肥皂膜对于一些数学问题，提供了求模拟解的简单方法。
本世纪五十年代出现的数字计算机，在六十年代与七十年代得到蓬勃的发展，结果使模拟计算机及模拟方法处于被冷落的地位。大部分的模拟计算机原来在设计的时候，其目的是为了解决某些特定的问题，而其精确度往往也只能达到两位数字。数字计算机则没有这些局限性。可是模拟计算机却有一个长处，即它能给问题迅速提供一个直观的解。最简单而又最引人入胜的模拟方法，便是利用肥皂膜的物理性质来解决问题。本文的目的便是想谈谈如何运用这种模拟方法来解决数学上的极小值问题。
热力学中有一个著名的原理：在固定的温度下，当一个物理系统处于热力学平衡状态时，它的自由能便达到极小值。这种物理系统可以是液体、固体、气体，或这三相的不同物质的组合。在由肥皂膜构成的系统中，其自由能F，与肥皂膜的面积A成正比，即是说F=σA，其中σ是肥皂膜的表面张力，在固定温度下它是常数。因此，凡是要求表面积为极小值的数学问题，便可以用肥皂膜来求出其模拟解。
考虑一个简单的问题：求一个圆环所包的最小面积。大家都知道，这个面积便是以圆环为界的圆盘的面积。关于这个问题，我们可以搞一个模拟解，其办法是把这个圆环浸入肥皂液中去，然后取出来，于是圆环上就会形成一层肥皂膜，当它达到热力学平衡状态时，就成圆盘的形状。在实际搞的时候，只要肥皂膜一静止下来，其表面便达到了热力学平衡状态，这其间一共只不过需要几秒钟而已。
一些实际问题
—个至今尚未能用解析方法解决的问题，是如何把平面上的若干个点，用最短的路程把它们连接起来。这个问题有许多实际应用，例如若干个市镇，要用最短的道路或水管，或电缆把它们连接起来。肥皂膜能为解决这种极短路程问题，提供一种简单的模拟方法。这种问题统称为斯泰纳问题，其得名的由来是因为十九世纪数学家斯泰纳Gacob Steiner最早研究这种问题，但直到本世纪四十年代，数学家古朗Richard Courant才使得解决这种问题的模拟方法广泛流行起来。
考虑一个用最短的公路把四个市镇连接起来的特殊问题。为方便起见，我们假定这四个市镇A、B、C、D是坐落在一个正方形的四个顶角上。根据图形的对称性，我们很自然地会猜想：连接这四个市镇的最短公路系统应该是x形的两条交叉直线（见图1a）。
在利用肥皂膜的极小面积的性质来解决四布镇问题之前，我们先来考察一个人人熟知的极小值问题，即求连接两点之间的最短路程的问题。其答案当然便是连接这两个点的直线。取两块平行的透明塑料板（2 - 甲基丙烯酸），用两根垂直于板面的大头针把它们联结起来（见图1b）。把这套装置浸入肥皂液之后，再取出来，于是两块塑料板之间，从一根大头针到另一根大头针，就会形成一层肥皂膜。由于对称性，这个肥皂膜将垂直于两块塑料板，而上下以两块塑料板为界。肥皂膜的形状，像一条宽度固定的带子，其面积与膜的长度成正比，当膜达到平衡状态时，它的面积、从而其长度，就达到了极小值，因而连接这两根大头针之间的肥皂膜的最后的形状便是一条直线。图1b中的那条曲线，是肥皂膜未达到平衡状态时的形状；后来到达平衡状态时，它就成了—条直线了。
现在用最短路程连接n个市镇的一般性问题的答案，就很明白了。我们在两块平行的塑料板中间，垂直地钉上N根大头针，它们按比例代表n个市镇的位置。然后依法浸出肥皂膜来，在平衡状态下塑料板之间所形成的肥皂膜就具有极小的长度，而所得的解里面，就总是会有若干个（大于或等于0个）三条三条相交的肥皂膜的交点，其交角都是120°，和四市镇问题里的情况一样。从物理上说来，这是由于在交点处因表面张力而生的三个相等的力处于平衡状态下所作用的结果。这一套肥皂膜总是把每一根本头针都连接上了，而任何一根大头针都只能有一条或两条肥皂膜与之相连接。如果一根大头针上有两条肥皂膜的话，则两条膜之间的夹角将是大于或等于120°。
—个问题在数学上可能有不止一个极小解，而肥皂膜总是取这些极小值中之一。为了挑出最短的一个，必须把所有这些极小解的图形全部搞出来。每一个极小解都相当于肥皂膜的某一个平衡状态的图形。要想取得不同的平衡状态的图形，可以先搞出一个平衡状态图形，然后再朝肥皂膜吹一吹，给它以扰动，让它跳到另一个平衡状态图形，这样就可以定出所有的极小图形。图2表示当图形的形状起变化时，肥皂膜的长度L的各种可能变化，当某个参数C变化时，肥皂膜的长度L就遍取所有的极小值图形。通过让肥皂膜从各种非平衡状态图形变到各种平衡状态图形（相当于图2中的C1，C2，C3等），可以使肥皂膜的形状发生变化。
现在还没有一个方法，能定出极小图形的总数究竟有多少个。我们现在只能通过扰动肥皂膜的图形，或是用各种不同的方式把塑料板一次又一次地往肥皂液里浸，有望把所有的平衡状态的图形都搞出来，而在这样搞的时候，往往会多次重复得到相同的图形。关于n个市镇问题，我们目前所能知道的只是：肥皂膜的交点，至多只能有（n-2）个，但实际上常常是小于此数。
多个极小值问题的例子之一，是要求出连接正六边形的六个顶点的最短的极小路程。有三个极小图形（图3a、b、c）。图3b、c各有四个交点，在这些交点上各有三个肥皂膜以120°角相交。这三个极小图形中，最短的一个是图3a，其路程的总长度可以根据120°角的性质算出，或通过直接度量来求得亦可。图3a是一个例子，说明这一类的情况中每一个大头针上各有两条肥皂膜以120°下限角相交。
如果这些大头针构成的六边形稍微变了形，不再是正六边形，则图3b及c仍类似原来的形状，还是四个交点。但图3a则变了样。凡是小于120°的顶角，原来有两条肥皂膜在那里相交的，现在交点移到里面些了，以致只有一条肥皂膜与这样的一只大头针相连接。但图3a仍保持其为最短的极小图形。
至此我们都是假定大头针的直径都为零。实际上，大头针总有一个小小的直径，这就会产生误差：大头针的有限的直径会使两条肥皂膜在这根大头针上的交角小于120°。如果大头针的直径为零，则交角就不可能小于120°。为了获得相当于直径为零时的那样的图形，就必须对着肥皂膜吹一下，给它—个扰动，使大头针两旁的两条肥皂膜粘在一起。这样一来，有限直径与零直径之间的唯一差别，便在于大头针本身所占的那部分地位没有肥皂膜。在计算及进行度量时，我们可以把肥皂膜的长度延伸到大头针的中心处，这样所得的结果，就和大头针的直径为零时所得的结果完全一样。
在解决最短路程问题时，还可以把地球的曲率也考虑进去。其办法是采取两个同心圆球壳，用垂直于圆球面的大头针把它们联接起来，仍像上面的一样，大头针代表市镇的位置。两个圆球壳之间所夹的肥皂膜的曲线段的长度，与肥皂膜的面积成正比。肥皂膜的长度，是沿着其中的一个圆球壳的球面来测量的，从而肥皂膜的极小面积，便是相当于连接这些“市镇”的路程的最小长度。
更方便的一个模拟系统，是只用一个圆球壳（见图4）。从球心拉出铁丝，连接到球壳表面上表示市镇位置的那些点上。于是这些铁丝与球壳之间所形成的肥皂膜，其面积便是与这些点沿着球壳的曲面上量出的长度成正比，从而其极小面积便相当于极小长度。
我们也有办法把公路不许穿过某些地带这种约束条件也考虑进去。比如说，在公路系统不能从三市镇区中央的圆湖上穿过去的问题中，可以按比例在塑料板上挖一个圆洞，表示那个湖，然后再插上三枚大头针，表示那三个市镇的位置。只要把圆洞里的肥皂膜戳掉，就可以使它不通过这个湖，所得的形状是公路绕开了湖，并形成一个三线交点（见图5）。任何形状的障碍物都可以照此办理。
更困难的问题
斯泰纳问题只涉及两维，但是肥皂膜的极小面积的性质，也可用来解决三维问题。在十八世纪已经用解析方法解出来了的一个重要问题，是求两个分开的共轴环所包的最小面积。这两个环都垂直于轴。如果两环之间的距离小于某一个定值，则所求的曲面乃是一个回转悬链线——所谓悬链线便是两头钉住的一条悬链所构成的曲线。当这两个环之间的距离逐渐增大时，则悬链线的极小值便逐渐移向两环的公共轴，最后分裂成为两个圆盘（两个环各包一个），这便是所谓哥德斯密特Gold Schmidt的不连续解。这个回转悬链线及哥德斯密特解，可以用两个圆环所包的肥皂膜来作模拟示范。但因为确定该曲面的方程只与一个独立变量有关，数家们认为这只不过是个一维问题。
现在来考虑一个真正的三维问题，即求一个四面体的六条边所包的极小面积。这个曲面究竟应该是怎样的形状，并不是一下子就可以看得出来的。我们可能猜想，它也许是由三个平面三角形，覆盖着这四面体的三个面而构成的图形。但只要把一个四面体的铁丝框架浸入肥皂液里，再取出来，模拟解便得到了，如图6所示。肥皂膜一共有六个平面，每个平面都是从四面体的某一条边出发，朝里伸去，与另外五个同是这样的平面相交于四面体的中心。从四面体的每一个顶点出发，三个这样的肥皂膜平面相交成一条直线，直通四面体的中心（图6）。每两个相邻的平面的交角都是120%这和二维问题里的情形一样。而从四面体的四个顶点出发的那四条直线，以109°28'的交角在四面体的中心两两相交。图7甲便是这样的极小曲面的照片。肥皂膜面上的水平干涉条纹，是由于肥皂膜的楔形截面而来的，而后者则又是由于肥皂膜里面的水分不断往外沥出而造成的，肥皂膜的厚度与光的波长，属于同一数量级，因此才产生了这种干涉条纹。
对于立方体框架，我们也许会猜想，它的极小面是由这样的一系列平面构成的，其中每一个平面，都从某一条边出发，然后统统一起相交于该正方体的中心。可是如果真的是这样的话，则那些面就不会相交成120°角。实际上的极小面乃是如图7乙所示。立方体正中的一个“小正方形”小平面，保证了各个肥皂膜的平面总是两两相交成120°，而肥皂膜的交线与交线之间，又总是以109°28'角相交。在中央的那个小“正方形”的各边，都是有所弯曲，这样各边就两两相交成109°28'，而这个小“正方形”的方向，则可与该立方体的任何一面相平行。只要对肥皂膜吹一吹，就可以使这个小“正方形”变到另一个方向。正方体的中央出现这样的小“正方形”，可以从四市镇问题二维模拟解推想而知。
由八面体的各边所包的极小面问题的解，与二维的六边形问题的解，具有许多相同的性质。在几种不同的极小面中，有一种具有最高度对称性（见图7丙）的面，它包括相交于八面体中心的四条直线，就像六面体里的情况那样。图7丁是另一种极小面的情况，它的中央有一个小“正方形”，很像上面所说的立方体的情况（还有另外几种极小面的情况，在伏尔夫Wolf 1968年的：“水滴、吹气与薄片”书中有详细的讨论）。
如果在各种框架里面夹一个气泡，我们就可以探讨更一般的数学问题。在这种问题里，自由能就会因气泡里含有空气而产生附加项，但极小值原理也同样可以推广到把这种附加项也都考虑进去。随着极小面的图形发生了变化，平衡图形便相当于总自由能的一个极小值。当然平衡态的图形要看气泡里所含的空气有多少而定。图8甲、乙、丙分别是四面体、立方体及八面体内含有气泡的情况下的图形。在各个图形中，其中的气泡具有框架的对称性。
这些三维问题（不管里面有没有气泡），最早是由比利时的盲物理学家勃拉都Plateau（1801 ~ 83）解出来的。有许多数学家力图求出这种勃拉都问题的解析解，费了很大的力气，但迄今还未能得出一般性的解析解来。数学家的希望是，在求出这种三维的极小值问题的解析解之前，能证明在最一般情况下这种问题的解的存在、但在物理科学家说来，那只是数学上的细节，他只要用肥皂膜就能证明解是存在的。女数学家陶格拉斯Gesse Douglas于1920年在这方面迈出了重要的一步，为此她获得了菲尔德Field奖。
近年来有一批数学家对这个问题作了重要的贡献，如泰勒Gean Taylov，阿姆格伦F. J. Almgren及庞比尔里E. Bombieri等，但离最终的目标，即作出一般性的存在性证明，还远得很。关于这个问题的数学知识的目前情况，尼采J. C. C. Nitsche（1974）及斯蒂因L. A. Steen（1976）在最近的两篇通俗文章里曾加以总结，尼采写道：像本文图7里那种“极小面问题的存在性的数学证明，以及关于有关问题的性质及规律性的研究、目前尚处在早期的阶段中”。
[American Scientist，1976年9/10月合刊]