局部几何和全局几何

微分几何是数学用微积分来研究曲线和曲面之几何性质（曲率等等）的一个分支。微分几何的最新进展一直依赖于局部性质和全局性质的相互影响。曲面的局部性质可以在该曲面的一个点上计算出来，计算时只需利用该点邻域的各个性质。一个曲面在一个点上的（高斯）曲率就是这样一个局部性质：它可以用该点附近一些小三角形的角度之和来测度；它有这样的特征：它只取决于在该曲面本身中测度的角度和距离，而同该曲面嵌入环绕空间的方式完全无关。

一个多边形的欧拉示性数是一种全局性质的一个例子。设V为一多面体的顶点数目，E为边数，F为面数；于是对于一个四面形：V=4，E=6，F=4；而对于一个立方体：V=8，E=12，F=6。在这两种情形里都有：V－E＋F＝2；对于一个八面体或者球面一类图形的任何多角重分（正则的或非正则的），这个方程都成立。对于例如圆环面这样一个不同的闭曲面，该曲面无论怎样重分成三角形或者多角形，都将给出一个不同的和即V－E＋F＝0，而且不管这重分如何进行，结果都一样。对于任何曲面S，相应的量V－E＋F＝_x(S)是一个整数，它只取决于曲面S，而同该曲面重分成顶点、边和面之方式无关；_x(S)称为该曲面的欧拉示性数。它取决于这整个曲面的拟合方式，所以它是该曲面的一个全局性质。

一个典型的微分几何定理是高斯 - 邦内特定理，它断定当曲面S的高斯曲率在该整个曲面上积分时，总是给出结果2π_x(S)。这是局部不变量（每一点上的曲率）和全局不变量（欧拉示性数）之间的一种典型关系。对这个定理的证明、推广和推论的理解近年来大见增进。一个简单的推论是：“你无法梳理一个台球上的头发，但你能够梳理一个圆环面上的头发。”特别是，可以很容易地在该圆环面的每一点上都对该曲面作一个非零切向量，这向量连续地随点而变。但是，在一个球面上就做不到这一点，在那里任何这种非零切向量场都必定至少有一个奇点（试看一个典型人头后脑上的发涡）。微分几何和拓扑学方面的精当工作大都致力于扩展这些成果，以能够在其他曲面和高维流形上得到别的向量场。例如在1944和1945年，彻恩把高斯 · 邦内特定理扩充到任何维黎曼流形，继之又把可得的示性类［例如_x(S)]发展为这些流形之全局不变量。今天，这在把一个流形重分成蔓叶（叶状）的方法的研究中已有所反映。

短程线提供了局部性质和全局性质相互关系的又一个明显例子。一个曲面上的一条曲线c如果距离最短，则它就是短程线；这就是说，如果从c上一点P沿C到C上另一点q的途径是该曲面上从p到q的最短可能途径，若p和q离得不太远。因此，在一个普遍球面上，每个大圆都是一条短程线。几何学家们已经表明许多特殊曲面上的明显短程线。想获得比较一般的认识这种自然愿望，通过彭加勒、伯克霍夫、莫尔斯、卢斯特尔尼克 - 施尼雷尔曼和其他人的工作已得出了一个一般存在定理。这个定理是说，在一个给定的凸闭曲面上，总是至少存在三条相异的简单闭短程线。莫尔斯提出的一个例子业已表明，三条是这样一个结果中的最佳数字。克林根贝格和其他人已把这些结果从曲面推广到更高维数。

这些关于短程线的问题涉及寻找一条最短长度的曲线。其他这种极小问题已汇总而成变分法（“改变曲线以确保你获得最短长度”）。例如对于函数f(x₁，……，x_n)，人们从变分法知道，在f的极小值上，所有偏导数?f/?x_i均将归零；在极大值上，情形亦复如此。更一般地，所有这些一阶偏导数都在其上归零的点(x₁，……，x_n)称为函数f的临界点；当f=f(x，y)系测量海拔高度时，临界点可能是f的一个极小值、f的一个极大值或者是一个鞍点，例如大家熟悉的一个山口的顶上。对于一个有n个变元的函数，它有n+1个这些类型临界点。马斯顿 · 莫尔斯（在二十年代）发现，当把一个给定函数的每种类型临界点的数目总加起来时，结果表明，它们必定满足许多特殊关系。

上述莫尔斯临界点理论无论对于构造短程线（给出一条曲线之长度的那个函数的临界点），还是对于利用可在流形上定义的函数之临界点划分高维流形的类别，都起着关键作用。

当在线圈上张成肥皂膜时，这膜便形成一个具有最小面积（对于该给定有界环圈）的曲面。这种曲面称为极小曲面；作为一个最小面积的曲面，它是一条短程线（一条最小长度的曲线）的二维类比；高维类比也是有的。平稳问题要求证明这样的定理：对于一个给定的任意形状有界环圈，只要它是可以求长的（具有长度），就更是存在一个极小曲面。杰西 · 道格拉斯和蒂博尔 · 拉多在三十年代首先证明了这个中心定理。然而，他们的解法并未排除可能带有分枝点奇点的曲面。奥塞曼最近的研究消除了这种可能性，他表明分枝点并不存在。

一个极小曲面也可以说是某个（非线性）偏微分方程的一个解。偏微分方程的研究是个大题目，最近取得相当大的进展。这个课题运用许多最新的精巧的存在定理而表明，合适的偏微分方程具有带适当边界值的解。还有一个著名的不存在定理，是莱维提出的。他提出了一个有二个独立变元的线性偏微分方程，它有光滑系数，但无任何光滑解——诀窍在于常项是光滑的（有一切阶的导数），但不是解析的。这个引人注目的例子激励L. 赫尔曼德尔等人进一步大力研究偏微分方程的存在定理。

这类问题有的涉及复几何；这总是偶数（实）维的几何，因为每个复数z＝x＋iy都涉及两个实坐标x和y。更一般地，试考虑坐标由n个复数给出的2n维空间Cⁿ，设D₁和D₂是该空间中的良行为集（用专门术语来说，就是光滑的、严格伪凸的域）。一个基本问题是要确定，通过一个把D₁映射到D₂的函数F，D₁和D₂是否在一定的意义上等价，这里函数F及其反函数都是良行为的（亦即复解析的）。这个问题的关键是要知道，当趋近D₁的边界时，F的行为有多好。福尔默表明，F必然一直到该边界都是连续的，后来费弗曼表明，它在直到这边界为止一直是光滑的。费弗曼根据这个域中的两个可变点而把伯格曼核函数K_D用于该域。这个结果转而又可用于获知关于几何上所出现的某些蒙日 - 安培偏微分方程的解的情况。

几何和基本粒子物理学

高能物理学过去十年的激动人心的发展之一是逐渐出现了一些理论，它们给基本粒子世界带来了某种秩序。今天人们公认，所谓的规范理论将给实验观测到的现象，包括诸如电子、质子、中子和介子等基本粒子的多样性提供一个令人满意的解释。

规范理论在数学上极为复杂艰深，包含许多由数学家们在过去几十年里完全独立地构想出来的关键观念。因此，近年来这些发展导致数学家和理论物理学家日渐增强的相互影响。自从爱因斯坦大约六十年前发表广义相对论的工作以来，数学和物理学之间的边缘领域，还没有如此活跃过。事实上，把引力场解释为时空曲率的广义相对论本身就是一个规范理论，麦克斯韦的电磁理论也是这样。在麦克斯韦理论中，电磁场也可看作是曲率，但不是空 - 时的曲率，而是某种假设的相空间的曲率。为了明白这一点，试设想时空每一点上都设置有一个标有度数的圆盘。为了使这些度盘标准化，试设想一个观察者带着他的度盘从一点运动到另一点。麦克斯韦理论的几何解释是说，如果这观察者走不同的路线，他的度盘在终点便给出不同的读数，偏差取决于所穿越的那个区域的电磁场的强度。

在现代规范理论中，核中的其他力也类似地解释为引起弯曲或者畸变。然而，由一个度盘测量的角相现在代之以不是用平面转动而是用三维或更多维空间中的转动来刻划的多维空间。因为多维转动不可对易（即结果取决于实行转动的顺序），所以现在数学变得远为困难；尤其是场方程现在成为非线性的（微分方程）。解这些方程现在成为一个严重问题。由于应用取自代数几何之类意想不到领域的现代数学手段，这一方面已经取得了一些令人惊讶的成功。

现已发现，拓扑学思想在这些非线性理论中起着非常重要的作用。这一点司以这样朴素地理解。线性方程原则上是容易解的，而非线性方程可通过将它们与线性方程相比较而近似地求解，恰似一条曲线可以用一条切线逼近。然而，这种近似固有的是局部的，这就是说，只在一个小的区域里才成立。拓扑论证是一种用以从局部资料获取全局信息的极有价值的方法。

现在显而易见，规范理论的进一步发展将需利用许多几何思想和手段。剩下来的一个突出问题是弄清楚量子规范场论。这对于物理学来说是至关重要的，因为它正在研究极短距离上的（或者等效地，在极高能量上的）现象，并且能令人满意地用以研究量子化规范场的数学工具现在尚未成熟。这是需要将来去加以解决的难题，也许需要数学家和物理学家共同努力去解决。

孤立波

应用数学的美好前景的一个例子是，孤立波研究正在迅速进步。斯科特 · 罗素首先在1840年在爱丁堡 - 格拉斯哥运河注意到这种波，他在那里发现一个长浪峰水波在河里行走一浬半而形状保持不变。起先，人们不知道怎样根据表面水波的标准偏微分方程得出这种波形。包括D. J. 科尔特韦格和G. 德弗里在内的好几位作者在1895年发现了一个合适的模型方程。如果u是在时间t、沿运河的距离x（离扰动的起点）上的水波对标准水位的高度，那么，作为x和t的一个函数之u就满足科尔特韦格 - 德弗里偏微分方程（以下简称KdV方程）：u_t＋u_x＋uu_x＋u_xxx＝0，其中u_t表示u对于t的偏导数，u_x表示对x的偏导数。这个模型方程可以解释为由一个表示波形沿一个方向传播的基本项（u_t＋u_x＝0），加上非线性效应uu_x和u_xxx所出的弥散效应所组成。它很好的近似程度适用于小振幅和很长波长的波。这个方程有若干明显的行波解，每个可能的振幅都有一个解，用双曲正割函数表示。这些特解给斯科特 · 罗素所观察到的孤立波提供了一个近似的描述。并且，这个方程还能用来表明两个不同振幅孤立波交会时所发生的情形：振幅较大的波赶上振幅较小的波，有一段时间里两者明显交混地相互作用；然后振幅较大的波出现在前方，它的形状未变，振幅较小的波则跟在后面，同样未受这碰撞的影响。

这种KdV方程还适用于许多别种物理现象：无碰撞冷等离子体的磁流体动力学（C. S. 加德纳和守川）、用非线性弹簧耦合的等质量物的一维点阵中的纵波、起泡液体中的压力波、弹性杆中的波以及至少二十种其他类似现象。对于这么许多形形色色的应用，就需要有更为有效的求解方法。活跃的工作导致一些令人惊讶的结果。首先，处理量子力学薛定谔方程这样的方程时所应用的那些散射方法可以反过来应用。这些散射方法取决于找到适当的散射数据，例如本征值、连续谱和谱密度。对于KdV方程，问以应用逆散射法：根据给出散射数据随时间演变的简单定律，习以恢复有关原始方程之解u的必要事实。利用这种逆散射方法，可以从数学上表明上述两个不同孤立波（孤立子）的相互作用。

其次，这种方程的那些通常的物理不变量例如能量和动量在这里也仍适用，不过对于这种微分方程现已明白，有无限多个不同的这种不变量。最后，甚至在更加晚近业已发现KdV方程和代数方程所定义的曲线（更确切地说，省略掉少量点的这种曲线）的性质之间有若干种联系。长期以来一直在纯粹几何学中研究这类曲线——及其流形的算术和代数性质；令人惊讶的是同水波行为所存在的那种联系。这个问题还需要作进一步的阐释，它是目前活跃而又广泛地进行的关于KdV方程的研究之一部分。一些有关的最新研究已应用分歧理论的有效手段为精确的表面波微分方程提供孤立波解。

不同领域的相互影响

数学的最近进展在颇大程度上有赖于各个不同的而又显然相距很远的领域间的相互影响。一个例子是如上所述，一些“纯粹”代数几何的思想现在出现在规范场和KdV方程的应用问题之中。另一个令人注目的例子是关于三维球面上的周期变换的史密斯猜想的最新证明。

如果寻常球面S²围绕其南北轴旋转360°/n，则变换T重复n次恰为恒等（Tⁿ=1）；于是人们说T是具有周期n的周期变换。在T作用下保持不变的点只有两个点即北极和南极；这两个点可以说构成了一个零维球面S⁰。

现在试考虑一个三维球面S³，它作为x²＋y²＋z²＋t²＝1的轨迹给出。S³的一个变换成其自身的变换T称为周期变换，如果重复n次（对于某个整数n）后，T把每个点都变换成其自身（Tⁿ＝1）。例如，在三维空间通过360°/n的转动（在x、y、z坐标上绕z轴转动，t保持固定）将是周期的；现在圆z²＋t²＝1上的所有的点都保持固定不变。更一般地，事实上，在这个三维球面上的任何可微周期变换T都将使许多点保持固定而形成一条简单的闭曲线（一个圆的连续像S¹），哪怕这变换极不规则也罢。然而，这种固定点曲线可能会打结（例如通常平式的结）。三十几年以前，P. F. 史密斯猜测，这曲线决不会打结。1979年这个猜想得到证实——由于六位数学家共同努力，他们应用不同的专门手段，从极小曲面和三维空间（双曲型非欧空间）的性质直到K群（最近发展的一种属于拓扑空间的代数结构）。

我们现在再举几个不同领域相互影响的例子。应用于短程线、极小曲面和类似东西的古老科目变分法现在又在最优控制理论中复兴，并得到新的发展。过去四十年来，符号逻辑继承K. 哥德尔的思想而发展了关于哪些函数是实际可计算的精确思想；这些思想已应用在数论里面，证明了有一些整数方程（丢番都方程）存在，它们没有系统的求解方法。这些思想在计算机科学里用来衡量一个计算的复杂性。代数几何学家花了25年才解决了A. 韦尔关于某些代数曲线上的“有理”点的一个猜想。这个结果表明也解决了拉马努扬的一个老问题。他考虑了某个有用的函数τ(n)；它可以描述成qⁿ的系数，后者出现在上述椭圆模函数中所产生的量qⁿ(1－qⁿ)²⁴的展开式之中。他要求估计这个量的大小，尤其当n是一个素数n=p时。很容易表明，τ(p)最大为2p⁶；而现在令人惊讶（也更为确凿）的新结果是，τ(p)最大为2p^11/2。

《数学评论》每年两卷综述现有文献中的新成果。这些文献在1979年已超过40,000篇文章，分成61个专业，范围从数理经济学和光学直到多复变函数和有限差分方程。在这个课题范围内、周期函数的抽象调和分析同概率论联系起来，而范畴论的各个非常一般的概念则帮助研究有限态自动机。数学呈现为一张结构精密细致、交织得错综复杂而又致密的网，提供了分析地理解世界上各种现象的手段。

[Science，1980年7月4日]