易卦的数学研究之二焦氏“周易宇易代数学”建元(上)

发布时间：93年11月25日

焦蔚芳

1. 前言

作者自幼及长，对祖国传统文化所怀的最大困惑问题是：“中国先民所创造的河图、洛书与易卦三大符号系统的数学内涵是什么？”为了解答这些问题，乃于1980年在美国成立爱灵敦理念书院，致力于洛书的数学研究，发表论文3篇。到了1990年10月，笔者参加在河南省安阳市召开的国际周易与自然科学讨论会后，乃作易卦的数学研究，当即发现易卦阴阳符号系统与现代数学中的实虚复数系统存在着一与一的对应关系，乃即建立了“焦氏周易宇宙代数学”。

本文是第一次向中国及世界学者介绍(《周易宇宙代数学》，仅能涉及“易代数”的定义、公理、特质、代数操作及基本函数等基础部分。

2. 阴、阳与易的代数定义之内涵

(A) 焦氏“阴或阴爻之代数定义”：阴或阴爻的代数定义包括三方面：(一) 阴或阴爻的代数符号表作X或x，(二) 建立阴数的数域为实数域，(三) 阴数的数值单位定义为实数单位，表作

由此可知阴数即为代数中的实数。当阴数只用实数域中的整数时，吾人可用参数a以代变数x。

(B) 焦氏“阳或阳爻之代数定义”：阳或阳爻的代数定义包括三方面：(一) 阳或阳爻的代数符号表作Y或y，(二) 建立阳数的数域为虚数域，(三) 阳数的数值单位定义为虚数单位，表作

由此可知阳数即为代数中的虚数，一个阳数必须表作Yi或yi。当阳数只用实数域中的整数时，吾人可用参数b以代变数y。

(C) 焦氏“易数或易卦之代数定义”：易卦或易数的代数定义包括三方面：(一) 易卦或易数的代数符号表作Z或z，即复数符号，(二) 建立易卦或易数的数域为复数域，(三) 易卦由阴、阳两爻合成，易数由实数与虚数合成。由此可知易卦或易数即为代数中的复数，一阴一阳之谓易的代数方程式即为Z = X+Yi(或z = x+yi)。当吾人只用实数域中的整数时，易卦或易数就是整数复数，用参数C代变数Z，表作c = a+bi。

根据上述阴、阳与易的代数定义，作者将易卦符号系统中的一切性质和运算均可与代数中的复数的性质与运算直接挂钩，而周易代数学亦就对应于现代数学中的复数代数学。

3. 周易宇宙代数学的三个基本公理

(A) 公理1. “建立易卦(数)阴(实)阳(虚)二重性的代数多项式为

a_nzⁿ+a_n-1z^n-1+…+a₁z¹+a₀z⁰(1)

式中z = 2，n = 0，l，2，3，…，a_n可为阴爻--(实数X)或阳爻—(虚数Y)”

公理1中的二进制代数多项式可用来判定不同数位的阴阳符号(实虚二数)的系数值，并得出二者的总和，式中n表卦系的爻数或易数系的幂数。现以数例说明公理1的应用如下

[例一] 阴爻的复数式作法：-- = x = 2⁰x = x+0y = (1+0i)

[例二] 阳爻的复数式作法：— = y = 2⁰y = 0x+1y = (0+1i)

[例三] 三爻艮卦的复数式：?XXY = 2²x+2¹x+2⁰y = 6x+y = (6+1i)

[例四]六爻乾卦的复数式：?? = yyyyyy = 2⁵y+2⁴y+2³y+2²y+2¹y+2⁰y = 32y+16y+8y+4y+2y+y = 63y = 0X+63y = (0+63i)

(B)公理2. “易卦(数)的衍生及其阴、阳两爻(实、虚二数)的组合，排列和结构都准照二项式公式

(x+y)ⁿ = xⁿ+[n/1!]x^(n-1)y+[n(n-1)/2!]x^(n-2)y²+…+nxy^n-1+yⁿ(2)

式中x表阴爻(实数)，y表阳爻(虚数)，n为正整数。”

二项式的展开式中共含有(n+1)项，每项的系数均符合排列与组合的公式，例如第(r+1)项的系数为

_nC_r = n(n-1)(n-2)…(n-r+1)/r! = n!/r!(n-r)! = _nC_n-r(2.1)

就易卦说，式中n表卦系中之爻数，每一卦系所含卦数为2ⁿ，可分组为(n+1)项，例如六爻卦系中n = 6，卦系中共含2⁶ =64卦，可分成6+1=7项，第(r+1)项即表为nC_rx^n-ry^r。吾人可用二项式定理解析易卦的各种结构与特质，并将符号关系表成数值关系，现再将三爻卦系(Trigrams)及六爻卦系(Hexagrams)的二项式展开为(2.2)，(2.3)两式，读者不难看出式中x(阴)与y(阳)的对称，置换与守恒关系；如将六十四卦排列成8×8方阵(图1)，更可检查出阴、阳两爻的全部交错关系，交综关系，以及错综对称性。

(x+y)³ = x³+[3/1!] x²y+[(3 · 2)/2!]xy²+y² = x³+3x²y+3xy²+y³(2 · 2)

(x+y)⁶ = x⁶+[6/1!] x⁵y+[(6 · 5)/2!]x⁴y²+[(6 · 5 · 4)/3!]x³y³+[(6 · 5 · 4 · 3)/4!]x²y⁴ +[(6 · 5 · 4 · 3 · 2)/5!]x¹y⁵+[(6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1)/6!]y⁶= x⁶+6x⁵y+15x⁴y²+20x³y³+15x²y⁴+6xy⁵+y⁶ (2.3)

(C)公理3. “易卦(数)阴(实)阳(虚)体系组合成一个具有二重性的集合表作

在Z₃中n = 3，共含2³ = 8卦，卦序由坤为第一卦到乾为第八卦，其中坤与乾、艮与兑、坎与离、巽与震互为二重性，符合X+Y = 2³-1 = 7之关系。

4. 八卦系统之复数式与六爻卦系之复数式矩阵图

根据周易代数学之定义与公理，吾人可将八卦阴阳符号体系之复数表示方程式总合一起，如第1表。

吾人根据上述公理及表1，当可谱出六爻卦系中六十四卦之复数式，并将其排列成一个8×8矩阵如图1. 当只就阴阳两爻关系分析时，读者立可检验出易卦体系为一封闭的阴阳循环系统，其中阴与阳必须遵守置换、平衡、对称与守恒定律，但与用复数代数关系分析时，则易数衍生的线性关系，实虚二重性关系，以及实虚二部分的互质，因子分解，几何结构，及函数关系等，就组成一部繁复的周易代数学，远非本文所能包括作者现只根据矩阵代数学，并用二重序偶(x，y)代表复数z = x+yi，将六爻卦系的复数矩阵的结构经过数字解析(numericalanalysis)，归纳出周易复数空间的两大构成原理如下：

Ⅰ. 易卦(数)阴(实)阳(虚)二重性的整体性原理(The Integrity Principle of The Xin-Yang Duality)：六爻卦系的复数矩阵[Z_ij]₈_×8是由其实数矩阵[X_ij]8×8和虚数矩阵i[Y_ij]8×8相加而成，其展开式为(4)。恒等式(4)示出周易复数系统中实虚二重性的数字解析。

其重要特质为(1) 整个方阵形成为一个透过中心点的实虚二部相互交换的对称系统(Inversion Symmetry)，(2) 易数的实虚两部的组成元素是由相同的自然数集按照相反的升降序列组成，每相邻二数间的公差为1，(3) 易数集构成一个有序的，可数的无穷复数系统。根据(4)式吾人可推导出易数集与实数集的相互对应关系有：(a) 自然数集是构成实数域的基础子集易数集是构成复数域的基础子集；(b) 自然数的算术运算衍生出实数体系，易数的算术运算衍生出复数体系；(c) 实数只能位于实数线上，点与数可互为置换；易数只能位于乾坤线上，点与数可互为换。作者称(4)式及其数学性质曰易卦(数)阴(实)阳(虚)二重性的整体性原理。

根据上述公理1与3，易数实虚二重性整体原理可表如

(|x|+|y|)_n = 2ⁿ-1，n = 0，1，2，…。 (5)

吾人可简称(5)式曰焦氏易数定则。

Ⅱ. 周易复数空间的线性结构原理(The Linear structure of the Zhou-Yi Complex Space)。根据六爻易数矩阵(图1)的数字解析或(4)可知：易数矩阵[C]并非[A]与[B]的矩阵乘积，而是[A]与[B]的线性组合，符合线性方程式[C] = m[A]+[B]，m之值得由公理1所述之二进制爻位系数定则决定。作者再将公理1的线性结构内涵叙述谓：“在易卦序列中，第n位爻符之系数值等于其余所有各位爻符之系数值之和加1，即

作者称(6)式为焦氏易数空间线性结构原理式。(5)与(6)实为同体异形式。

应用上述原则可知，二爻卦系之四象系由上下两仪线性组合而成，m之值为2，例如少阳为上阳下阴组成，即(2，1) = 2(1，0)+ (0，1)，(见表1)。八卦为三爻卦系，下卦A为两仪，上卦B为四象，其线性组合式为C = 2(A)+ (B)，例如坤卦为(7，0) = 2(3，0)+(1，0)；坎卦为(5，2) = 2(2，1)+(1，0)；乾卦为(0，7) = 2(0，3)+(0，1)等。

六爻卦系为八卦相互组合而成，其线性公式为C = 8(A)十(B)，在其复数矩阵(图1)中，主对角线为八卦之自重卦，符合c = 8 A+B = 9 A，例如六之坤卦为三爻坤卦之9倍，即(63，0) = 9(7，0)，与其二重性之乾卦自为(0，63) = 9(0，7)。从对角线系由互为二重性之八卦组成，所成易数均含公因数7，例如‘恒’为(35，28) = 8(4，3)+(3，4) = 7(5，4)，与其二重性之‘益’为(28，35) = 8(3，4)+(4，3) = 7(4，5)。总之，读者可求出图1中任一易数均符合一般线性组合公式C = mA+nB，再用对应系数法定出m = 8，n = 1，完全符合易数空间的线性结构原理。

5. 太极之数学定义与操作

易以太极为中心，为建元，其主旨是“乾、坤—太极。”太极是道，是本体，易文曰：“一阴一阳之谓道”，太极是元始的一，绝对的一，可以作为一切数量和秩序的单位，在易文中通称“大一”或“天一”。将这些逻辑和哲学意义及太极体系的建立和现代数学理论相互对证，作者认为太极的数学定义有三：

(1) 按照数论，太极是数系{2ⁿ：n = 0，l，2，…}的开端，即2⁰ = 1，

(2) 按照代数，太极是二进制阴阳符号系统的构成单元，

(3) 按照几何，实数平面R'可以延伸为复数平面C，作者将太极认作为复数平面上半径为1的单位圆，如图2所示，这个单位圆的X轴为实轴，Y轴为虚轴，复数多项式Zⁿ-1 = 0的解都位于此圆周上面。

太极的运作就引起“易”的变化，“易”者变也，根据《易纬干乾凿度》的注释称：“易一名而含三义：所谓易也。变易也，不易也。”所谓易与变易当指变化之现象，所谓不易当指变化之数理，根据复数之几何特质，作者将太极或易之数学操作区分为四类，简述如下：

吾人称r为z之绝对值，表作{z}；称θ曰幅角(argument)，表作θ = argz。根据三角关系，z之实数部分为a = rcosθ，虚数部分为b = rsinθ。因之，z之极坐标式就成z = a+bi = r(cosθ十isinθ)，亦即矢量z被极化为相互垂直的阴式实与阳式虚两部分，θ之值一般限定在0≤θ≤x之间，但sinθ与cosθ均为周期函数，故当θ增加2x之倍数时，矢量z仍不变动。

(2) 转动(Rotation)：太极单位圆的四个基矢为(1，i，-1，-i)，此四数构成一个乘法群，i的几何意义就是绕圆心沿反时针方向作90°的旋转。例如从点1开始，1×i =i，i×i =i² = = -1，-1×i = -i，-i×i = -(i)² = 1，完成一转动周期，就整个X-Y平面说，每一矢量受到一转动矩阵的作用，即生出绕原点的转动，如图4所示，图中示出两个基矢转动θ角度之变化，第一基矢(1，0)转变为(cosθ，sinθ)，第二基矢(0，1)转变为(-sinθ，cosθ)。由此得出转动之矩阵式为：

(3) 反射(Reflection)：反射之意义乃指一矢量经过镜面反射所成之像，例如以矢量(x，y)说，当以X轴为镜面反射时。则转变为(x，-y)，当以Y轴为镜面反射时，则转变为(-x，y)。在X-Y面内，当以幅角为θ之直线为镜面时，反射作用之几何特质及反射矩阵之形成如图5所示。图中示出两个基矢(1，0)与(0，1)。透过θ直线镜面之反射，并得出反射之矩阵公式H，反射之几何特质有二：一为矢量之长度在反射中为不变值，一为反射之逆作用仍为反射自身，即H = H^-1，亦即H² =1。

(4) 投影(Projection)：在X-Y平面内，由矢量OP之终点P到OX轴上引一垂线PQ，所得矢量OQ即为OP在x轴上之投影。投影结果，OP即由二维平面中的一点(x，y)变为一维轴线上的一点(x，o)，故投影矩阵操作到一矢量空间可令空间的维数减低，故投影为一不可逆操作，投影之几何特质及投影矩阵P之形成，仍可以两个基矢(1，0)与(0，1)在幅角为θ之直线上之投影说明之，如图6所示。

总之，太极的几何操作即生成“易”的转变，可能延伸到整个太极体系。每一太极转变皆可以一转变矩阵[A]表示，吾人只要定出A对构成太极空间的每一基矢x的作用效果Ax，则整个太极空间内每一矢量都生出相同的Ax效果，这一理则就是“易”中“不易”。

6. 八卦之代数运算与几何性质

易数即复数的关系既然奠定，则易数的一切性质与运算将类同于复数。为研究“周易宇宙代数学”读者宜先参阅复数代数学。在现代数学中，复数集涵盖着其他一切数集，而复函数亦联系着三角函数与指数函数，故有复数中的基本关系式：z = x+yi = r(cosθ+isinθ) = re^iθ，由此基本关系式可再推导出复数的其他代数运算。各卦在复数面中的几何图形如图7。