十九世纪的数学家特别热衷于化圆为方的问题以及研究像π那样的超越数，从而产生出数论中最活跃的一个分支。

说来也怪，这个理论的主要对象是研究并非超越数的代数数的集合。但是如果没有这种研究，某些方程的整数解问题就还得不到解决。

它还提出一些古老问题的解决方案，例如已有一百三十年历史的Catalan（卡大兰）猜想。

随着时间的推移，数的概念不断地演化。在古代，人们只知道整数，数学的发展表明有必要引进其他的数。这样就依次出现有理数（从前也称为分数）、实数和复数。但是引入有理数和实数的理由是很不相同的，有理数的出现是出于“代数的”原因，实际上，由于方程ax=b并不总是有整数解，所以就发明分数解，称之为b/a。此后，只须要规定好分数的演算规则就可以把整数的概念拓广成有理数的概念了。与此相反，引进实数是出于“拓扑的”^[1]考虑。本质上，实数是用来填补有理数中间存在的空隙的…。更确切地说，假如在斜线上标出所有横坐标是有理数的点，那么并不能得到这条直线上的所有点，要想标记直线上所有的点就必须用实数集合。

所以，根据定义，一个数是超越数这件事是一种否定的性质。

为了证明某一个数是超越数，一般必须分两步进行。首先必须确立对于所有代数数都成立的某些性质（我们后面将举一些例子），然后证明我们所考虑的这个数不具有这些性质。

正因为这样，超越性理论反而主要从事于代数数的研究，这点很怪。然而超越数论的重点就表现于此，它在于发展代数数的估值的技巧。这就是为什么它的兴趣大大超出理论的范围，事实上成为许多算术问题的有用工具。

超越理论的发展阶段

超越数的概念比无理数概念更加精致，——直到十八世纪Euler（欧拉）的著作中才首次出现，当时代数的进步已经对某次多项式有比较清楚的概念^①。一直要到一百年以后，Lionville（刘维尔）才在他1844年论文《论一类量，其值非代数的数，也不能化为代数无理数》中，首次严格证明超越数的存在。为此，他提到一个代数数不能被有理数精确地逼近。

事实上，如果求出一个分数P/Q，它逼近实数x到ε，也就是使0<|x-P/Q|<ε，就必须当ε减小时，P，Q增大。主要之点在于，如x是代数数，P，Q作为ε的函数增长得十分快（可以用显式写出）。这个结果在某种意义下推广了下述事实：两个不同整数之间的最小距离至少等于1，而成为整个超越性理论的基础。从这点出发，Liouville就造出一些数，可以被有理数精确地逼近，从而这些数就是超越数。

这样，Liouville就给我们首次提供超越数的例子（图2A）。他的工作是基本的，因为他把超越性和丢番图逼近联系在一起，而丢番图逼近则研究用有理数来逼近实数的问题。1909年Thue（丢）以及后来C. L. Siegel（西格尔）及K. F. Roth（洛斯）使这种关系更加明确了。遗憾的是，用这种方法证明为超越数的都是人为地构造出来的数，而不是像e和π那样是分析中的常数^②。此外，Liouville还证明存在许多超越数，但是超越数究竟有多少一直到1873年才由G. Cantor（康托尔）得到。Cantor是集合论的创始人，他证明代数数的集合是可数集合（即可以用整数来编号）而实数集却是不可数的。这表明超越数比代数数多得多。上面已提到，一个实数是超越数是个否定的性质，可是这却是一个平平常常容易碰到的性质！现在懂得了为什么一个数是超越数的证明（这绝不是一件容易的事）比这个结果本身更有兴趣。

首先证明一个分析常数（大家感兴趣的数）的超越性是1873年Hermite（埃尔米特）对于e给出的。他的证明是通过巧妙地运用函数论得到的。事实上Hermite并不是第一个把函数论用于算术问题，因为Riemann（黎曼）在他1860年的著名论文中已经利用ζ函数来研究素数分布（图2B）。（见J. Vélu《L′hypothèse de Riemann》《la Recherche》[《黎曼猜想》《研究》] no. 51，p. 1084，1974年12月号）。剩下的是π的超越性问题，这与不可能化圆为方的问题有关。有的人打算借助于Hermite的方法和联系e与π的Euler关系式e^2πi=1来解决这个问题。而Hermite却持不同意见，他写信给Borchardt（波尔沙特）说：“我将不再冒险去尝试证明的超越性。假如别人打算干，我会比别人更高兴看到他们取得成功；但是，相信我，我亲爱的朋友，取得成功决不是轻而易举的事。”然而，在1882年，（林德曼）基本上用Hermite的想法却证明了的超越性。Lindemann在解决这个千年猜想后，很自豪地用下面的话开始叙述他的工作：“面对着无数人尝试用圆规直尺解决化圆为方的问题遭到失败之后，一般认为解决这个问题是不可能的。现在只知道π及π²的无理性，假如能够证出π不是任何有理系数代数方程的根的话，那么就可以证明化圆为方是不可能的。本文的主题正是给出这个证明。”Lindemann在取得这个辉煌的成果之后，用他的余生去攻Fermat（费与）大定理（见框2）没有取得成功。

化圆为方

希腊人提出的化圆为方的问题是“用直尺和圆规”求作一线段，其长度等于直径为1的圆的周长。由于用直尺圆规只能作出代数数，此外什么也作不出，所以1882年Lindemann证明了π的超越性，也就证明了化圆为方是不可能的。

然而，可以用直尺和圆规作出这个问题解的近似值，达到你所需的任意的近似程度（但是就是不能精确等于圆周长）。见Andre Warusfel：les nombres et leurs mystères，《数及其神秘》Seuil。

Lindemann的结果为Weievstraβ（维尔斯特拉斯）和Siegel所补充，他们证明了log2及其他常数的超越性（图2C）。Siegel的方法为A. B. Sidlovski（西德洛夫斯基А. Б. Сидловский）大大发展了，到今天仍在广泛运用并深入钻研，但几乎都是俄国学派的工作。

Hilbert（希耳伯特）第七问题：还是Euler猜想

Lindemann及Weierstraβ证明了代数数的自然对数是超越数，但还不能解决Euler猜想^［2]。

Hilbert第七问题在1929年得到了部分解答发表之后，在1934年为A. O. Gel′fond（盖尔方德，A. O. Гельфонд，苏联人）及Th. Schneider（施耐德尔，德国人）独立地完全解决。他们证明，除了明显的情形之外，如果α及β是两个实数，α，β，α^β三数之一必定是超越数。（明显情形是指α=0，α=1，或β是有理数。）他们的方法虽然并不相同，却都建立在同样的基础上：一是“抽屉原理”（图3），一是G. Polya（波尔亚）在1914年得到的关于在整数点取整值的解析函数的增长性的结果，以及Liouville及Thue关于丢番图逼近的思想，正是这些工作产生超越性理论的基本技巧。除掉明显的特殊情形以外，Hilbert第七问题就是证明：如令α′=α^β，当α，β，α′是代数数时，βlogα-logα′这种类型的表达式不能等于0。这就使得Gel′fond看到，在不少的数论问题中，求出如下更一般表达式的极小值是多么重要：

（1）L=β₁logα₁+…+β_nlogα_n，

其中α_i及β_i是代数数。尽管1935年以后Gel′fond已经研究了n=2的情形，但是一般情形一直到1966年才为英国数学家A. Baker（贝克尔）解决（见框3）。

Baker的结果表明L不能够达到充分“小”。由此得出的数论中的推论很多，有些还是没有预料到的，某些方程的整数解就是其中的一个例子。

丢番图问题：几何解释

公元三世纪（原文误作公元前三世纪——译者）亚力山大里亚的丢番图，在他写的算术书中，提出并解决了大量有关代数方程的问题。他所求的是这些方程的整数解和有理数解，而希腊人当时就只知道整数和有理数，这就是为什么我们今天把求整数解或有理数解的整系数多项式方程称之为丢番图方程。下面是丢番图提出的问题（卷六，问题17）：“求直角三角形，其面积和弦的和是一平方，而周长是一立方。”如果还假设最小边长度为2，就可以马上列出方程。事实上，如x³是周长，y²是面积和弦的和，问题就变成求方程。

（2）y²=x³-2

的有理解问题。

丢番图求出解x=3，y=5，并很容易地定出相应的三角形。1621年Bachet de Méziriac（巴涉）在他的丢番图著作的加注释的译文中，证明如何从整数解x=3，y=5求出其他解，但这些解不再是整数而是有理数。几年之后，Fremat在Bachet的书的复本的很窄的页边上写下丢番图的解是这个方程的唯一整解。他还写道，乍一看这很难证明，但是他发现了一个非常漂亮和精致的方法使他能够解决这类整数解问题。他从来没有发表他的证明，而把它留给了Euler。

正如我们刚刚看到的，丢番图提出的问题有几何背景，困难不在于列出方程，而是在于解方程。这就是为什么我们可以抛掉所有和几何的联系，而只管去求解同丢番图的方程相类似的方程。这样，方程

（3）y²=x³+k

其中k是非零整数，在数论的发展中起了重要的作用。对专家来说，这个方程在“复杂”方程中是最简单的，因为在解不能用参数表示的方程中，它的次数最低。

1923年英国数学家L. J. Mordell（莫台尔）证明：对于固定的k，这方程只有有限多整数解。事实上Mordell的方法可以估计解数（作为｜k｜的函数）的上界，但是他没有给出精确的计算也没有给出解的大小的阶，每当人家算出所有解时，就会发见他们的解数比Mordell得到的界小得多。并且这结果也不能提供一种算法来求方程（3）的整数解，因此把这种方法称为“非有效的”^[2]。

正是A. Baker基于他上述的工作在1967年发现了方程（3）的有效解法（框3）。他得到明显的上界在理论上是重大进展，但实际上没有用。借助于其他更加理论的而不是计算的方法可以解决“小情形”。这样Baker的证明可以适当修改而提供一个有用的算法，从而对于足够宽的范围内的k值可以排出方程（3）的解的表。对于小于1000的每个｜k｜值，电子计算机只需几分钟就可以定出（3）的所有整数解。

其后，德国人C. Siegel（1969）及美国人H. Stark（斯塔克，1972）大大改进了Baker的结果，从他们的结果可以得出有趣的结论，特别是他们提供了研究相邻整数素因子分解的方法。

Catalan（卡大兰）猜测：一直时髦

Enler已经证明：方程x²-y³=1的正整数解只有x=3，y=2。一世纪以后，1844年E. C. Catalan（高等工业学校的助教）在给《Journal de Crelle》（《克莱尔杂志》，即《Journal fú′r die reine und angewandte Mathematik》《纯粹与应用数学杂志》，因其创办人Crelle而得名——译者）的编者的一封信中猜测比这强得多的结果，即相邻整数都是完全幂（指数大于1）的只有8和9。换句话说，方程

（4）x^p-y^q=1

的x，y，p，q均大于1的整数解只有3²-2³=1。

60年代初，J. IS. Cassels（卡塞尔斯）证明了不存在三个相邻的正整数都是完全幂。这个结果十分漂亮，但是离开Catalan猜测还差得远。Catalan猜测一直没得到证明，可是它吸引了不少人，招来了许多文章，对于方程（4）——后来称为Catalan方程的解的信息知道的也不少。

很早就得到一些初步的结果，在Leó Hebraeus也称为Lévi Ben Gerson（本格森）回答Phillip von Vitry（微特里）提出的一个问题时，已经证明方程（4）当x=3及y=2时没有其他解。1952年W. J. Le Veque（勒委克）证明更一般的结果，如x，y，给定，方程（4）最多有一组（p，q）解。反之，如果固定p和q，而把Catalan方程看成是x，y的方程，它就只有有限多整数解。这个证明是C. L. Siegel在1929年用“非有效的”方法作的，后经S. Hyyr?（两若）在1964年改进，他证明最多有exp(631p²q²)对（x，y）满足（4），Baker把这个结果有效化，他求出（4）的所有解均满足

Max(x，y)≤exp(exp((15p^p8q)¹⁰))。

这个结果与其说有实际的重要性，毋宁说有理论上的重要意义，因为不等式右边的数字太庞大了，尤其是Frénicle de Bessy（贝塞，1657）、V. A. Lebesques（勒贝克，1850）、Th. Nagell（纳盖尔，1921）、Selberg（塞尔贝格，1932）及柯召（1964）已经证明，如果方程（4）存在有另外解，一定有p>5，q>5。

但是，年青的荷兰数学家Robert Tijdeman（泰德门）迈出了决定性的一步，使得我们可以说Catalan猜测基本上得到解决。他应用Baker的方法证明：对于（4）的所有大于1的正整数解，存在一个可计算的通用常数c，使得

（5）y^q<x^p<c

成立。由此马上得出推论，Catalan方程只有有限多解。Michel Langevin（郎之万）作出常数c的第一个估计，他求出

c≤exp(exp(exp(exp730))))。

这样Catalan问题基本上得到解决，剩下的就是用计算机去试所有满足不等式（5）的整数x，y，p，q，看看它们是否满足Catalan方程了。可是，即使计算速度是每秒一万亿次，要想得到一点点结果，也得干上——百万年。这就是用超越方法解决问题的一种流行现象。一开始先把问题“有效化”，也就是道出一种算法可以在有限次数的运算中求出解来。但一般说来，这次数是惊人的，从而使得计算实际上行不通。因此就必须再度投入战斗去改进证明，然而，这也并不总能少花力气，虽然关于Catalan猜测的结果从来没像现在这样好过，也必须下很大的功夫去干才能最后肯定Catalan的猜想真是对的。还有许多没有解决的丢番图问题，也是由于庞大的计算量，我们可以举出这样的例子：求所有的正整数，它用十进位的数码表示时，所有位的数码都相同（如1111，22222，888，——译者），同时又是完全幂。

有待发展的理论

这样的算术问题可以借助于超越方法来解决或许使人感到意外，表面上差别很大的两个数学理论碰到一起蕴藏着许多有创见的和深刻的思想。更加有意思的是，正如Baker所谈到的，Catalan宣布他的猜想的那年正巧就是Liowville迈出超越数论的第一步的那年。不管是谁，假如知道他们的工作居然还有这种关系一定是惊异不止的！

上面我们只不过谈到了当前所知道的超越数的极小一部分，而重点是放在Baker的成果及其推论上。假如要谈得更加完备，就不能不提到Mahler（马勒）的十分漂亮的结果，例如他关于π的丢番图逼近的结果。这结果后来为（法国）斯特拉斯堡的数学家Maurice Mignotte（米诺特）所改进（图2D）。

超越理论尽管有这些惊人的进展，它仍然处于有待发展的阶段。其应用范围如此之广阔，使得我们还要去创造更多的方法去解决现存的许多问题。譬如说，我们知道e及π是超越数，也知道e+π及eπ二数之中至少有一个也是超越数，可是并不知道到底哪一个是，虽然一般猜测这两个数都是超越数。另外，著名的Euler常数（图2E）以及Riemannζ函数的值ζ（3）是否是超越数呢？

现在，超越数论还是专家们的事，法国、英国、西德、荷兰、美国、印度、澳大利亚以及东欧都有搞这方面的专家，而以苏联Gel′fond建立的学派人数最多。

数论的这个分支过去经历过紧张活动的时期，接着是比较平静的时期，当前只处于迅速发展的时期，1976年剑桥会议上反映出来的情形正是如此。最近几年的总结表明：Baker方法在它产生十年之后，正如Gei'fond曾经预感的那样，仍然保持其惊人的多产性，其潜力看来还远远没有用尽。

[La Recherche 1977年12月84期1059 ~ 1065页]

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* 巴黎第六大学教授：以超越性理论的工作而知名。

** 法国国家科学研究中心助理研究员，数论专业。

[1]拓扑学是数学的一个分支，研究与极限及邻域等概念有关的问题。

[2]我们把方程的解法称为有效的，如果能从中得到一个算法，可以在能推算的时间内求出所有的解来。否则称解法是非有效的。特别是假如我们只满足于证明方程没有很多的解，而一点也不给出关于解的大小的阶的信息，我们就得到一个非有效的解法。