法国La Recherche（研究）杂志，在其纪念100期的特大号中，刊载了一组文章，反映了近年来各门学科的进展，值得介绍。

数学家对旧方式发生了特别兴趣。最新的进展，是解决那些往往在几世纪以前就提出的问题。

要知道数学家在做些什么，往往十分困难。如果人们能用一种较通俗的语言说出他们正在研究的问题，那么，这些问题可能就显得不精确甚至无价值。一个专业的问题不可能被其他专业的数学家所注意，他们也不会对它进行仔细的研究。因此，介绍数学研究方面的全部情况远远超出了我的能力范围，但我愿意指出数学研究的一些重要特点，并且作为举例谈一些我认为是值得注意的成果。

在过去一个时期里，出现了许多强有力的一般理论方法，如同调代数、代数拓扑、格劳尼迪克（Grothendieck）代数几何（图论）等。而最近的十年，则转向研究更“具体”的数学特殊问题，往往是过去就吸引注意的问题。这种倾向甚至在高等教育中也感觉到了，布尔巴基（Bourbaki）时代及基本结构论已经结束。我说不出这个倾向在多大程度上受到数学发展的内在动力或流行思潮的影响，因为“科学”的特有形象在公众的观念里已经损坏并提出科学工作者的实践的社会地位如何的问题。

从曲面到数论

哥德巴赫猜想（1742年）是一个古老的问题，它认为一切偶数是两个素数之和。最近，人们对这个问题的研究有了进展。中国数学家陈景润证明，任何一个足够大的偶数都是一个素数和另一个至多有两个素数因子的数之和（1966年；他1973年发表的计算证明已经简化，并发展了分析数论）。在代数几何方面，趋向于深入研究某些簇，如本世纪初意大利几何学家就已经注意到的某些曲面类型。当时，格劳尼迪克所发展的工具已经能给出线性偏微分方程的一般几何理论（佐藤，柏原）。不久前（1973年），皮 · 德利涅（P. Deligne）运用这门学科的全部技巧证明了阿 · 韦尔（A. Weil）的猜想，这是在代数几何方面取得的最佳成果之一。阿 · 韦尔1949年提出的这些猜想涉及到一个“才塔函数”，该“才塔函数”与著名的黎曼（Riemann）函数相似，并与由一个有限体所限定的代数簇相对。皮 · 德利涅的成果产生了许多有趣的结果，尤其是在数论方面。1969年他提出，某些狄利克雷（Dirichlet）级数∑a_nn^-8可以解释为代数簇的才塔函数，根据阿 · 韦尔的猜想，他作出了当n很大时的系数a_n的估计。

攻克新超越数

超越数（即不是任何整系数代数方程的根）理论也恢复了活力。这是阿 · 巴凯（A. Baker）对某些有关代数数对数的线性形式的减值或增值进行研究的结果（1966 ~ 1969年），从而提出其中的一些数就是超越数。同样的技巧使一些丢番图方程（未知数为整数的整系数多项式方程）的解增强了，并发现这些解的数目有限。譬如，勒 · 提德曼（R. Tijdeman）在1976年证明，方程式只有一个整数解。这是走向解决卡塔朗（Catalan）猜测（1844年）的重要一步。根据卡塔朗猜测，“唯一”的解是x=q=3，y=p=2（3²=9=8+1=2³+1）。

被吉 · 马蒂雅斯维克（J. Matijasevic）1970年以否定的答解决的希耳伯特（Hilbert）第十问题，也涉及到丢番图方程。希耳伯特提出，是否有可能建立一个可以断定所有丢番图方程P（x₁…x₂）=0的算法，不管这个方程有无解。马蒂雅斯维克已经基本上证明，希耳伯特所要求的算法是不可能的，并证明存在着人们无法决定是否有解的丢番图方程。他的成果产生了许多出乎意料的肯定结论，例如存在着全部正值实际上就是全部素数的21元整系数多项式（符号任意）。

我宁愿把恢复对实际计算问题的兴趣同上述成果联系起来，而不愿把它同大型计算机联系起来。

四色地图问题的解决，笔算无法计算6000位以上的数

然而，计算机在某些方面的研究却开始显示出重要性，如关于大素数（1978年发现的最大素数是Mersenne数2²¹⁷⁰¹-1，达6000位数以上）和有限单群的研究。我们已知一些单群列，如可以推导出单纯李群的交换群An（n≥5）。但还有一些不在这些列之内的而个别出现的单群。据计算，这样的群有23个，并推测还有其他三个存在，其中的一些群元数很多（达好几个十位数）。但这些群的存在只能借助于计算机才能鉴定。其中有一个群只鉴定过一次，它的存在仍然值得怀疑。专家们希望在今后几年里完成全部分类。

此外，在另一个靠近边缘一点的领域里，不久以前人们利用计算机还解决了一个古老的猜想，即著名的四色问题。任何地图着色时，可以用不多于四种颜色，两个接壤的国家不使用相同的色彩。1976年，科 · 阿贝尔和维 · 哈肯（K. Appel，W. Haken）在确定所有的地图至少含有一个由大约1500个可约构形的地理单位所组成的形状以后，得到了这个结果。也就是说，可约构形是不可能含于国家数较少的地图上的。对这些构形的分析需要一架大型电子计算机作上千小时的运算，而这如果依靠数学家们所习惯的“笔算”来证明是不可能的。因此，继较“短”证明的定理和未定的命题之后，就出现了第三种只有用计算机手段进行大型运算才能证明的命题类型。

各个不同数学分支之间的相互影响的重要性——无疑人们在上述学科中已注意到了——并不是当代的特有标志，相反，各种数学理论的融合（趋向可以从数论方面来确定）往往不为许多过于执着本专业的数学家所重视。近些年来，越来越严重的就业问题，使竞争更猛烈。而为了快出成果，就使年轻的数学家们专业更狭窄。这些困难使希望走数学研究道路的学生丧失了勇气。所以，人们非常担心这种研究活动（在这方面，法国依然在世界上居于领先地位）在短期内会窒息。同样，随着数学研究的窒息，随着内阁关于师资培养计划的破产，中学教育也会出现悲剧性的局面。

[La Recherche1979年5月10卷100期507~508页]

______________

* 北巴黎大学数学教授。