一、前言
十来年前，加利福尼亚大学的L · A · 柴德教授提出了模糊集合的概念，它是普通集合的拓广。目前，在日本研究所谓“暧昧理论”的人激增；在世界范围内这方面的论文也很多，模糊集合的思想已甚为风行。由于给我指定的题目是“理论的发展”，要增添其他内容就相当困难，所以本文仅就模糊集合论加以说明。至于以模糊集合为基础的模糊代数，请参阅水本雅晴的大作[6]。
二、模糊集合的定义
设X为普通意义下的任一集合。记X的元为x。X的子集合E，可由下面定义的函数给出：
若以这样定义的函数来看上述集合，它们都是些像0和1那样能清楚区分的集合。然而，当我们注意到想要区分事物的认识主体时，情况就稍有不同了。事实上，我们常常说到的往往是些与外界不能清楚区分开来的集合。试看一个被一再引用的例子——“富有魅力的女性集合”。在说到这个集合时，我们并不感到别扭；可是所谓“富有魅力者”，当然是个带有主观性、因人而异的概念，而且，它和与它相对立的“没有魅力的女性集合”之间，无法划定明确的界线。这样一来，虽然对包含在集合内部的事物或与外界相对应的它的对立面都有所规定，但由于我们自有主张，所以往往会略微超出现定的界线。也就是说，我们得留意作为相同概念来使用的“区分”这个词，如“我来区分”和“你来区分”就有差异（对幼儿来说，即使对于普通集合——例如“自然数的集合”，他们也不能加以区分）。因此，为了得到尚未能确定的“富有魅力的女性集合”，就要把原来的集合概念加以推广，这就是模糊集合。这对于缺少理性思维的人来说也不会感到困难。
按柴德的定义，“所谓无中的模糊集合（类）A，就是用X中各点x在实数区间［0，1]上对应的从属函数hA（x）来表征的集合。”由x和hA（x）的有序对的集合来表示模糊集合十分方便，也即
模糊集合可用映射h：X→［0，1]表示，若再把它拓广，就能得到L-模糊集合[2]这一概念。用一般的格L来代替区间，就可定义“h：X→L（这样的）映射h为L-模糊集合”。这如同在表示集合E时曾把定义函数XE叫作集合一样；为此，必须改变集合这一词的含义，想来大家都能理解这一推广了的概念。
无论何种定义，都不得不接受这样的规定：模糊集合常常是某一个非模糊集合扩张后的子集（起初曾考虑过能否把模糊集合跟非模糊集合在同一等级上加以定义，这个问题虽然有趣，但它与数学的基础理论有关，已超出了作者力所能及的范围）。
对于模糊集合的并、交、补、包含关系等可由从属函数间的运算来定义：
如果把模糊集合论仅仅看作定义函数的扩张，那就太单纯，从理论上深入探讨的余地也就没有了；然而，引入这种思想和模糊性概念无疑是个杰出的成就。关于模糊集合论的应用有两种类型：一是把用非模糊集合记述的东西换成模糊集合；另一类则是应用模糊性的概念。例如，模糊关系[1]这一概念就是前者的典型例子；而后者可以举出模糊算法[8]作为例子。
三、模糊性的概念
在模糊集合论中，最重要的，也是唯一的概念就是模糊性概念；查德把它和概率论中的随机性概念加以比较。这里，随机性这个词意味着在概率现象中所见到的对象性质的不确定性；而模糊性与随机性有着不同的含义，它起因于人的主观性，与其说它取决于对象的性质，还不如说它意味着属于主观认识方面的暧昧性（某特定的女性是否富有魅力，这个问题带有模糊性，而并不具有随机性）。在模糊集合论中，具体地说就是用“在模糊集合中x的从属程度”这一概念来表示模糊性。模糊性和人类丰富的认识能力相结合，就能得到模糊集合的概念。这里包含着必然性。
如果用不确定性这个词来表示不确实知道的事物或事件，那么由于模糊集合论的提出，不确定性就大致分成了随机性（客观的不确定性）与模糊性主观的不确定性）两大类。一方面，在概率论中有主观概率这一概念，虽然它也表示主观的不确定性，但它还是产生于跟概率现象具有相同等级的理性的主观性；模糊性跟它则稍有不同。总而言之，模糊性这个概念，可以说是“在主体与对象之间的错综复杂关系之中，被窥见的暧昧程度”。
概率测度P（ · ）因为具备g（ · ）的所有性质，所以可看作是模糊测度的一种。这里，模糊测度一般解释为计量模糊程度的主观性测度（与主观概率相似，但更带随意性）。模糊集合论的从属程度这一概念，可以看作是模糊测度论的模糊程度概念的特例[15]。至此，随机性与模糊性就可以在同一等级上进行比较。
四、模糊集合的运算
如在第二节中叙述的那样，存在着模糊集合的并及交的定义是否唯一这个问题。我们感觉到，用∨定义并、用∧定义交要比代数和、代数积的意义更为清楚。即使不是唯一的定义，也不应把非模糊集合的并、交等随意地代数地扩张。这里，必须要有现实性。那么，在∨与∧的定义中有着怎样的现实性（或合理性）呢？R · 贝尔曼、M · 基尔茨、L · W · 冯和K · S · 傅等人对此都有研究。这里首先介绍贝尔曼等人的成果。以
试看区间［0，1]，它有公理7、8中的下界与上界，且与S同相，所以作为二元运算的∨与∧是允许的。
这样，由∨和∧来定义并和交的合理性已用两种方法加以说明；剩下的问题只是这些条件或公理，究竟是否很好地表现了作为我们研究对象的现实世界。
五、从属函数的确定
想要在具体问题中应用模糊集合论，常常遇到的问题是如何确定（测定）从属函数。关于这个问题，还没有确立一般的方法；但已有下面的看法，即并不存在对任何问题，或者对任何人都适用的确定从属函数的方法，因为模糊集合说到底毕竟是依赖于主观随意性的东西。如果对不同个人都适用的确定方法早就已知的话，所谓“模糊性”也就不存在了。也有人认为模糊性过于依赖主观随意性，所以就没有什么确定的方法可言，L · W · 冯和K · S · 傅[12]就是这样看问题的。
他们提出要减少“过渡的主观性”，有必要根据“合理的主观性”来确定从属函数。他们提出了
（1）构成测定从属函数所需的尺度；
（2）根据族来决定的方法；
然而，也没有提出具体的、有用的算法。那么，对于模糊性究竟应该怎么办才好呢？我们暂且撇开从属函数问题不谈。当测定或计量一般的主观性时，首先遇到的问题就是，能否在主观性本身的“波动”下，描画出一个不变的轮廓；这里的主观性是根据测定者给出的被检验者的一般环境、对被检验者的提问以及他所提供的资料等得出的。关于主观性，把它看成量子力学中的测不准原理不知是否恰当。（如果是这样的话，主观性就成了永远汲不尽的源泉，人对机器的优越性也就不可动摇的了。顺便说一下，相对于理性——合理性，心情、直观——主观性要置于更高的位置；在作为近代合理主义起点的17世纪、非合理主义的创始人巴斯噶曾经说过，心情作为一种认识方法确实高于理性。在模糊集合论中，这种非合理主义的主观性起着主要的作用。）
再回到本题上来。某一个从属函数可由其它从属函数合成得到，或者用间接方法确定。例如，当某一概念是其它几个初始概念的复合概念，或是其它概念的修饰概念时，只要基础概念的从属函数已经确定，通过适当的运算便能求得新概念的从属函数。这个方法，由于那些基础概念的从属函数大多很简单，所以具有易于测定这样的优点。而通过普通的加减等运算所得到的新从属函数，不知能否期待它日趋正确。对此我们可参考查德的研究[11]。例如，已经确定了“老人”这一模糊集合的从属函数，若能确定对修饰语“很”的附加运算，便可算出属于“很老的人”这一模糊集合的从属函数。
例如，对于50岁以上的人，设年龄为x，就有
它是对应于概率期望的一个量，被称为由g确定的模糊期望。这种方法着眼于由某人主观确定的从属函数的内部构造。因为g（ · ）易于由实验确定，所以可以说Pa是客观地确定的。
六、结语
在模糊集合的研究中，也有人在考虑另一种依赖于时间的模糊集合[7]。设X(t）为在时间t中的模糊集合，X(t）的依赖于时间的模糊集合A(t）具有如下的从属函数：
这种想法对表现随时间变化的主观性等是有效的。还有一个饶有趣味的模糊拓扑 ~ 的概念。在模糊拓扑中，虽然模糊开集系与通常的开集系是以同样方法定义的，但邻域概念不是指点邻域，而是换成了模糊集合邻域这一概念。这是因为不能用模糊集合来讨论包含或者不包含某一点的问题。但至今尚无能显示这方面优点的具体应用。
以上，以思想方法为中心进行了叙述。文章的题目是《理论的发展》，我写得平淡无味。我这枯燥的文字如对读者学习模糊数学有所帮助，真是不胜荣幸。有片面不当之处，恳请读者指正。在模糊理论的发展背景里，作为近代合理定义的对立面，在工科领域内有可能看到主观主义的复活，但为时尚早。
在“数理科学”杂志1973年12月号中有丰富的参考文献，请读者一并参阅。
[システムと制御，19卷第五期1975年]