准晶体的概念是从数学游戏开始的，但在一天之内由游戏变成事实。
科学游戏的至关重要的作用生动地演示在一种叫做准晶体的新型物质被发现的故事中。准晶体是三维结构，但它们的前身存在于二维即平面中。这个故事要从1977年1月说起，那时加德纳（Martin Gardner）在《科学美国人》杂志“数学游戏”专栏中发表了如何用瓷砖铺盖平面的问题。这个问题历史悠久，可追溯到古希腊的镶嵌画，但是加德纳的文章激起了研究的浪潮，把铺砌问题带到近代物理学的前沿。
关于铺砌问题的数学分析是从观察平面上（例如地板上）的铺砌模型开始的。这种铺砌没有间隙，铺片是长方形、三角形或正六边形，但不是圆形或星形，这里特别要说的是它不能是正五边形。不管你如何拼凑正五边形铺片，它们总要留下间隙，构成奇形怪状的图案。
正五边形具有五重对称，就是说你让它围绕其中心旋转五分之一周后，看起来仍是原来的五边形。同样，正方形具有四重对称，六边形具有六重对称等。根据铺片的形状就可以说出整个铺砌模型对称的性状：如果你使整个六边形铺砌模型围绕它的任意一个六边形的中心旋转，就能看到六重对称。但是用五边形是得不到五重对称的平面铺砌模型的。
然而，如果用两种铺片加以配置来代替一种铺片，加德纳又构造出奇巧的铺砌模型，它确实展示出五重对称：整个范围在旋转五分之一周后，看起来仍是同一个样子。例如，有一种模型包含类似于五角星的铺片构形。似乎正是五边形定义了不具体出现的规则。
加德纳是从英国数学物理学家彭罗斯（Roger Penrose）那里学到这些疑难的铺砌问题的。“彭罗斯铺砌物”也是同样令人感兴趣的。它的两种基本图形都不是五边形，它们也拼凑不成五边形。但这两种图形很像是从五边形衍生出来的后代：它们的角和比例可以在五边形及其对角线中找到根源，并且它们在平面上配合起来时显著地呈现出五边形的五重对称。
最简单的彭罗斯铺砌物用到两种菱形，—胖一瘦。胖菱形的内角是72°和108°，108°又是正五边形的内角。瘦菱形的内角是144°和36°，36°又是五边形对角线间的角。两种菱形的边长相等。胖菱形与瘦菱形面积之比为
近似地等于1.618。这又是正五边形中对角线与边的比。它就是有名的“黄金分割比”，被历来的画家和建筑学家崇奉为和谐的标准量度。我们将要看到，黄金分割比和五边形对称以多种奇妙的方式被隐含在彭罗斯铺砌问题的设计中。
任何彭罗斯铺砌物都能构造成无限多种模型。每一种模型都是非周期的，这正是它的引人入胜之处。整个模型不能由任何铺片的组合通过无限重复的方式产生。初看起来彭罗斯铺砌模型好像是周期的，诸如五角星那样的构形反复出现，但仔细观察就能发现，在这些构形之间的间隙是不规则的，有些构形相对于其它构形是经过旋转的。
自然地，当研究者们看到这些模型在有序和无序之间戏耍地摆动，就像小孩子们看到新玩具一样被吸引了过去。在其后6年多的时间里，许多彭罗斯铺砌物被推广到三维。三维铺砌物是能无间隙地填满空间的实心多面体。与它们在平面上的对应物一样，三维铺砌排列也是非周期的。
在着了迷的玩赏者中有一位是宾夕法尼亚大学的物理学家斯坦哈特（Paul Steinhardt），他充分领悟到玩具的研究价值，在他的办公室放满了玩具和一切可能的模型。任何奇怪的东西到他手里都能派上用场，他是为三维非周期铺砌游戏竭尽思虑的人。
早在1984年，他与他的一个毕业生莱文（Dov Levine）深深地沉湎于这种游戏之中，还作了进一步的分析：他们编制计算机程序计算这些理论上的结构会产生怎样的衍射图，如果这种结构单元是真实的原子而不是假想的砖块的话。
衍射图是物理学家们经常用来观察物质内部构造的窗口。当电子束或X射线穿透固体物质时，它们被其内部的原子衍射或散射。衍射光线能被直接照相，它们在胶片上所映出的图像反映了固体的原子排列的格局。衍射图本身是没有多少可看的，它们是由神秘地排列着的点和条纹组成，与所要刻画的固体极少相像之处，但又像家庭快照那样一目了然。
最清晰的衍射图包含光亮的分离的圆点。这些图表示晶体，它们的布局分明的圆点是由于其内在排列的周期性。当光线撞击晶体中的原子时，它们向所有方向散射：但在几个特殊方向上（这依赖于原子的排列），衍射光线彼此加强，产生了胶片上明亮的斑点。晶体颇像以几何格点布局的果园。大部分视线被树挡住，但无在少数几个方向上，可以让视线通过。
在另一类衍射图中，斑点要么分布成模糊的环状或完全不出现。这些是玻璃质的映像。玻璃质与晶体相反，是由随机地粘在一起的原子或分子组成的；它们更像一个杂乱的森林而不像整齐的果园。因为它们不提供特殊的衍射方向，所以图像不包含光亮的圆点。
直到准晶体被发现之前，人们还认为仅有这两类固体物质，它们对应于这两类衍射图。如果图像包含光亮的圆点，此物质是晶体：如果是模糊的斑点或不出现斑点，此物质是玻璃质。人们认为，自然界中每一种纯净的固体，从宝石到金属到要么辽结晶体的要么是玻璃质的。
莱文和斯坦哈特当他们在计算机中用模拟的X射线对准他们所假想的一种固体之后，对这种简单的分类产生了怀疑。计算得到的衍射图出了意外事：明白无误的亮点。因为他们所假想的固体的原子排列是非周期的，它就应该产生玻璃质特有的模糊的衍射图。结果不然。
当然，这种矛盾的结果需要一种解释，并理解这两位物理学家根据什么理由追溯到他们的计算机模拟的原型：二维彭罗斯铺砌模型。他们也与安曼（Robert Ammann）进行商讨，后者是一位业余数学家。安曼的研究引导他们发现了在铺片之间的跨距既不是周期的，也不是随机的，而是似乎介于两者之间的一种叫做准周期的秩序。
这是一种精巧的秩序，安曼发现，它仅在五边形格栅中找得到。在这种格栅中划线不像在普通图纸中那样互相垂直，而是平行于正五边形的五条边。这五个由平行直线组成的集合互相相交，每个集合与下一个集合相交成72°角，产生了一种具有五重对称性的图纸。
安曼的程序的诀窍就是将这种五重对称的构架之一画在一种彭罗斯铺砌模型上面，使得这五个集合每一个总有一条线穿过每个铺片；在非周期铺砌中这样做是一件困难的事情。但是安曼构想出一种画出这类格栅的方法，他调整两条平行线之间的距离使之符合一种具有古老数学渊源的规则：“安曼线”之间的距离仅在两种长度中选取，长者为a，短者为b，两者之比为黄金分割比。可以用可预见的固定的规则构成一种a和b的混合序列，即斐比那契数列。
正如彭罗斯铺砌模型不能由它的有限个铺片的构形无限循环而产生那样，斐比那契级数也不能由它的部分数串无限循环而产生。但此级数仍然能通过下述两条简单规则产生。斐比那契是一位13世纪的数学家，他借用兔子的理想化的增殖来定义这些规则。第一条规则：从一对成年兔a（adult）开始，并假定在每一年末要生一对仔兔b（baby），并把它记在亲兔之后。第二条规则：每一对仔兔在出生一年之后变为成年兔。
由此，此序列第一年为a，第二年为ab，第三年为aba。到第四年，在每一对成年兔之后添一对仔兔，并把已有的仔兔改为成年兔，得到abaab。继续下去，得到abaababa，abaababaabaab，等等。产生这个序列的另一种方法是将前两年的序列联结起来，将去年的序列写在前面。所以此序列的已有部分不会随年而变化，而是逐年加长。将每年兔子的总对数逐年写下来就得到斐比那契级数（1，2，3，5，8，13，21.34，56，89，…），其中每一项是前两项之和。它再次显露出美妙的黄金分割比。随着级数的增长，相邻两项的比例趋向1.618。
显然，斐比那契猜到了一些事情。差不多在八个世纪之前，他发明了一种一维的彭罗斯模式，一种既不是周期的也不是随机的序列。它具有完全严格的规则来预见序列的下一个数。受到这位中世纪业余数学家的启发，斯坦哈特和莱文也猜到了一些事情，他们最后找到了对于他们假想晶体的衍射图的解释。他们的发现等于是图示了一个与固有成见相反的结果，在三维中周期性不是产生衍射点格的必要条件——准周期性就足够了。
但是他们的准周期固体具有一种难以处理的特征：衍射图的圆点以五重对称排列着。对于传统的结晶学家来说，这种图像简直是无法接受的。这是他们的学科的一个基本教条：晶体不能产生具有五重对称的衍射图，因为原子的内在排列不可能具有五边形的对称，和地板用五边形铺砌一样不可能。
所以不管斯坦哈特所假想的固体是什么东西，总不会是晶体。但是衍射图中离散的点表明它们也不是玻璃质。它们的内在结构结合了晶体与玻璃质两者的性质，斯坦哈特决定称它们为准晶体，并把它们加入从彭罗斯的数学游戏这个源头不断产生的有趣概念的名单中。
但足令人难以置信的事发生了。1984年秋，斯坦哈特在位于纽约约克敦的国际商用机器公司（IBM）的研究中心休假。一天，有一位同事，哈佛大学的物理学家纳尔逊（David Nelson）带来了一个令人振奋的消息，他把由真正的铝锰合金产生的衍射图的小片拷贝放在桌上。纳尔逊解释说这个照片是国家标准局的一个研究小组拍摄的。他指出由圆点组成的图像的非同平常的外观：一个明显的五重对称。
斯坦哈特的心跳加快了。此图像看起来与他和莱文所作出但尚未发表的计算机模拟惊人地相似。正好这天莱文也从费城来访。此时这三位科学家兴奋得像在海滨玩耍的一群孩子，立即开始测量放大了的真实照片的圆点之间的跨距，并与计算机模拟的结果进行比较。斯坦哈特回忆说他在测量证实它之前就知道应当有这样的结果，这两种照片互相符合。
当理论面临经验证据时，科学真理的时刻来临了。这两者完全符合就是最终的裁决。从真理出人意外地来到IBM之时起，它照亮和推动了以后几年的科学事业。
因此，固体物理学的一门新领域，即关于准晶体的科学诞生了。它发展很快。在短期内，有100多种具有5重对称性的合金被发现出来；也发现了7重、9重、11重和其它以前被禁止的对称原来是可能的；学者们正式的讨论会召开了，大本专题论文集出版了。
但是隐伏着危机——存在可能使整个理论破灭的缺陷。当研究者们正开始理解二维或三维准周期铺砌结构之时，任何人都不能设想会有这样一种机制，它能使千百万个真实的原子不约而同时地将它们集体安排成这些错综复杂的模式。只要是试过装配彭罗斯铺砌模型的人都会意识到这非易事。你必须事先计划好，每加上一块铺片时必须把整个图案记在心里。一有差错，你必须把许多已铺好的拆掉重做。
用于添加铺片的局部规则对应于增生的准晶体表面吸引和拉住新原子的力的作用；它们是增生机制中言之有理的因素，而全局规则则说不通了。在增生着的表面的原子不会事先计划、也不会检验远方表面的方向。它们仅受邻近原子吸引力的影响。如果准周期模型仅藉助于全局规则就能构成，它们就不能由真正合金中真正原子所装配，准晶体在自然界也就不可能存在。
此问题是这么严重，促使一些研究者开始考虑关于这种衍射图的其它更为方便的解释。例如，两度诺贝尔奖金获得者鲍林（Linus Pauling）提出一种普通晶体的所谓孪生结构。孪生品体从各自的生长点增生然后互相穿透成一个奇特的角度，例如72°。这可能产先一种具有虚假的五重对称的衍射图，即使其内在结构是普通的。其他研究者，包括斯坦哈特本人，则研究掺有晶体微粒的玻璃状结构。人们想可能是由于这类微粒产生了与晶体的一样明亮的衍射图，虽然整个结构是玻璃质的。
但是，于1988年，游戏又再次奏效，G. 欧那他（George Onada），IBM的一位陶器专家，开始把玩大约200种彭罗斯铺片。他学习如何严格地采用局部规则将任意大小的铺片来装配无间隙的铺砌模型，而不顾别人断言他这样做是无望的。他说：“我要把它作为难题来探讨，作为对说不可能的人的挑战，力图证明他们是错的。”
欧那他向斯坦哈特出示他的程序，他们两人随便用铺片拼凑了两三小时。斯坦哈特把欧那他的见解简化为一套规则，他得到其他两位研究者的帮助，经过仔细推敲作出一个数学证明。并用千百万个铺片进行计算机模拟加以证实，准周期结构确实能自然地增生至少在二维中是如此。
循着这些规则，你只需在增生着的边界上逐个添加铺片就能构成彭罗斯铺砌模型。这些规定应先填充哪些类型的空位，并应当采用何种方法等。你无需注意铺砌模型的任何远处部分，如同一个原子附着于它的邻居之前也无需知道其它地方的情况一样。
为了建立一个完全的准晶体理论，必须把局部规则推广到三维，并且证明它们与实际原子的作用力相符合。这两项任务至今都未能实现。但是至少有斯坦哈特相信，它们是会得到实现的。
同时，实验物理学家们一直很繁忙。他们继续报道更大更完全的准晶体，并勤勉地测量它们的物理性质。无人能预期有什么结果，这由于他们关于晶体和玻璃质虽然经验丰富，但还不能作出关于准晶体性质的有把握的预见。准晶体合金，由于它们的组成元素的错综复杂的结合方式，结果可能比晶体更为坚硬，因此可能被用来代替工业用的金刚石。或者它们最后被用在至今梦想不到的新奇的电子器件的中心部件中。谁知道呢？研究者们准备进一步玩赏它们看它们能做出什么。
[Discovery，1990年2月]
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*译者注：本文原标题为“Impossible Crystals”，意为“不可能存在的晶体”，甚费解，译者根据全文内容改成现在的标题。