尽管早在毕达哥拉斯的时代，数学原理就被人们视为是音乐现象的基石，但在面对微妙复杂的音乐现象时，仍不免常常有无所适从之感。例如，要想简单地判定什么样的音调结构恰当，或者在什么情况下两种音调才是“相同的”，就是一件非常困难的事。我们既不能将虽同名、但却分属不同八音度的音调(比如2个不同的C调)视为相同，也不能仅关注不同音调(比如升C调和D降半音)之间的差异——尽管这两个音调在钢琴上都只是一个音符，但它们常常在很不一样的音乐场景中使用。
对于泛音结构，由于它们不是单音符音而是和弦，所以更显复杂。试问，如果将构成和弦的两种声音交换一下音符，组成的和弦还会和原来相同吗？具有两种C调由4个音符奏出的和弦会比具有一种C调、由3个音符奏出的和弦低吗？乐器的曲调又会如何呢？
图示记谱法
为了回答类似上面的疑问，普林斯顿大学的音乐教授兼作曲家和音乐理论家的蒂姆兹科（Tymoczko）采用了一种图示记谱法，试图揭示音乐的奥秘。他曾在《科学》杂志（Science 2006,v313 No.7）上发表的一篇文章中详细阐明了他的思路，即西方音乐理论家们惯常按照不同的类型对和弦分类(如大调三和弦)，并将这些和弦依照其在某一合适空间中的转换(变调)或某些情形下再加上对其的呼应(转位)进行分群，并将音调空间视为不连续的，以便能在钢琴上演奏半音音阶。
蒂姆兹科采用几何方法揭示和弦音乐
但是现在的问题是需要考虑更大的空间，以使和弦能在其中连续变化。各种均衡关系使分割的空间形成了一个聚类(通过“粘合”相等的点而得到)，并根据它们的行为形成群结构。蒂姆兹科证明，这是一项令人激动的研究，因为它从更为一般的意义上体现了这些空间，并将空间的几何特性同用以展现和弦的音乐表现联系在一起。
尽管“数学音乐理论”对于实践型音乐家(甚至对许多专业的音乐理论家)来说，还是一块陌生的领域。但最近几年，它已发展成为一门具有相当规模的表现丰富的专业。音调分级集合论(Pitch-class set theory)，是一项对离散的12音符分割空间的研究，目前它已发展成为与20世纪“次调”音乐所提出的分析需求相对照的方法，其泛音素材比那些较早期的音乐素材更富变化，也更显复杂；全音阶集合论(Diatonic set theory)则以每一八音度——在许多不同音乐风格中它都是最重要的音阶类型——取7个不相同的空间音符，研究了12音符半音与诸如C大音阶间精巧而又眩目的关系，而音阶论(Scale theory)更广泛地研究了音阶及其次音阶的结构特性，可以在半音和全音基调同时发生变化，并间或作为调音及音响效果所要考虑的事。
贝多芬小提琴奏鸣曲：“春天”第二乐章第37～54小节的泛音设计
新黎曼理论
在过去的20年间，对音乐空间进行变换群操作已被证明在各种配曲中是极为有效的模型。变换是用于描述和弦(或其他音乐实体)间关系的数学函数；它们常常构成代数群并代表了音乐概念中音程之间的密切关系。
一个特别活跃的领域是新黎曼理论(neo-Riemannian theory)，它将现代群论技术和多产的德国音乐研究家雨果·黎曼(1849～1919)以及他的同时代人的成果综合在一起。新黎曼理论的基本形式，是以代数的方式、音乐的联想以及各种便捷的可视化图示形式——如著名的Tonnetz网络(即基音网络)：一种用于对乐曲所经历的泛音路径进行定位的网络——研究某些在12大调和12小调三和弦间的转换关系。
在Tonnetz网络表示方法中，背景图(点线表示)的以12为模的数字标示音调的级别(在八音度相等假设下的音调)，从C=0到B=11。它们的排列取决于音乐意义上重要的音程：取决于完全的五度音程(音程7-斜线)，大调三度音程(音程4-垂直线)，以及小调三度音程(音程3-水平线)。
这张二维图是一张展开的环状曲面，它的右边缘与左边相接，而上边缘则与底部相接。图中的实线箭头表示大调和小调三和弦(各自标示于较上和较下的位置)，位于背景上由对应的和弦级别所构成的三角形中。例如，B降半音大调三和弦包括音符B降半音(音调级别10)，D(音调级别2)和F(音调级别5)。每个三和弦分配到其对面模式的3个不同三和弦所表示的音符中的2个。这些模式与转换P(平行转换，箭头表示)、R(相关，箭头表示)，以及L(导音互换，箭头表示)有关，其中L转换产生一个24级的二面体群，它是同具有12条边的多边形的旋转和映射形成的群是同构的。
“和弦的空间”
弦论数学理论示意图
每种转换均显示出有效的声部领唱，保持两个音调级别，并通过一小的音程去除了三度音程；箭头的颜色始终是和与其相交的点线相同的。贝多芬作品和弦的相继进行(在图中突出显示并扩展到图的底部)显现出一个绕环状曲面循环的PL组成的圈，它从B降半音大调开始，又结束于B降半音大调，其轨迹图形说明，合成后的转换PLPLPL是群中被标出的元素。
Tonnetz方法仅仅是目前许多种用以表示音乐空间的几何学方法之一。该方法最新的研究结果已将新黎曼方法拓展为能容纳更大和更强的转换群，以适应有别于三和弦的其他音调类型，以及其他各个方面。除了群论和其他代数技巧，源于图论、组合论、几何学，以及拓扑学的思想已在音乐学中得到应用。蒂姆兹科等人的研究工作的一大吸引力是它的通用性：将上述所有这些技巧和策略统统包罗在一个颇有创新特色的和弦空间之中，可以回答人们用Tonnetz图以及许多其他为人熟知的工具如子空间、投影以及断面等所论述的“所有和弦的空间”实际上意味着什么的问题。
这里所说的空间是一种被称为orbifold的数学概念，其所有点的几何性质都是局部非欧几里德的。蒂姆兹科等人的研究工作中其他有价值的贡献还包括：对于谐和、不谐和这种难以理解的概念，对于空间对称性和丰富多彩的音乐实践之间的联系，以及许多在历来被视作成功乐曲标志的有效的和弦对和弦声部领唱中所隐含的东西，提供了一个全新的视角。