导言
狭义相对论禁止瞬时性的超距作用，更一般地说它禁止能量或信息以超光速的速度传播，这已是众所周知的常识了。尽管这一断言偶尔容易引起非议，但我们在第2节中回顾了相关的分析之后将作出如下结论：在这种情形之下，“常识”是正确的。我们将把这种对非定域性因果性的禁止称作为相对论定域性原理。
贝尔定理的推导用到了一个与之明显相似的定域性原理，所谓贝尔定理就是这样一个不等式，它对分隔体系所做的独立测量的结果之间的相关性作出某种限制，而这种相关性则仅仅是由于它们过去的历史所造成的。一个具有深远意义而又令人惊奇的事实是某些量子力学相关性违反贝尔不等式，从而揭示了一个先前从未引起过任何怀疑的矛盾，即量子力学和推导贝尔定理所用到的定域性原理之间的矛盾。于是就导致了我们论文题目中所说的问题：“量子力学和相对论矛盾吗？”
两个基本的并且是高度证实的理论之间的这样一种矛盾，假如确实存在的话，那将构成理论物理学的一个主要危机。我们在本文中将要证明贝尔定理事实上并没有在狭义相对论和量子力学之间设置任何矛盾。情形的确如此，因为证明贝尔定理所要求的定域性形式（我们称之为强定域性）强于狭义相对论所包含的简单定域性原理。我们还将证明强定域性原理在逻辑上等价于简单定域性和状态描述之预言完备性的总和。造成量子力学违反贝尔不等式的正是这种完备性条件的破坏，而不是简单定域性的失效。最后，我们还将讨论一下我们的结论同爱因斯坦、波多尔斯基和罗森的结论之间的关系。
狭义相对论中的定域性
考察两个空一时点（或事件），它们的坐标分别是
量σ=(ct)2－r2在洛伦兹变换下为不变量，这就是说它在所有匀速运动参照系中都具有相同的值。相应于σ为正数、零或负数的情形，事件1和2之间的间隔分别被称作为类时、类光和类空间隔，而由点1到点2的信号则分别以小于、等于和大于光速的速度传播。
在类时间隔情形下（σ＞0），我们可以找到一个使空间间隔γ等于零的参照系。这就是由点1向点2匀速运动的质点的静止参照系。而在类空间隔情形下（σ＜0），则可找到一个使两个事件同时发生（t2－t1=0）的参照系。所以，对所有参照系中瞬时性超距作用的禁止等价于禁止信号以大于光速c的速度传播。
洛伦兹协变性本身并不排除物体以超光速运动的可能性（这种物体称作为超光子），但是如果真是这样的话，将会产生其它困难。假设事件1和2是超光子的发射和吸引。因为间隔是类空的，故存在这样一些参照系，在其中的某一些参照系中t2＞t1而在另一些参照系中则t2＜t1，于是就违反了原因必须先于结果这一原理。甚至更为严重的是存在利用超光子继电器向某人的过去发送消息的可能性。这会导致一些十分稀奇古怪的后果：人们在尚未出生之前就可以安排谋杀自己的母亲，以致出现超光子信息当且仅当它不被发送时才被发送的情形。考虑到诸如此类的理由，现在人们普遍认为超光速运动或信号传输的可能性是与狭义相对论完全不相容的。既然对超光速通讯的禁止等价于对瞬时性的非定域性作用的禁止，因此我们就把它称作为相对论定域性原理。
自旋相关实验中的定域性
贝尔定理的实际检验涉及对两个相关粒子之自旋分量的测量。（如果粒子是光子，则与自旋分量类似的东西即偏振。）在这一节里，我们将就这样一个实验来分析相对论定域性的意义。
因为贝尔定理并不预先假定量子力学，故我们需要一个比量子状态和可观测量更为普遍的概念。我们用标记“L”和“R”"分别表示一对粒子和测量仪器中的
现在假定对粒子L和R所做的测量可以在类空间隔下进行，则可断言自旋相关测量服从相对论定域性原理的充分必要条件是满足下列方程：
简单定域性断言，通过共同测量xL和xR但忽略，xR值不计从而获得结果xL的几率[（1a）的右边]和在R仪器不运行的情况下获得xL的几率[（1a）的左边]是相等的。定域性要求出现粒子L之测量结果xL的几率仅仅取决于两粒子状态λ和L仪器的状态。它并不排除通过对远处粒子R进行测量从而获得有关粒子L的信息的可能性。假如两个粒子相关的话（可能是由于过去的相互作用所致），那么这类信息就将包含在λ之中。但是定域性的确排除了这样一种可能性，即
再假定粒子对系综处于状态λ之中，令EL(ER)为一准备对处于空一时区城ΓL(ΓR)中的系综粒子L(R)进行测量的实验者，在这里两个区域ΓL和ΓR之间的间隔是类空的。
根据（1a'）式，EL由其测量结果所获得的统计数字将取决于ER的选择。这样一来，ER只要利用足够多的系综就可将其决定在任意短的时间间隔内，以接近于1的几率通知EL。借助于决定做或是不做测量这样一些适当相关的信息，就可揭示（1）式对超光速通讯不成立这一事实，至少从原则上说是这样。（在这里值得注意的是，作为人的实验者在上述方案中并非必不可少的。某种类似的充当ER角色的开关机制同样可以作出“选择”，它可以根据ΓL中的自动测量结果在远处引发某些相应的物理反应。）
强定域性和贝尔定理
在第3节中我们已经看到，在相关性测量不容许超光速通讯的意义上，量子力学遵守定域性。贝尔不等式也是从定域性条件推导而来的，那么量子力学怎么会违反贝尔不等式呢？答案是推导贝尔定理时所用的定域性公设形式强于（1）式。我们称这一公设为强定域性，它对于自旋相关实验取下列形式：
关于这一条件的下述评论是恰当的。首先，显然方程（2）意味着方程（1），但方程（1）则不意味方程（2），因此正如名称所提示的那样，强定域性的确是定域性的强化形式。其次，如果仅仅把两粒子状态λ看成是量子状态，则方程（2）显然不成立，因为这样将和两自旋值xL和xR之间的相关可能性发生矛盾。我们必须把λ看成是某种更为普遍的（也许是不可控制的或不可测量的）状态参数。于是，xL和xR的观察分布具有下列形式：
式中ρ(λ)是λ的几率分布。关于贝尔定理的一个有趣内容是，尽管比量子力学状态描述更为详细的状态描述易于想象（也是可能构造的），但是既遵守强定域性（2）又经方程（3）再现量子力学预言的令人信服的状态描述却是不存在的。
贝尔型不等式的各种推导都以不同方式利用了方程（2）和（3）或它们的等价形式，并且证明了它们是正确的。假设根本性的决定论成立，即假设λ的规范决定测量的实际结果，
对于某一对特定的值（xL，xR）等于1，而对于所有其它的值则等于零。在这种情况下，方程（1a）和（1b）中的和式至多包含一项非零项，故（1）和（2）等价。所以如果决定论成立的话，那么就无需在简单定域性和强定域性之间作任何区分。这样一来，量子力学对贝尔不等式的违反就可以看成是否定决定论基础存在的证据，而且按其本性说来显然是这样。
不用决定论假设的贝尔型不等式的推导在数学上并不复杂很多，但是它们用来说明可以正当地利用方程（2）和（3）或与之等价式子的论证则要精巧得多。在这里值得提请读者注意的是，某些作者错误地认为方程（2）和（3）仅仅是相对论定域性在上述实验中的具体化。至于我们自己对强定域性的意义和作用的解释则是第5节将要讨论的问题。
预言完备性
当下述条件得以满足时，我们说状态描述相对于某一测量（或某一组测量）M是预言完备的。这个条件就是M以外的测量结果所提供的信息与预言并非包含在状态描述之中的M结果无关。由非M则是提供的信息或者是毫不相干的，或者是多余的。
决定论性的状态描述总是完备的，因为它规定了所有可能测量的结果，包括M的和非M的，故任何特定测量所提供的信息都是多余的。然而对于完备性来说，决定论并非绝对必需的。具体地说，上述定义本身并不排除量子力学是“完备的”这样一种可能性。举例来说，假设我们借助于适当的仪器使自旋1/2粒子处于自旋向上的状态之中。令M代表随后的一组可能自旋分量测量。设与竖直方向的夹角为θ，则对于沿θ角方向所做的自旋分量测量来说，状态矢量预言取正值的几率是[cos(θ/2)]2。根据量子理论，在状态准备操作之前进行的任何自旋测量（非M测量）之结果都与预言M的结果无关。因此，量子状态描述相对于状态准备操作之后的测量集合M来说是预言完备的。（这种提供无关的先前信息的性质可以合理地被看成是状态准备定义的一部分。）上面所举的例子与贝尔定理都没有任何直接关系，之所以提及它们仅仅是为了说明预言完备性概念。
将这一概念应用于自旋相关实验，我们取M为对其中某个粒子之自旋分量的测量。非M测量类则包括对与M测量相距类空间隔的另一粒子的所有自旋测量。（非M测量类的范围也许比这个还要大一些，但是我们不需要考虑任何其它成员。）欲使预言完备性得以成立，必须满足下列条件：
R仪器的取向对L测量的特定结果之几率产生影响是容许的。因此正如方程（4）所表示的那样，预言完备性既不意味着强定域性，也不等于简单定域性。
强定域性在逻辑上等价于简单定域性与预言完备性之总和。把方程（2）代入（1），然后再把（2）代入（4）中，不难看出在自旋相关实验场合下，强定域性既包含简单定域性，又包含预言完备性。反之，如果我们用（1）式作为公设，则显然（4）可以重新写为（2），故简单定域性加预言完备性意味着强定域性。
既然简单定域性（1）是狭义相对论的要求，而狭义相对论又是得到了大量给人以深刻印象的实验证据支持的理论，因此自然就推得（量子力学和实际实验）违反贝尔不等式是由于预言完备性遭到破坏所致。
爱因斯坦、波多尔斯基和罗森
熟悉爱因斯坦、波多尔斯基和罗森（EPR）所著著名论文“能够认为量子力学对物理实在的描述是完备的吗？”的人都不可能不注意到他们的结论[定域性意味着量子力学（QM）状态描述是不完备的]同我们的结论（相对论定域性成立但预言完备性不再适用）之间的相似性。然而为了对这种关系作出评价，就不能拘泥于“定域性”和“完备性”的纯粹字面意思，因为这些术语的定义在不同场合下可能是不相同的。
EPR认为，一个理论成为完备理论的必要条件是：“对于每一个物理实在的元素，在物理理论中都必须有一个与之对应的元素。”他们给出了判断实在元素的充分条件是：“要是对一个体系没有任何干扰，我们能够确定地预测（即几率等于1）一个物理量的值，那么对应于这一物理量，必定存在着一个物理实在的元素。”然后他们把定域性原理应用于两相关粒子体系，结果推出对应于两个不可对易的可观测量都有实在元素。因为任何量子状态都不可能描述非对易可观测量之精确值，故他们的论证表明定域性和完备性之间有矛盾。EPR确信他们的定域性条件是无可辩驳的，从而做出结论说量子力学对物理实在的描述是不完备的。
由于贝尔定理引起了人们对定域性（更确切地说是对强定域性）的怀疑，因此EPR论证的力量被大大地削弱了。为了拯救EPR论证，至少有必要对他们的定域性原理形式作一分析，以决定它是等价于我们所说的强定域性呢还是相对论定域性，或者什么都不是。
我们在这里就不作这样的分析了。相反，我们将在不考虑EPR论证的情况下证明他们的结论是正确的。为了证明这一点，我们就来说明在自旋相关实验的场合下，EPR完备性条件意味着预言完备性的弱式形式。既然已经证明后者不再适用，那么前者必然不再成立。
为了证明EPR完备性意味着预言完备性，我们把EPR定义应用于自旋相关实验。令自旋为1/2的粒子对处于总自旋为零的单一态中。假设测量仪器的
如果状态描述是EPR完备的，那么它就必须对每一实在元素即粒子L和R的每一自旋分量作出预言。因为这些参数就是体系之可观测量的总和，故这样的状态描述是决定论性的。我们已经指出决定论性状态描述必然具备预言完备性，故至此我们已经证明对于自旋相关实验来说，EPR完备性意味着预言完备性。同样明显的是，预言完备性条件比起EPR完备性来要弱得多，因为方程（4）对于纯粹的几率性状态描述也是成立的。这种状态描述不对实在元素的确定值作任何规定。
我们通过证明量子力学状态描述不满足预言完备性之弱式的但却更为普遍的性质，从而说明了EPR的结论是正确的，这个结论就是量子力学状态描述是不完备的。然而EPR确信完备的状态描述是可能的，而贝尔定理的意义及本文的分析则恰恰相反。因为我们已经看到，任何满足简单定域性和预言完备性的可以想象的状态描述（在前几节中由λ表示）都将服从贝尔型不等式，而无论是量子力学还是实验结果都违反贝尔型不等式。所以从某种意义上说，“不完备性”乃是自然界的属性。
结论
我们已经证明强定域性即推导贝尔定理及其推广式时所用的定域性，在逻辑上等价于简单定域性与预言完备性之总和。简单定域性是自旋相关性测量为了满足相对论对超光速通讯的禁止而必须遵守的条件。量子力学服从简单定域性，故在量子力学和狭义相对论之间不存在任何矛盾。量子力学违反贝尔型不等式则是由于预言完备性被破坏所造成的。
爱因斯坦，波多尔斯基和罗森所引入的完备性概念强于并且包含预言完备性。因此我们证明了EPR的结论是正确的，这个结论就是量子力学对实在的描述是不完备的，不过这种证明是在不考虑EPR论证的具体细节的情况下进行的。与EPR信念不同之处在于，不仅量子力学的状态描述（在他们的意义上以及在我们的更为普遍的意义上）是“不完备的”，而且任何与量子力学统计预言相符合的状态描述，特别是那些违反贝尔不等式的状态描述都必须是“不完备的”。既然贝尔不等式的违反已经得到实验证实，那么这种“不完备性”从某种意义上说就是自然界的属性。
[Am. J. Phys. 1987，Vol. 55，No. 8]
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* 作者L. E，巴伦坦和J. P. 贾勒特分别系加拿大西蒙。弗雷泽大学物理系教授和美国哈佛大学哲学系教授。——译者