数学是一种语言
世界不断展现在我们眼前，但如果不学会全面领悟描写它的语言和不懂得解释表述它的字符，就不能了解它，数学则是描写世界的语言......
伽利略（1623）
纯数学不是一个独立的知识领域，而是颇有些像一门完整的通用语言。
尼尔斯 · 玻尔
数学是一种重要的语言，因为很多的发现——尤其是物理学的发现——实际上都不可能用非数学的方法阐述。数学的语法很难，有一些数学猜想需要上百年后才被证明。由于这些困难，纯数学家仅仅研究数学内在联系而不涉及任何应用就有足够的工作要做。虽然如此，仅研究纯数学有点像学习一门语言，而决不用它来与人们进行真正的交谈。有许多人认为数学不只是一种语言，数学真理允许独立存在，并且依靠纯粹的推理而不用与现实世界进行任何接触就能找到它：
在纯粹数学中，我们想象绝对真理在晨星齐唱之前就存在于神的心中，并且会在这些闪光的天使全部从天空降落之后，继续存在。
爱德华 · 埃弗雷特（1794-1865）
如果我没有搞错的话，正如物质世界的存在一样，存在着一个完整的世界，那就是全部的数学真理；我们只能用我们的头脑接近这个世界，它与另一个独立于我们之外的世界相像，二者都是神创造的。
H · 查尔斯（1822-1901）
当埃斯库罗斯（希腊的悲剧诗人）被遗忘的时候，阿基米德则被铭记，这是因为语言会死亡而数学思想却不灭。“不灭”也许是愚蠢的词，但是，一个数学家或许会遇到对他来说不管意味着什么的最好机遇。
C · H · 哈代（1877-1947）
人们不能摆脱这样的感觉，即这些数学公式独立存在，并且有它们自己的智力，它们比我们聪明，甚至比它们的，发现者聪明，我们从它们那里得到的比原先我们投入到它们那里的多。
H · 赫兹
很容易得出这样的结论：圆，素数，黎曼的ζ函数…都是独立、永恒存在的，并且真实世界的任何物体都只是这些永恒“纯思维”不完美的类似物。哲学上的这一结果是唯心论，它是德国的哲学家康德和黑格尔提出的。实际上，康德使用了数学作为他的论点的一个例证：
数学科学给出了如何利用纯推理而不是借助经验成功地扩大其研究领域的最辉煌例子。
伊曼纽尔 · 康德（1724-1804）
丹齐克对纯理论推理令人惊讶的实用性做了一个有趣的比喻：
数学家可以和服装设计师相比较，不过他完全不考虑什么样的人适合穿他所设计的服装。确实，他的手艺原是为了满足这些人的穿衣需要的，不过，那是很久以前的事了；现在，偶尔遇见某人身材适合他设计的服装，好像他的服装就是为这身材做的，这时他就感到无限的惊奇和快乐。
丹齐克
数学理论不是真理，但是有利于某个时代
…经过自然选择，我们的大脑已经习惯于客观世界的环境。我们已经认识到几何学对人类十分有利，或者说十分方便。几何学不是真理，但它很有用。
J · H · 庞加莱（1854-1912）
一个新的科学真理不是靠使反对者信服和领会它才获得了胜利，而是因为反对者的最终死亡和熟悉它的新一代人成长了。
M · 普朗克
数学是一门艺术。因此它有自己的风格和风格时期。它不是像外行和哲学家（他们也是这个问题的外行）想象的那样根本就不能改变，数学主题像所有的艺术那样随着一个个时代悄然地变化着。对待伟大艺术的发展绝不要忽略同一时代的数学（毫无疑义这是有益的）。
O · 斯彭格勒（1880-1936）
数学是一个图书馆
数学像是一个图书馆，它被寻找问题解答的各个领域的科学家和工程师使用。数学的主要贡献在于它能用不带色彩的语言重新阐述互不相关的领域中发现的问题（和解法），因而它充当了有关问题及其解法的结构知识的情报交换所。数学家通过这样的图书馆来指导“读者”，还就读者经常询问的问题写成一些书。
数学既不是“科学的王后”（高斯），也不是“科学的女仆”（埃里克T贝尔，1883-1960），而其重要作用之一是充当图书管理员。
一个问题的解答通常领先于它的数学形式的处理
通常，当数学家、物理学家和工程师了解了某个问题的结构并找出解决办法之后，才着手对它进行深入地理解和严密的研究。Blechmann，Myskis和Panovko三位应用数学家对这个观点作了最好的表述：
数学的核心是由具体的例子和具体的问题构成的。伟大的理论通常来自对少数深刻认识的事后思考；而认识本身又产生于一些具体的、特殊的情况。
…所有伟大的数学都来源于特殊的情况和具体的例子。对于表面上十分普遍的概念，其每一个实例本质上都与少数具体的特殊情况相同，这在数学中很常见。
P · 哈尔默斯
由于一些数学课本中引用了需要几十年才能完成和达到应用的例子，因此使一些学生对它们产生至高无上的优越感。这是不确切的，也是危险的。科学技术的突破常常与数学密切相关，但科学技术突破不是单独由数学家完成的，尤其不是由那些认为数学应用滞后于（科学技术）的人完成的。
只是因为我不懂得消化过程就要拒绝好吃的美餐吗？[批评所谓使用拉普拉斯形式变换的微积分是因为没有充分研究和理解拉普拉斯变换的理论的说法。]
H · 奥利弗（1850-1925）
绝对的严格是一个神话
大多数数学家和非数学家都公认，严格是数学最显著的特征。其实，严格是相对而言的。严格的程度包括：会上随意发表的意见，较为严格的期刊上发表的论文，以致能用机械的定理验证的形式语言表达的内容。此外，更严格的推理和更直观的推断也是可以互换的。大部分数学定理在他们被证明之前都是猜测的。大多数统计关系是在采用试探性方法发现后才被认为有意义的。
数学不是小心沿着宽敞的高速公路前进的行程，而是到陌生荒野中的一次旅行，在那里探险者经常迷路。严格是后来的历史学家绘制地图的觇标，而真正的探险者这时已经到别处去了。
W. S. Anglin
科学的重点问题不是复杂化的数学形式主义或仪式化的实验，相反，科学的核心是一种很想知道到底将要发生什么的明智的诚实！
S · 西拉格
在某些领域中，数学的使用允许增加严格的程度。但既不要增加得太多，也不要增加得太少，总之，数学的这种“绝对严格”是一个神话。
有一个严格与真实世界相关的不确定性原则
除了在更严格的推理和更具探索性的推理之间存在互换关系外，在严格和相关的真实世界之间也存在互换关系：
凡是涉及现实的数学定律都是不确定的；反之，不涉及现实的数学定律是确定的。
爱因斯坦（1879-1955）
虽然数学便于把某些类型的规则同我们的理解力联系起来，但它没有给我们说明它们的真实性。欧几里得几何曾经被认为是对客观世界的精确描述，唯一被精确描述的世界是欧几里得几何世界。
A · N · 怀特黑德
如果科学推理只局限于算术的逻辑过程，则我们对物理世界的了解不会走得太远。用概率论数学，人们一样可以设法彻底领会扑克牌游戏。
万尼瓦尔 · 布什
因此，数学命题同样都有一致公认的确定性。这种确定性就像“所有单身汉都是未婚男子”这样典型命题的确定性，但是它们完全缺乏与其确定性相关的经验内容，数学命题没有实际内容，它们不传送有关主题内容的任何信息。
亨普尔 · 卡尔
数学的主要功能一一解答问题的结果
数学结果的美及其简明性常常受到赞美和神秘化：
数学家迷恋他所创立的形式的令人惊异的美，并发现这些美中存在着永恒的真理。
J · B · 肖
数学揭示或阐明的思想领域，对它所引导出的神圣的美和规则的深入思考，它各部分的协调连接，它所涉及的真理的无限层次结构和绝对证明等等，所有这一切都是人类看重数学课题的最可靠的理由，这是不容置疑的，也是不可诋毁的。如果宇宙的平面图能像一幅地图一样在我们的支配下展开，人类的思想有能力在一瞬间将整个创造计划全部吸收的话。
J · J · 西尔维斯特
像过去一样，激发现代数学家创造性的不是数学最终的实际应用前景，而是数学技巧，这仅仅是因为他们对对称性、简单性和普遍性的感知以及对事物的合理性有一种难以确切表达的意识。
埃里克T · 贝尔（1883-1960）
数学有它自己的美。例如：结果的对称性和比例没有多余、手段正好适合目标，数学的这些显著特征只有在伟大的美的著作中才能找到。在正确表达美的主题时，内心的感情应该是对美的享受的感情，而不是丑陋和不愉快带来的厌恶的感情。
J · W · A · 扬
分析思考与简易计算是这里要说明的两点。解决复杂问题的关键就是根据真实世界的一些特征概括出一个问题的几个方面，然后加以分析。分析思考可得出关于这个问题几个不同方面的简单（因此是美的）真理。分析思考的主要作用是简化问题的复杂性。数学无论什么时候获得应用，都意味着某些计算。由于20世纪以前人类是唯一的“计算机”，那时一个问题的“难点”、“价值”或“复杂性”，直接与其可用的解答方法的“简单性”和“美”相关。因此，“闭合式解”、“分析解”和“特殊函数”很重要。
在证明和求解的过程中，什么东西确实能给予我们优美的感觉呢？那就是不同部分之间的协调、对称和恰当的比例；总之，这一切就是引入规则，建立统一性并使我们能清晰地立即明白和理解整体与其细节的东西。
J · H · 波因凯尔（1854-1912）
科学的目的是寻找复杂事实最简单的解释。由于简单是我们追求的目标，因此我们往往陷入事实都是简单的这样的错误思想中。所有自然哲学家的人生座右铭应该是，“寻求简单，但不相信简单。”
A · N · 怀特黑德
电子计算机的出现永远改变了数学
算法替代了公式，作为表示结构知识的最小单位。如上面所论述的那样，“闭合式解”是“人计算机”解题的算法。当进行基本计算的方法发生变化时，数学的“内在目的性功能”也发生了变化。人们应当寻找公式严密的快速算法，而不应再寻找简单（即美丽）的公式。
遗憾的是算法理论和复杂性理论——其现在对数学的重要性如同基础代数和分析一样重要——既不是中学数学课讲授的数学，也不是在大学数学系教授的数学。
总之，足够的计算能力使数学结果具有更广泛的潜在可用性对社会具有更大的影响。
纯数学和应用数学的区别是人为的
像上面所说那样，严格是相对的。可用性也一样。如何解积分方程对于工程师来说可能是“理论”问题，而对研究算子理论的数学家来说则是“应用”问题。事实上，任何数学的结果都会被一些人认为是“纯应用”，而另一些人则认为是“纯理论”。
数学家总是有应用性的问题。一些人承认应用是必要的，但都坚持认为不应去探索它。一些人完全彻底地否定它，一些人蔑视“肮脏的”应用，看不起“下等的”应用数学家：
实际应用不是通过探索发现的，可以说整个社会文明的进程都是建立在这个原则基础上的。
雅克 · 哈克马德
数学无论多么抽象，都没有这样的分支，可以在某一天用于说明真实世界的现象。
Nikolai Lobachevsky
纯数学从来都不是对任何人都有任何用处的。
Henry John Stephen Smith（1826-1883）
科学家研究大自然不是因为它有用，而是因为喜欢它，喜欢它是因为它美。
Jules Henri Poincare
的确，傅立叶主张数学的首要目标是大众化的用途和对自然现象的解释；但是，像他那样的哲学家应该知道科学的唯一目的是人类智力的荣耀，因此，一个关于数的问题与一个关于世界体系的问题具有同样的意义。
Card Jacobi
我喜欢数学仅仅因为它像一门有创造性的艺术。
Godfrey H. Hardy（1877-1947）
从总体上看纯数学显然比应用数学更有用。因为最有用的是数学方法，而数学方法主要是通过纯数学，来教授的。
Godfrey H. Hardy（1877-1947）
咳，与真实世界没有任何关系的科学都死了。或者，你必须把它叫作艺术，并去寻找喜爱它的人们。用切比雪夫的话说：
把数学从科学的实际需要中分离出来，就是使母牛远离公牛而不孕。
Chebyshev
如果数学家不考虑应用问题而宁可相信数学思想是独立存在的，把它看成一尊美丽的神，或认为纯数学优于其他任何科学（科学的王后），是绝对严格的科学，等等，那么他们似乎只有在定理证明方面表现得较为出色些。这也许可以解释“纯”数学家们提出的一些主张。然而，一些数学家的傲慢态度有时会引起反响：
如果让只是仅仅懂得实数正确定义的人去设计桥梁，桥梁肯定不会安全。
Norman David Mermin（1935）
数学的本质是它对社会的巨大影响
数学不是由美丽、严格、分析思想和类似的东西定义的。这些东西是表面的。数学的本质是它对社会的巨大影响，每一代数学家都对此重新定义。它的本质是：
· 它是大多数科学家不可缺少的语言。
· 它是被科学家和工程师使用的结构问题和它们的解决方案的信息交换所。
· 它是隐藏的关键技术（关键：是因为许多最新科学技术的突破都与数学理论或计算技术的突破有关；隐藏：是因为使用者很少看到高技术装置中包含有数学）。
· 由于计算能力的扩大和软件工程技术的发展，数学对科学技术的影响越来越大。
· 它对一些人来说是一门艺术。
[材料来源自因特网]