多年来，皇家学会主席的年度讲话趋向于讨论各种各样的事务性的科学政策，这也许是不可避免的，因为它体现了学会所扮演的国内和国际上的角色。但过去也曾经有某些时候主席的讲话只限于某一科学的主题，描绘一个新近的进展或浏览一些他本人精通的领域。我感到至少在我5年任期中的一年我应该做这一类似的工作。我们都对讨论政策感到有点厌烦，很想回到实实在在的具体科学上来，所以今年我毅然决定把我讲话的主题转向数学。

这也许会使你们中的某些人感到有点担忧4特别是如果你的数学有点荒疏，但你可放心的是我并不想去讲一些专门的术语，或用一些复杂的公式使你眼花缭乱，一个数学家在对大范围的听众讲数学时总有一定的难度，即使是像皇家学会会员那样卓越和有知识的这么一个群体也不例外。我或许可以作一个通俗性的讲话；我也曾尝试去这么做，但这看起来似乎并不适合我们现时的情形，作为替换我将试着去分析数学在科学中的作用。为什么毕竟在归纳意义下并不是一种实验科学的数学应该包括在皇家学会的范围之内？在早几个世纪的时候一个科学家能够同时精通好几个领域，从而某些科学家以数学的资格当选为学会的主席也许不足为奇。但现在数学与科学的关系又如何呢？为什么一个数学家能再一次地占据属于牛顿的职位？

我将试着去回答这些问题，同时引出关于研究及其应用的几个教训。在形成对研究的本质特性的一般的看法时我们中的每一个有他自己的背景和经验可资依靠。皇家学会的会员们有大量的关于科学研究的第一手资料帮助他们形成其观点，这是皇家学会的众多优势之一，

数学也许并不是一门科学但它毫无疑问是科学的一种卓越的语言。我们可以把整数1，2，3，…看作它的字母，而把以数学形式表达的各种科学理论当作它的文学，也许我们应该说数学并不是一种语言而是像欧洲语系一样的多种语言的一个相关的整体，几何是空间的语言，三角是古典天文学的语言，代数是通过公式描述定律的语言，而微积分是分析运动的语言。就像一种通常的语言能使我们以越来越复杂的程度系统地表达和交换思想一样，'数学能够使我们得以系统地表达和处理科学实验的结果。语言从最原始的字汇和规则出发，随着外界更复杂的需要它们发展成为能够表达更精制的思想。从史前穴居人的语言到莎士比亚的名剧经历了漫长的道路，数学以同样的方式应科学的不断变化着的需要而发展着。

思想和语言的关系很微妙，思想决定字汇而字汇反过来能使我们表达更复杂的思想。此外，字汇在不同的情形下有不同的含义，它取决于上下文，数学和科学的关系与此类似一样地微妙，双方相辅相成，同样的一个数学概念可以应用于不同的科学分支从而有不同的解释。如果说语言是人类的显著特征，那么数学是科学家的显著特征。

另外，一个不太纯哲理性的或更实用主义的说法是数学是科学的智力技术，它为科学家提供了智力上的工具。我们都知道现代科学越来越依靠于复杂的实验设备的使用。各种各样的显微镜是材料科学家、化学家和生物学家的不可缺少的工具，它是一种多用途的仪器，它的发展是基于对光学的基本原理和其它一些物理分支的理解的基础之上的。同样道理微积分可以看成是一种多用途的仪器，我们可以使用它来分析任何数学领域中的运动过程，它就像显微镜一样不可或缺，它的几何和代数起源与它的某些应用相距甚远。对科学家来说这很幸运，但对艾萨克 · 牛顿的继承人来说却非常遗憾，因为数学理论并没有专利保护或建造费用，所以微积分并不像显微镜那样它不是研究机构基金的源源不断的资助对象。

在一个计算机行话比其数学伙伴更为流行的时代，我们可以说数学是科学的软件。

但把数学描述为一个工具这样的类比在某些情形下尚可，在另外一些情形则低估了它的作用。语言不只是一种工具，它有它自己的生命。在科学中理论和实验是同等的伙伴。一个理论不只是用来解释实验事实的手段，它应该反映潜在的自然的真实本性。在某些情形下除非用数学的形式否则很难表达一个理论，麦克斯威尔的电磁定律提供了一个著名的例子，如果不用数学也行的话，法拉第无疑已经得到它了，但事实是，该理论及其关于光，无线电波等等本质的推断直到麦克斯威尔才最终完成。

就像法国数学家亨利 · 庞加莱曾经说过的那样：“科学不过是一些事实的集合就像房子是砖头的集合一样”。科学的建筑由数学来提供。

当把数学看作是科学的语言的时候，也许回顾一下它的主要特征是有益的，为什么数学如此管用？

首先数学以一种抽象的过程发展着。在每一个科学模型中人们简化和忽略无关或不要的因素以便集中到最主要的特征上。数学以抽象的过程直到得到最终的结论，个体的特殊性被忽略，只有他们相互之间的关系才被研究。是抽象才使得数学成为如此普遍的一种语言，它并不限于任何特别的解释，波就是这样一个抽象和普遍概念的一个很好的例子。

数学的第二个特征是它的彻底的开放性，我们很难去给数学下一个定义或给出它的一个范围，过去人们或许可以把数学定义为是对数量及其相互关系的研究，但现代数学充斥着非数量性的分支如拓扑和群论（关于对称的抽象研究）。一个更广泛一点的定义为数学是对模式和秩序的研究，但与不规则行为联系在一起的对无序和混沌的研究也是数学的一个重要分支。事实上作为潜在应用领域各种需要的结果，数学不断地朝各个不同的方向发展着。每一个科学上的进步似乎都需要一个新的理论框架，如果古典数学并没有提供合适的语言，那么一种新的语言必须被制造出来，很有可能这种新的语言与已经存在的数学各分支之间有千丝万缕的关系从而这种新的语言可以看成是数学的一个自然的延伸，并在适当的时候被吸收到数学的整个躯体之中。事实上，数学以两种方式向前发展，即应外部的需要而扩充并以内部的分析而深化。

最后，也许是最值得注意的特性是数学的长久或永恒性。虽然数学理论会经常地被吸收到更广泛的数学理论中去，但它们一经创造原则上将无限地存在下去。古希腊的数学我们今天仍然在使用，而19世纪的数学思想到我们进入21世纪的时候仍然生机勃勃充满活力。常常数学结果会在几十年或几个世纪后发现出乎意料的应用，这充分说明了数学的基础研究和应用性研究之间的区别是暂时的。也许我可以花一点时间在这些方面给出几个例子，这些例子中的多数是大家熟知的，但作为一个整体它们将描绘出我已经说过的数学特征，即它的普遍性和永久性。

毫无疑问对一个数学理论的回报而言世界纪录的保持者应该是由古希腊人所研究的当时地位低下的椭圆，它直到1000多年后当行星的轨道被充分理解时才恢复它应有的地位。对第二个位置的强烈的竞争者应该是-1的平方根和复数的产生，虽然它不太光彩地起源于二次方程的求解中，但由于是经过高斯的手它获得了数学上的尊重，虽然甚至连高斯也承认“√-1的真正本义无从捉摸。”事实上复数也许代表了人类历史上最富有想象力的发明，它们的有用性在本世纪被它们在量子力学中所起的基础性的作用成功地证实。

概率论现在在包括固体物理在内的许多领域内扮演着如此重要的一个角色，然而它的起源得回到17世纪的费马那里，当时其唯一看得到的应用也不过是投骰子和牌戏而已。

关于对称的研究在18世纪20年代由伽罗瓦在考虑代数方程和对次数大于4次的代数方程的不可解性（就根的意义上来说）时所开创。100多年以后这个理论在基本粒子物理中起着决定性的作用。

近来非常引人注目的一个例子是分形，它起源于法国数学家朱利亚和德国数学家豪斯道夫在本世纪初的深奥工作。借助于现代计算机图形学这个工作能够很容易地可视化，曼德尔布劳德已经证明了分形事实上与科学的许多部分相关。英国的海岸线提供了一个绝好的说明，我们可以试着去测量不同尺寸地图上的英国海岸线的长度，不久我们就会清楚地看到在一张原来地图尺寸两倍的地图上由于原先被忽略的海岸线的微小凹入处现在得到揭示从而使得海岸线的长度大了两倍还多，此外，随着每次尺寸的加倍此过程原则上可以重复。同样的思想被物理学家在量子场论和统计力学中加以应用，只不过在那里它们被称之为是重新规范化而已。

另外一个关于古典数学最近发现一个出乎意料的应用的例子是在层面X线照相术领域内，在那里组织的3维图形由一系列2维投射（用粒子束）综合而得到。关于这个技术的数学问题早在本世纪20年代就被德国数学家拉冬所提出和解决。

最后在这个简短的概要中我不应该略去富里叶在19世纪30年代关于热传导的工作。由他引进的把任何一个函数分解为一系列三角波的方法在现代结晶学中已经被证明是一个基本的工具。

考虑一下由我们的这些数学先驱们所做的最终带来应用的数学研究在现时将会受到何种对待是有益的。总是有那么一些人争论着研究应该有更清楚的目标或有明确的任务所驱使。如果过去曾有这样严厉的政策贯彻执行的话，那么我们所继承的数学财富将贫乏得多并且很多有用的应用将被错过或被耽搁。当然我们对后代对我们的后继者们有现在就作智力投资的义务，从而他们才能够收获到利益，难道不是这样吗？

我在以上给出的关于早期的纯数学到近期结出意外硕果的例子也许可以看成是正在成为过去的事情了。人们也许禁不住地认为数学作为一门古老和已经建立起来的学科已经被充分地探索，所有余下来的只不过是去开拓它的应用而已。由最近的关于拟晶体的故事提供的例子将说明此观点站不住脚。

就像你将知道的那样，晶体材料建立在基本对称模式之上，关于它们的数学在上个世纪就已经基本上被探索从而被充分地理解。它非常优美地展示了基本的数学思想在物理世界中的应用，在此领域已经没什么好研究的了，你可能这样认为。但是数学家是好奇的家伙，他们并不认为此领域已经是完美无缺的了，他们开始问他们自己，举个例子说，是否你可以用几种基本形状的拼嵌元来拼嵌整个平面？此时不一定要求非得有周期性和模式的重复性，这一点与以正方形和三角形为拼嵌元的通常的拼嵌不同。这个方向上的第一个结果在1966年由一个数理逻辑学家罗伯特 · 伯杰得到，他证明了非周期拼嵌是存在的，但他需要大约2万种不同形状的基本拼嵌元，随后的改进最终导致现在著名的只需要两种形状的罗杰 · 彭罗斯拼嵌，这些彭罗斯拼嵌是不重复的，但展示了一种微妙的部分重复形式，此外它们有展示阶为5的对称的显著特性，而为结晶学家所熟知的通常的周期拼嵌只能有阶为2，3，4或6的对称。这些结果随后引起了其他一些数学家的兴趣，由德 · 布鲁金开创的一个理论被建立了起来，按照这个理论在平面上的非周期拼嵌可被理解为是高维空间上周期拼嵌通过无理斜率进行投射的结果。此外，具有二十面对称的3维空间上的非周期拼嵌有与此类似的性质，它可以被理解为是从一个6维空间的投射。

1984年当某些特定材料的晶体图被发现有5重对称的时候，所有这些相当深奥的数学突然变得引人注目。经过一段开始时期的不确定和争论后现在人们似乎普遍接受这些称为拟晶体的新材料只有用彭罗斯拼嵌的数学理论才能得到最好的理解。物理学家甚至不得不借助于6维空间，我理解固体物理学家以前相对于他们的在4维空间中遨游的高能物理同事们来说有一种自卑情结，现在则完全可以恢复他们的自尊！

由于它们的非周期结构能够阻止电子的运动，这些新的拟晶体有相当不平常的物理特性，作为一个结果它们有相当新奇的实际应用，一个法国公司现正在卖表层涂有拟晶体材料的油炸锅，设想一下拟晶体材料改进了烹调的风味和质量！

在这个相当近代的故事中我们已经看到了数学的好奇心可以横跨数学和物理的范畴来到一个显然是功利主义类型的材料科学之中，一定有某一种寓意在这里，即使科学通常需要有一个实际的目标，然而保持由个体的好奇心所驱使的基本和自由的探询仍然是必须的。我希望大家能记住世界上没有谁比数学家更具有好奇心，他或她提出最基本的问题并探索其未知的答案。

现在让我回到数学的范畴并为我的关于数学普遍性的论断提供更多一点的证据。微积分和其相关技术形式的数学在物理科学和工程科学中的作用已众所周知从而不需要再加以详尽阐述。更近代一点的是离散数学在计算机科学中的应用，特别是与哲学密切相关的逻辑在这里起着决定性的作用，计算机的两位先驱是冯 · 诺意曼和图灵决不是偶然的，他们两位都对逻辑作了重大贡献，一门曾经被认为是深奥难懂的从而占据象牙塔塔尖位置的学科现在正培养出成批被计算机公司所抢夺的博士。

在生物科学方面，数学很早就在古典遗传学中占据了一席之地，在进化论和生态学中数学现在也正在被确认为有重要的概念上的贡献。历史表明数学有尚待发掘的其它成功之处。

本来我可以在此打住了，但我认为提醒诸位注意数学在社会科学中所起的日益增长的作用也很必要。在这方面经济学处于领先地位，现在对一个初出茅庐的经济学家来说严格的数学训练几乎是必需的环节。人口统计学研究把数学带入了历史科学而统计和民意测验则把数学带到了政治领域。估计风险分析的保险统计师已经存在很长一段时间了，金融界正越来越趋向于采用一些称为是导出数的数学理论。你可不要认为在这些社会科学领域中的数学与那些在自然科学领域中的数学是完全不同的类别，举个例来说，富里叶关于热传导的方程同样控制着金融市场！

最后，让我转到艺术领域并提请诸位注意数学在建筑和音乐中的基本作用，在那里关于形状和音调的数学提供了艺术的基础。我们不能忘记透视几何在绘画的发展中所起的作用，其在埃舍尔稀奇古怪的绘画中混合以一种令人吃惊的错觉心理方式榑到示范，

也许是到我应该说一下数学本身的美学部分的时候了，一些极端的纯数学家把他们的工作看成完全是一种艺术形式并以其内在的优美来评价它。你们中的大多数此时或彼时一定被某些数学论证的简单性和优美性留下深刻的印象从而承认其美学价值。事实上对简单性的追求从一种基本的意义上来说是所有科学研究的目的，我们寻找能够解释复杂现象的简单原则和思想，一个数学家的美感是他的研究工作中的重要向导之一。对一个数学家来说就像艺术家一样真理和美丽密切相连。

我想我已经说得够多的了，其目的是为了使你相信数学支撑着所有的科学并且它时刻发展着以为将来提供新的思想和技术。这是长远基础研究的终极例子，其应用出现于各个阶段但往往是在遥远的将来，我相信在这个国家中的那些有权决定研究资助的人们将把这牢牢记在心头。

[Bulletin，1995年5~6月］