一九六五年，加利福尼亚大学的柴德教授发表了题为“模糊集合”的论文，模糊数学从此产生。模糊数学从许多事物中抽象出模糊性这个概念，并为记述和处理模糊事物提供一种方法。过去，对不定的、模棱两可的事物作定性考察和定量处理时，广泛使用概率——也就是随机性的概念。然而，概率论处理不了现实生活中的全部模糊性事物；因此，模糊数学是作为定量处理模糊事物的方法出现的。

模糊集合概念提出以来，已发表了许多研究成果，从基础理论到实际应用，涉及面很广。各国学者对此十分关心，很感兴趣。在工程实际中，它已应用到自动控制、模式识别、系统工程、人工智能、机器人、机械工程、学习模型、自动机、语言、逻辑、决策、动态程序设计、聚类分析、程序理论等许多方面，取得了一系列成果。目前，不仅在工程技术上，即使在被称为软科学的社会科学、经济学、心理学、语言学、医学等领域内，也引入了模糊集合概念，正在取得令人感兴趣的结果。

正在继续探索模糊集合在多方面的应用。以下简述迄今为止对模糊集合及其应用的研究概况。

首先是对模糊集合本身作基础的研究。由模糊集合导出的模糊关系、模糊映射、模糊集合的象、凸（凹）模糊集合、条件模糊集合、模糊顺序关系等有趣的概念都能以一定的格式表示，因而这种研究已成为应用模糊集合的基础。在模糊集合中，从属函数的值域推广到了［0，1]，这样可定义作为半序集合、格、格半群、模糊集合族的L-模糊集合和模糊集合等，从而得到意味深长的性质，扩大了模糊理论的应用范围。此外，若求出了模糊事物的概率测度，就能推得模糊事物的平均值、离散、熵等概念。作为对于模糊集合本身模糊性的度量，就能建立起模糊熵的概念。由于求得了作为勒贝格积分的推广的模糊积分，因而正在探索在诸如博弈、模型类似度评判、表情主观评判、居住问题等人的择优测度方面的应用。最后，它在拓扑、范畴、图论、几何学等数学分支上的应用也是饶有风趣的。

作为在控制工程上的应用，由于引入了模糊映射的概念，就能对模糊控制系统加以考察；在模糊观测、模糊控制的条件下，如果观测能趋于十分正确，从而显示出能够达到正确的目标，这就涉及到了模糊自动控制。对于以模糊自动机来操纵的（原子反应堆）设备控制、多峰点探索、随机媒质间的相互作用、博弈等学习控制上的应用，正在试验之中。它比概率自动机更为优越，这一点是很有意义的。在模糊约束、模糊目标确定了的模糊环境下，又提出了模糊决策问题，它适用于多段决定过程。更进一步使这些问题具有公理化形式，就能统一处理至今已知的极大极小决策以及具有控制和状态约束的时间最佳控制等问题；对于人机决策过程也正在研究之中。此外，根据对模糊决策的考察，对模糊数学规划也正在进行研究，探索它在控制上的应用。

再看模糊数学在模式识别上的应用。模式识别的概念或抽象化，可用模糊集合来说明，这就构成了与此相关的模糊集合族上的模式空间。再引入模糊细分划、合并等概念，研究如何根据模糊特征来说明模式类别。由于使用了凸模糊集合的分离定理，因而正在研究把多峰性模糊集合划分为单峰性模糊集合的方法。对模糊模式类已提出了很多聚类分析的方法；对于如何推定模糊函数，也已提供了某些方法。用模糊关系来表现模式之间的模式类似度的模式分类（例如脸部表情分类），正在研究之中。由于用模糊逻辑引入了心理学中的一对比较法，正在进行对模式作选择和识别的模拟。此外，根据模糊逻辑的联想记忆及其在模式识别上的应用，也是很有价值的。由模糊程序产生的模糊线图的分析与自动编辑，正在试验之中；不分段的序贯模式识别也十分有趣。

在自动机方面，最初先把作为模式识别学习自动机的模糊自动机设法表示成一定的格式，而后对模糊自动机本身的性质——例如语言受理能力、闭包性、简约化等——进行研究。更进一步，把作为模糊自动机的扩展或变形的极大乘积自动机、极大极小自动机、合成模糊自动机、线性模糊自动机、模糊下推自动机、模糊图灵机、L-模糊自动机、R-模糊自动机、不分明模糊自动机、细胞模糊自动机、惩罚自动机等表示成一定的格式，便可使我们得到许多重要的性质。此外，对于由概率自动机产生的模糊事件的性质，也正在进行研究。一方面，模糊自动机凭借学习机能，它能应用在模式识别、（原子反应堆）设备控制、多峰点探索、随机媒质的相互作用、博弈、序贯模式识别、决策等方面；另一方面，它也被使用到了数据处理的成组算法、模糊程序、模糊语言的结构分析等方面。

为了填补自然语言与形式语言之间的差距，对于模糊语言词意和造句理论的研究目前很盛行。在词意理论方面、词意、词意规则、语言范畴、语言变量、条件语句、推理规则、语言真值等新概念已被表示成一定的格式。对至今在形式语言理论中不能巧妙处理的词意等问题，已能积极地给以说明。对于造句理论，首先应把作为模糊句法扩展、变形的程序句法、控制句法、树状句法等加以模糊化；然后再把这种模糊化了的模糊句法以及L-模糊句法、最大乘积句法、N重模糊句法、不分明模糊句法秦示为一定的格式。除了这些句法本身的性质之外，对它在图形记述、词意记述、语言学习等方面的应用，也正在研究之中。

模糊逻辑是通常的二值、多值逻辑的自然拓广，又是描述不精确系统的具体方法，对它的研究已受到普遍重视。主要是对于模糊逻辑函数（电路）性质的研究；其次，对模糊逻辑函数的分析与合成、寻求主项和最小项的算法以及逻辑电路的性质（例如冒险）等，也正在进行研究。关于给定输入分布的模糊逻辑函数的输出分布也在研究之中。对模糊神经元的研究，已提出了一些方案。此外，还得出了由模糊逻辑产生的导出原理。已开始对于用语言变量表示真值的模糊语言逻辑的研究，模糊译码法也在研究中。

在人工智能方面，正在制订模糊机器人的研究计划。与模糊机器人对话的问答系统目前正在制作。对于建立在考察模糊程序和模糊算法理论基础上的粗杂线图的自动编辑、驾驶模拟、手写文字的产生与学习等等的模拟实验，也正在进行。

最后，在心理学、社会科学、医学等方面的应用，如对于人的记忆、忘却、推理过程的模糊模拟的实验研究正在进行。此外，对于由模糊系统导出的经济系统模糊化，以及由模糊关系推出的洛尔理论，也在试验研究模糊逻辑函数还适用于医疗诊断理论，这是十分有趣的。

以上，简单叙述了迄今为止对模糊集合及其应用的研究成果。模糊集合诞生以来虽只经过了十来年，但各国学者对模糊理论的应用已进行了积极的研究。然而，到目前为止，占主要地位的还是理论性应用；希望今后在各个领域内，对模糊集合概念和它的实际应用，都能展开进一步的研究。

[システムと制御，第19卷，第5号，1975年]