出一种决定性的认识：在对中国传统文化的继承、重整，与发扬工作中，第一件要事就是如何建立“周易宇宙代数学”；而这件事的启蒙研究工作，恰好正是作者在完成对《河图》和《洛书》的数学内涵研究后的必然继续。本文就是这一启蒙研究工作的成果报告。谨此献给中国及世界的专家和学者们，敬请指教和批评。

导 论

世界人类文化众多，但历史学家公认有四大古老文化，即巴比伦文化、埃及文化、印度文化，与中国文化；四者皆对现代科学文化有重大影响与贡献，一种民族文化的形成，所需构成因素甚多，诸如人民、血统、语言、文字、地理、政治、经济、科学、工艺等；但是要形成一种光辉灿烂、绵延不断，并能为人类作出重大贡献的民族文化，最基本的必需因素就是该民族的“数学思维”，在世界人类文化史中最典型的范例就是中华民族的原始文化，它的主流发源于黄河临近洛水地区，就是中国史籍所称的“河洛文化”。

“河洛文化”虽然源远流长，但它的原始基本内涵却是自然数及其由加、减、乘、除四种演算所衍生的人类的“数学思维”，它的具体表征就是传说中在上古龟甲上所刻画的《河图》、《洛图》和《易卦》三类符号图型，三者都不是直接用数字或其演算式来表达，而是由人类数学思维所结晶出来的数学符号模型。

根据史传，《河图》出现在伏羲时代，（约3332 BC）《洛书》出现在夏禹时代，（2100 BC）而《易卦》由伏羲画卦开始到成书为《易经》却历时长达约3000年。河图和洛书只是两种数型图阵而无文字说明，即《周易 · 系辞传》所称：“河出图，洛出书，圣人则之”，易卦是由阴爻与阳爻两种符号所形成的不同层次的排列与组合，主为占卜与记事之用。易卦经过夏、商两代的演进，直到文王作卦辞，周公作爻辞，孔子等人作《系辞》等传文，于是一部居“六经”之首，开中国文化之源的《易经》就在《周易》的名义下流传于中国，现并扩及到全世界。

综合的讲，《周易》的内容包括三大部分：《易卦》、《易经》、与《易传》，由《易卦》的起源到《易经》的成书，中国经过约3000年的时空发展，由《易经》的成书到《易传》的论释，中间又经过约500年的时空发展，所以《周易》—书蕴涵着中华民族在三千余年的历史洪流中所溶汇而成的原始文化，在中国文化史上，周易孕育了各种学术的萌芽、成长和发展，中国传统文化从秦汉到明清无不与周易有关，直到今日，所有研究易卦符号及阐释周易内涵的各种不同学术就形成一门庞杂的、包罗万象的学术系统，通称“易学”。

《周易》是一部熔合哲学、数学和科学于一炉的古籍，它不只孕育出中国传统文化的成长与发展，亦影响着近代世界科学家的思维与创作，根据中国传统观点，易学研究可划分为三大学派，像数派、数理派、与义理派。根据现代科学观点，易学研究的内容可概括为三大范畴：科学、数学、与哲学。到了今日，由于中外学术的交流与融合，易学中所蕴涵的自然法则及其科学、数学、与哲学的义理，更影响着未来整体人类思维的方式、法则与运用。这就验证了中国古语：“周虽旧邦，其命维新”；而周易的生命力也确是历久弥坚了。

易卦符号系统与现代数学的挂钩问题

数学是一切科学的基础和语言，根据作者的研究，河图、洛书和易卦三者都可统属为由人类数学思维所结晶出来的数学模型，代表中国传统文化生长的数学基础。自汉代以来，中国学者就将此三类图型理解并通称谓，“河、洛、易数”。宋代理学家朱熹更将此三图型同置于《周易本义》一书之首，表示三者间必有相互演化关系存在。但二千年来，在易学发展的历史洪流中，迄今尚未能建立“河、洛、易数”的数学体系，亦很少学者根据现代数学理论阐释易卦符号系统的数学内涵。作者认为在对中国传统文化的继承、重整与发扬工作中，如何建立“周易宇宙代数学”实是一件有重大意义的基本研究命题。

显然地，《河图》是数，《洛书》亦是数，因为二者都是用点代表数所构成的数型图阵，作者对此二图阵的数学内涵已有三篇论文阐释，关于河、洛、易数三者演进的关系当再为文论述，本文只论如何建立“周易宇宙代数学”，或只简称曰“易代数”。

因为易卦只是用阴爻与阳爻两种符号所构成的不同层次的排列与组合。其中既无数字，亦无运算法则，所以历代习易者均有“易数”难通之感。在现代易学研究的论著中，所有关于易卦符号的数学论述，全都局限于阴阳两爻排列的顺序，方位、对称、置换、平衡等性质的描绘，迄未能建立易卦符号系统的数学定义，数值单位与演算法则。所以要将易卦与现代数学挂钩的基本问题是，如果“易”是败的话，“易数”是什么？

根据“易”的开宗明义：“一阴一阳之谓易”，则要建立“周易宇宙代数学”的启蒙核心问题有三：（一）阴或阴爻的代数定义，符号与数目是什么？（二）阳或阳爻的代数定义，符号与数目是什么？（三）易或易卦的代数定义、符号与数目是什么？

由于篇幅所限，作者假定读者都已掌握了《周易》和《代数》的基本知识，本文将不再引述周的哲学与科学内涵，只根据现代数学理论，研究易卦符号系统的数学内涵，以建立“周易宇宙代数学”。又为了行文精简起见，本文将根据作者研究结果，采用开门见山及豁然贯通方式，首先列出建立周易代数学的基本命题。并在命题中首先给出函、阳与易的代数定义，然后再推导建立定义所根据的数学理则，最后，初步叙述了建立周易宇宙代数学的三个理论基础。

建立周易宇宙代数学的基本命题

1. 作者对设立阴，阳与易的英文符号之前提建议。

（A）阴或阴爻的英文符号：作者建议将阴或阴爻的英文名词由现时通用的Ying改作Xin，以取其与阳字不同的字首符号。例如阴爻符号原为“- -”，其英文符号表作X或x，又如坤卦系由三个阴爻组成，由下到上写作?，其英文符号则为由左到右表作XXX或xxx，又如艮的阴阳符号为?，其英文符号写作XXY。

（B）阳或阳爻的英文符号：阳或阳爻的英文名词仍用Yang。例如阳爻符号原为“一”，其英文符号表作Y或y，又如乾卦系由三个阳爻组成，由下到上写作?，其英文符号则为由左到右表作YYY或yyy，又如巽的阴阳符号为?，其英文符号写作XYY。

（C）易或易卦的英文符号：作者建议将《易经》的英文翻译定作Yi-Ching而不用I-Ching，亦即采用Yi作为易的英文符号。当将易或易卦作为易数时，作者建议从周易之周（Zhou）字，其英文符号用Z或z表示。

作者建议将阴、阳与易的英文符号分别用X、Y与Z代表，乃是根据对三者代数定义的研究结果而定，如下节所述。

2. 建立阴、阳与易的代数定义之研究

建立“周易宇宙代数学”的首要研究命题就是建立阴、阳与易的代数定义，更具体点说，要建立阴、阳与易的代数定义，就必须研究建立易卦阴阳符号体系所依据的数域（即数字系统）是什么？因为自然界中每一物理系统的成立，必须建筑在一个对应的数域上面，以致二者在代数运算中可以建立一与一的对应关系，如此吾人始能将物理体系的性质之描绘转换成数量的计算。

为了解答上述的问题，让我们先复习一下数论中的数域形成原理，作者在前文中已讨论过，现代数学中所用数系都是以自然数集为基础，再依次衍生出整数集，有理数集，实数集、直到最高最广的复数集。诚然，现代数学中的数理逻辑与公理都植基于自然数集的结构、性质与算术运算，并用以来说明宇宙中各种不需证明的现象与事实。

再回顾一下易学发展的历史过程。第一层次将阴、阳符号与数字建立对应联系的创始人是孔子，他在《系辞传》中说，“天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十。”天指阳爻，地指阴爻。很明显地，他用阴阳两爻代表十进制自然数系中的基数，阳表奇数，阴表偶数。这样就将自然数集区分为两个子集：一为奇数或阳数子集，一为偶数或阴数子集，两者互为一、一对应关系。但是，孔子的阳奇阴偶概念，只能建立两个数系的一一对应关系，而不能建立两者的互换恒等等关系，这亦就不能符合周易体系之“阴阳二重性”的特质。（有关周易体系之阴阳二重性特质将在下文中阐述）。事实证明，孔子以后的易学家们从未能根据“阴奇阳偶”的概念而建立起一套整体的周易数学体系。

第二层次以数学符号代替阴阳两爻符号的创始人当推德国数学家莱本尼兹，他是根据十进制创立二进制数系的人。他于18世纪初提出以0代替阴爻“- -”以1代替阳爻“—”，这样就可将每个易卦用二进制数码表示，各卦的位序亦可按十进制的数序排列出来。现代全世界的易学家大都接受了易卦阴阳符号与二进制算术的一致性这一概念，而莱本尼兹阐释易卦结构的功绩亦将永志史册。但是，作者仍需指出，根据易卦之阴阳二重性原理来解析，莱氏的阴零与阳一关系的成立，必须局限于将0与1作为两个数符以置换“- -”与“—”两个爻符，它仍然只是一个二进制符号系统，并不能以0与1所构成的二进制数值系统，作为阴阳两爻与易卦的代数定义建立起一套整体的周易宇宙代数学。

可以认为，笔者开发了第三层次且建议用现代数域系统代替易卦阴阳符号系统。为了建立阴爻，阳爻与易卦的代数定义，笔者拟定了两个研究命题，一为周易体系及其数学理则的建立，一为建立周易宇宙代数学的理论基础之研究。根据此二项研究的结果，笔者得出以下重要结论：

（1）易卦阴阳符号系统就是现代数域中的复数数域系统。

（2）每一易卦代表一个易数，每一易数就是一个复数，其代数式为Z=X+Yi，式中X为实部，Y为虚部，i为虚数单位。

（8）阴爻就是实数的单位，表作Re=√1=±1。

（4）阳爻就是虚数的单位，表作Im==√-1=±i。

根据这四个定义，周易宇宙代数学的建立就将形成现代复数代数学的自然基底，也就是说，易数衍生复数域正与自然数衍生实数域相互对应。

3. 周易体系及其数学理则的建立。

周易体系是人类文化史中最早的一种思维体系，它具有最简单、最综合与最抽象的三种特质，易卦本体原只是一种阴、阳两爻符号的系统或体系，但人类对此符号系统的理解与阐释，自然就形成一种思维体系，根据周易内容及历代学者的论述，笔者将周易体系划分为三大从属体系，并推导每个从属体系的建立其所依据的数学理则于下：

（A）周易阴阳符号体系及其数学理则：《周易 · 系辞传》称：“易有太极，是生两仪，两仪生四像，四像生八卦”。这一定义是为了解释八卦衍生顺序而定的。根据这一定义，吾人可谱出八卦符号体系的结构组织如图1。作者在图中将阴、阳两爻符号与其英文符号并列于括号中，并将八卦符号所代表的自然界的对应形象列在图中最下方，如乾表天、坤表地等是。

根据图1所示八卦生成原理，读者不难如法推演出十六，卅二，及易经中所论述的全部六十四卦。因为读者已掌握了周易的基本知识，作者建议读者参考王赣等所著《古易新编》中的伏羲六十四卦次序图今译简表，该图将周易阴阳符号体系全部构成及六十四卦的二进制爻位与十进制数值全部示出。

伏羲创立易卦阴阳体系所按照的数学理则就是一个几何级数的序列，他采用了比值为2的等比级数，作者建议将此级数命名为伏羲级数，表作符号Fs，按照集论，Fs的建立公式为

Fs={1，2，4，8…}={2⁰，2¹，2²，2³…}={2ⁿ：n=0，1，2，3…}

这一Fs亦就是“易数集”或简曰“易数”的公式，现代易学家亦称此伏羲数集为“太极序列”。

易数集Fs的基本性质与结构蕴涵着三大数学特质，（一）它的构成元只是一个自然数2，构成元间的数学操作是自乘即平方，平方的还原或逆向操作是开方。（二）2ⁿ的序列亦可写成（1+1）ⁿ，由此可推导出二项式定理（x+y）ⁿ。（三）2ⁿ的数值序列可用作整数域中二进制系统，二者完全吻合，吾人根据Fs所蕴涵的上述三大数学特质，就可推导出易卦阴阳符号体系的全部数学内涵，包括周易体系的阴阳二重性等等，将在下面专节中讨论。

作者此处必须解答的首要问题为：如何根据上述Fs的第一项数学特质推导出阴阳两爻符号所代表的数值单位？根据数论，自然界中的线性系统是用自然数集和整数集来描绘，其中最基本与最简单的代数方程式为x+1=0，其解就生出x=-1的负数。Fs数集的建立就可描绘自然界中的非线性系统，它引入了代数中的二次方程式与平方和开方的操作，其中最简单与最基本的代数方程式为y²±1=0，其解就生出实数单位，y=√1=±1与虚数单位y=√-1=±i。作者据此乃定义阴爻所代表的数值单位为实数单位±1、阳爻所代表的为虚数单位±i，以符合周易体系的阴阳二重性特质。

在各类数集中，虚数单位i=√-1的物理意义虽难了解，但它却为描绘非线性系统中的必需数值单位。因为非线性系统的主要数学特质为不规则性与混沌性，而i=√-1的建立就是不规则数字或混沌数字的典型范例。

（B）周易天、地、人三才体系及其数学理则：根据传辞所称：“易之为书也，广大悉备，有天道焉，有人道焉，有地道焉”。中国古代学人就将易卦阴阳体系与自然界的事物比拟互释，建立了天、地、人三才体系。又根据系辞下传二章的解释：“古者庖牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，观鸟兽之文与地之宜，近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。”这段话说明易卦阴阳符号是象徵天地间前事万物与人类生命交织构成的像、数、理系统模型。作者应用现代文化语言，可谱出周易的天地人三才应用体系，如图2所示。天、地、人三才的有机结合产生出三者中所含像、数、理的互释，再进而衍生出人类社会与自然环境间所构成的数、理、哲学交织合成的总体系，并形成人类文化中的各种信息与系统科学。

根据周易三才体系的结构，吾人可解析出建立此体系的数学理则有三：（一）它是依据阴阳二元系统（即太极）在天、地、人三大范畴中的作用而建立的。吾人如将阴阳统—体的太极作为元始单体，它所发挥与应用的范畴就构成一个三维体系。（二）周易像、数、理应用系统的衍生是准照比值为三的等比级数而形成，笔者建议将此级数命名为文王级数，表作符号Ws，它的建立公式为

Ws={1，3，9，27，…}={3⁰，3¹，3²，3³，…}={3ⁿ：n=0，1，2。3，…}

（三）易卦的本体是阴昍二元体系或二重结构，但易卦的作用空间则是天、地、人三才系统。为了体用兼备，易卦应用体系的数学结构就必须采用2，3两基数的结合。这就形成了建立易卦体系的数学公式就是二项式定理中的三次幂与六次幂。这亦说明了文王订定易卦时，只用八（2³）卦与六十四（2⁴）卦（不用十六或卅二）的衍生结果。

周易三才体系形成的数学理则在《说卦传》中载有生动的说明：“昔者圣人之作易也，将以顺性命之理。是以立天之道，曰阴与阳，立地之道，曰柔与刚；立人之道，曰仁与义。兼三才而两之，故易六划而成卦；分阴分阳，迭用柔刚，故易六位而成章”。这里我们暂不论阴阳二元的各种科学与哲学含义，只就易卦的数学结构论，这段话就阐释了由（X+Y）³而生8卦，由（X+Y）⁶而生64卦，吾人根据此二项式展开定理，就可推导出易卦为一封闭的阴、阳循环系统，其中阴爻与阳爻必须符合排列与组合公式，并遵守置换、平衡与守恒定律。

（C）周易宇宙时空体系及其数学理则：在人类文化史中，中华民族是最早认识宇宙时空为一体的。根据“上下四方之谓宇，古往今来之谓宙”的空间和时间的定义，可知空间是指上下四方的三维垂直轴系，时间是指和空间相互垂直的另一线性轴系。这种原始的时空一体观念正与现代相对论学说中的四维时空体系相符合。古代中国人对时空一体的最佳描绘就是“日出而作，日入而息”八个字；再就宏观世界论，亦有“沧海桑田”之谚。当然，人类对时空结构的认识是跟着科学，数学与哲学知识的进步而深化，由欧氏几何空间，伽利略落体运动，经过牛顿的绝对时空，直到爱因斯坦的时空相对论，宇宙时空的性质始明于人类，但这些超出本文范围，作者现只简论周易宇宙时空体系的建立。

根据《易经》，周易宇宙时空体系是由乾、坤、时、位四大重要概念组成。四者中乾、坤是万物的根源（太极），时、位即指时间与空间，乃万物变化之所由出，它基本上是一套自然宇宙观。自然界中各种事物的作用与演化，必须因时制宜，因地制宜、时空配合，交织天成，以维持宇宙中的因果关系。吾人根据描绘宇宙动态必须时空一体的四维几何架构，乃谱出周易宇宙时空体系的构成如图3，此图标志出宇宙间各种事物的存在与变化必须用时间和空间不可分割的一体观点来描绘。易传中之彖传主系卦辞发挥，其重点在言时、位（空间），尤多言时，其中盈虚、消长、终始、往复皆为时间的属性。

周易宇宙时空体系的建立奠定了描绘自然界中各种动态现象的架构。亦构成了人类对各种科学、数学与哲学的思维与体验的底基。根据集论，吾人可定义“宇宙”为自然界中所有时空体系的集合，而自然界中的一切事物均可视作时空四维体系中的点集，数学中所有函数的建立、分析与操作均以时空一体为理则，而以时间变数为基底的微分与积分更是函数分析中的主体，关于时空四维体系的几何性质及轴系转换，读者可参阅专书，本处为篇幅所限，作者只提出周易时空体系的代表矩阵及它的特征方程式和特征值的数学理则于下。

在线性系统中，一个三维空间的代表矩阵就是众所周知的三维单位矩阵或恒等矩阵I₃，如图4a所示，当引入第四维时间轴系时，它必须与三维空间轴系相垂直，则所构成的四维时空矩阵代表必须表如图4b，或其转置形式如图4c。作者建议将此四维时空矩阵名作“周易矩阵”或简称为“易矩阵"，表作〔A〕。关于周易矩阵的性质及其转变为各种不同形式如对称、恒等及三角矩阵的操作，本文不能多作论述。现只说明在时空四维方阵〔A〕的作用下，代表某一事物的一个特定矢量〔X）可以生出数值为入的盈虚消长的数学理则于下：

根据线性代数学，当-n阶方阵〔A〕作用到矢量〔X〕时，如果不令〔X〕的方向改变，只令其长度发生倍值为X的增长或缩短时，吾人就可建立一基本方程式AX=λX，并命名合乎此式的λ为〔A〕的特征值，〔X〕为其特征矢量，如果吾人应用恒等矩阵I，将λ值写作矢量形式λI时，则上述基本方程式AX-λX=0就可写作矩阵方程式〔A-λI〕X=0，吾人称此〔A-λI〕为〔A〕的特征矩阵。此一矩阵方程式的意义有二：（一）特征值λ的选定可令〔A-λI〕具有0维空间（nullspace）。（二）特征矢量X位于〔A-λI〕的零维空间内，为了达成此二要求，吾人自不能选用〔X〕为零值的矢量，而必须令〔A-λI〕成为奇异矩阵（Singular matrix），亦即令其行列式值为零，换句话说，λ值可能成为〔A〕的特征值的必需充分条件就是〔A -λI〕=det〔A-λI〕=0，此式的展开就是λ的n-次多项式，即曰〔A〕的特征多项式，其解就是所求的n个特征值λn。将每一λ值代回到〔A-λI〕X=0式内，就求得每一λ值所对应的特征矢量X。

读者根据上述理则，就可求得周易矩阵〔A〕的三项特征如下：

（1）周易矩阵的特征多项式：λ⁴-1=（λ²+1）（λ²-1）=0

（2）周易矩阵的特征值：λ₁=1；λ₂=-1；λ₃=+i；λ₄=-i。

（3）周易矩阵的特征矢量：X₁=（1，1，1，1）ⁱ；X₂=（1，-1，1，-1）ⁱ；X₃=（1，i，-1，-i）＇；X₄=（-1，-i，1，i）＇。

作者曾定义阴或阴爻的数值单位为实数单位Re=√1=±1，阳或阳爻的数值单位为虚数单位Im=√-1=±i，于此可得证明。

4. 建立周易宇宙代数学的三个理论基础

（A）宇宙二重性原理（The principle of Cosmos Duality）：在人类对宇宙的体验认知过程中，从开始到现在，不断地在建立着一个宇宙二重性原理。就是说，宇宙间各种事物现象的组成、结构、性质、作用与功能，都可用性质相异的两重实质或两个部分来解析与组合（或对立与统一）。我们现举例说明如下。

在原始时代、人类体认了宇宙中天与地的盖载万物，日与月的运行规律，山与川所构成的地理，水与火所表现的相异性质与功能，以及人类必由男女两性所组成的家庭与社会。

随着科学知识的进步，人类体验出各种科学范畴中的二重性，例如，地球为一磁体，而磁体必然呈现南北两极；物质可以带电，而电必分阴阳两荷。物理为质量与能量的二重组合，化学为无机与有机的二重组合，生物为生长与生殖的二重组合，哲学为物与心或物质与精神的二重组合等等。

到了20世纪，宇宙二重性原理更为人类所认识。爱因斯坦的相对论证明了时间和空间互为一体，及物质的质量与能量可按照E=C²M的关系相互转变。在微观世界的研究中，量子力学的建立证明了组成物质的一切基本质点的行为和状态都必须由粒子和波动这二重性来阐释。

展望未来，人类文化的内涵将再如何继续充实，以求发现宇宙二重性的更高境界，实为人类前途发展的希望与挑战。

（B）数学体系中的二重性特质（The Dualin Mathematics）；根据近代世界数学史的记载，我们可以看出近200年来数学家特别注意到数学结构中的二重性特质。在各类数学系统中，数学定义、结构、操作，及定理的形成大都需用二重性质的构成单元（或单位）来组成，当此两个互为二重性的单元互换时，数学定理仍维持不变，现试以三个最基本的例子说明：（—）在三角学中，角与边构成两个互为二重性的部分，在有关角与边的定理中，如将角与边相互置换，定理的真实性不变，例如锐角三角形的两角（边）之和大于第三角（边）。（二）在平面几何中，点与直线互为二重性，在有关点与线的定理中，如将二者置换，定理仍当成立。例如两点（直线）之间只有一个直线（交点）。（三）在代数学中，系数与未知数两者互为二重性，如将一恒等式中的系数与未知数相互置换，恒等关系仍然不变，例如ax+by+cz=k，如将系数a、b、c与未知数x，y，z互换，则xa+yb+zc=k仍然恒等。

当然，高等数学中的二重性特质远为深奥复杂、难，绝非如上三例之浅显易明，读者需自行探索研究。为了读者的方便，作者现用线性程序设计（linear programming）中求最大值与最小值的问题，说明数学中二重性结构的建立：在一件商品的制造与销售体系中，最小成本与最大利润就构成了系统中的互为二重性的两个部分，设获得最大利润的函数式为h₁x₁+ h₂x₂+…+h_nx_n，而达到最小成本的函数式为c₁y₁+ c₂y₂+…+c_ny_n，两式中的未知数自都必须为正值，设获得最大利润所必须遵从的约束条件可用一不等矩阵方程式表示，则不等关系必须采用（≤），方程式必须合乎〔A〕_mn ·〔X〕_n≤〔C〕_m，此式中右边的参数矢量（c₁，c₂，…，c_m）正是最小成本函数式的系数，而式中左边的每一约束条件就构成最小成本函数中的未知数。此种数学关系与结构自可同样用到最小成本问题中，二者互成一种二重性特质。则最小成本必须准照的约束条件亦可用一不等矩阵方程式表示，但不等关系必须采用（≥），方程式必须合乎〔A〕_mn ·〔y〕_m≥〔b〕_n，此式中右边的参数矢量（b₁，b₂，…，b_m）就是最大利润函数式的关系，左边矩阵〔A〕_nm正是〔A〕_mn的转置形式，而每一约束条件正是最大利润函数中的未知数。

再以数论为例，在一系列整数所成的集合中，最小数与最大数就构成互为二重性的单元，求该数集的最大公约数与最小公倍数就构成互为二重性的操作，在有关最大公约和最小公倍的定理中，如将二者互为置换，定理仍然成立。最后，作者要特别指出：在所有数系中，只有复数系最符合标准二重性的特质，复数中的实数部分和虚数部分构成互为二重性的部分；在有关复数的操作和定理中，如将二者互相置换，亦即应用“实者虚之，虚者实之”的转变，则操作结果和定理真实性仍然不变，作者将易卦阴阳体系与复数系统等同挂钩，理由在此大明。

（C）周易体系之阴阳二重性（Xin-Yang Duality of The Yi System）：周易体系的基本特质为太极一体的阴阳二重性，西方学者称之谓中国的“阴阳学说”。易卦阴阳符号系统虽为人类中最古老的思维体系，但它却符合最新的科学理论如相对论和量子力学。现时有人称赞《周易》为中华文化之母，人类文化之精，世界科学之神。其寓意即指易卦阴阳符号体系可能作为自然界中一个基本普遍原理的代表模型，作者提出将宇宙现象的二重性、数学结构的二重性与易卦阴阳符号的二重性三者结合一起，它们不只组成建立周易宇宙代数学的三个理论基础，亦可构成一个综合的、抽象的、到处存在的“阴阳二重性体系”，可用来阐释宇宙本体与人类生命的各种存在状态与现象。

“阴”与“阳”只是两个抽象的概念或符号，用来代表一个体系的两个构成部分，二者价值相当，功能相当，相互可以置换而体系的组成、性质、作用与功能却维持不变。建立阴与阳的基本逻辑式哲学意义超出本文范围，由于篇幅所限，作者在此只提出以《杂卦传》中所谓：“以同相类，以异相名”暂作为本文之结束语。