在与既非物理学家、也非数学家朋友的交谈中，我发现，他们常常认为对称性就是意味着某件具有对称两面的东西，比如像一张人脸或一只蝴蝶。这的确也是一种对称，但这只是许许多多种可能存在的对称性中的一个简单例子。
史蒂文·温伯格
当我在上世纪五十年代末第一次开始做研究时，物理学于我似乎处于低迷状态。在过去的十年里，量子电动力学，即关于电子和光及其相互作用的理论曾取得过巨大的成功。随后，物理学家学会了如何以更为空前的精度去计算诸如电子的磁场等的强度。然而，现在我们却遇到了新发现的神秘粒子――μ子和几十种介子和重子――除了在宇宙射线中外，它们大多数在自然界无迹可寻，而我们不得不应付这些神秘的力：将粒子维持在原子核内的强核力和可以更改这些粒子性质的弱核力。我们并无一种理论来描述这些粒子和作用力，当我们尝试一种可能的理论时却发现，要么无法计算其结果，要么当能计算时，会得到像无限大能量或无限大概率这样的荒谬结果。大自然就像是一个对手，似乎有意要对我们隐瞒其主要意图。
同时，我们已经掌握了开启大自然奥秘的有价值的钥匙。自然法则显然是服从于某种对称性的原理，其结果我们可以计算出并与观察结果进行对比，即便没有一个有关粒子和力的详细理论。有的对称性规定某些不同的进程都以同样的速率进行，还规定所有拥有相同质量的不同粒子族的存在。一旦我们观察到这种速率或质量的相等，就可以推断出这种对称的存在，并认为这会给我们对下一步观测应采取的措施，以及可能或不可能的潜在理论提供一个更清晰的思路。这就像在敌人的最高司令部里安插了一名侦探。
1.
在与既非物理学家、也非数学家朋友的交谈中，我发现，他们常常认为对称性就是意味着某件具有对称两面的东西，比如像一张人脸或一只蝴蝶。这的确也是一种对称，但这只是许许多多种可能存在的对称性中的一个简单例子。
《牛津英语词典》告诉我们，对称性是“由完全类似的部件组成的特性。”一个立方体就是一个极佳的例证。每一个面，每一条边，以及每一个顶点都与别的面、边、顶点相同。这就是为何立方体成了上佳的骰子：如果一个立方体的骰子制成时没有猫腻，则投掷时其六个面的任何一面着地的机会均等。
立方体是正多面体小群――带有平坦表面的立体――的一个例子，它满足对称性要求，即每一个面、每一条边以及每一个顶点应精确地与每个另外的面、边或顶点相同。依此，名为三角形金字塔的正多面体就拥有四个面，每个面是一个相同大小的等边三角形；六条边，在每条边上两个面以相同的角度交会；四个顶点，在每个顶点上三个面以相同的角度汇合(见图示三角金字塔)。
对于五个正多面体，温伯格写道：它们满足对称性的要求，因为其每一个面、每一条边以及每一个角都精确地等同于任一其他的面、边或角……古希腊哲学家柏拉图在其《提迈奥斯》(Timaeus)一书中认为，五个正多面体是由元素组成的体的形状：地球由小小的立方体组成，而火、空气和水都各自由带有四个、八个，以及二十个相同面的多面体构成。第五个正多面体，即有十二个完全相同的面的，柏拉图认为其象征着宇宙。
正是这些正多面体迷住了柏拉图，他了解到[可能从其朋友数学家特埃特图斯(Theaetetus)那里]正多面体只有五种可能的形状。他在《提迈奥斯》一书中认为，这些都是由元素组成的物体的形状：地球是由小小的立方体构成，而火、空气，以及水则各自由带有四个、八个，以及二十个相同面的多面体构成。第五个正多面体，即有十二个完全相同的面的，柏拉图认为其象征着宇宙。对所有这一切，柏拉图并没有提供证据――他写《提迈奥斯》更像是一位诗人而不是一位科学家，而这五种多面体的对称性说明这些元素强烈地带有他诗意般的想象。
正多面体事实上与组成物质世界的原子无关，但它们为审视对称性的方式――一种物理学家特别投缘的方式――提供了有用的示例。对称性就是有关不变性的原则。也就是说，它告诉我们，当我们站在观察点作某些改变――例如，旋转或平移一个对象时，该对象不会改变其外观。我们通过一个有六个完全相同的正方形面的立方体来进一步说明，如果我们以某种方式旋转它，即以平行于立方体边的任何方向旋转90°，它的外观没有发生改变。
所有的这种转变观察点后其特定对象看似相同的集合，被称为是该对象的不变性群。这看似在谈论有关立方体之类的东西时的花里胡哨的做法，往往在物理学中，我们会对不变性群做些猜测并在实验中检验它们，即便当我们知道假设拥有臆测的对称性的对象并不存在。群论――一个庞大而优雅的数学分支，它列出并探究了所有可能的不变性群，并在两本最近出版的《对称性：迈向自然模式之旅(Symmetry:A Journey into the Patterns of Nature)》和《为什么美即真：对称性的历史(Why Beauty Is Truth:A History of Symmetry)》书中，向普通读者作了介绍。
2.
为上世纪五十年代基本粒子物理学提供解决问题出路的对称性并非对象的对称性，甚至也非如同原子般重要的对象本身，而是法则的对称性。自然的法则是遵从了某种对称性，在我们改变我们得以采用某种明确的方法观察自然现象的观察点时，如果该项法则仍然不变的话。我们可以改变我们的观察点而不会改变法则的这样一组特定的方式，就定义了该对称性。
以现代意义精准地告诉我们在各种情况下会发生什么的数学方程来表示的自然法则，首先登台的是由牛顿所创立、作为理解开普勒所描述的太阳系基础的运动和引力定律。一开始，牛顿定律就构成了对称性：我们观察到，要是重新设定我们的时钟，或者改变测定距离的点，或者旋转我们整个的实验室，使它面临着不同的方向，控制运动和引力的定律不会改变它们的形式。
有另一种不太明显的对称，今天我们称其为伽利略不变性(Galilean invariance)，它早在十四世纪即由让·比里当(Jean Buridan)和尼科尔·奥雷姆(Nicole Oresme)所预言：如果我们在一间匀速移动的实验室内观察自然，我们会发现，自然法则不会改变它们的形式。例如，地球高速绕太阳旋转的事实，不会影响我们在地表观察到的物质对象的运动定律。
牛顿和他的继任者将这些不变性原理几乎视为理所当然，以此作为他们理论的固有基础，因此，当这些原理本身成为严肃的物理调查对象时，它就完全是一种曲解。爱因斯坦1905年狭义相对论的关键是对伽利略不变性的一种修正，其动因多少出于物理学家在寻找地球运动对测量光速时三番五次遭到的失败，类似于船的运动对观察到的水波速度所造成的影响。
在一间移动实验室里进行观测则不会改变观察到的自然定律的形式，这在狭义相对论中仍然是正确的。但是，在测定的距离和时间下，这种运动的效应在狭义相对论中是不同于牛顿曾考虑过的。运动造成距离收缩、时钟变慢，而在此情形下光速仍然保持不变，无论观察者的速度如何。这种新的对称性，就是所谓的洛伦兹不变性(Lorentz invariance)，是对牛顿物理学必需而深刻的偏离，包括能量和质量的转换。
一个自旋的核在衰变时释出一个电子，成为其镜像中的倒影。在现实世界中，电子在核自旋的方向上释出（由垂直箭头表示），但在镜像中则是自旋的相反方向，即违反了镜像对称。温伯格写道：“1957年的实验令人信服地显示，电磁力和强核力遵从镜像对称，弱核力却并不遵从。例如，实验显示，这可以在钴核的衰减过程――即弱核力的结果――中根据其在镜像图像中是否以相反方向自旋而区分。”
狭义相对论的出现和成功使二十世纪的物理学家注意到对称性原理的重要。但已纳入狭义相对论的空间和时间的对称性，其本身可能并不会带我们走出很远。可以想象出各种各样的粒子以及符合这些时空对称性的力的理论。幸运的是，人们已经在二十世纪五十年代明白了，不管怎样，自然法则也要遵从其他种类的对称性，即便其并不直接与空间和时间有关。
有4种粒子间相互作用的力：重力、电磁力，以及少有人知晓的弱核力(负责某些类型的放射性衰变)和强核力(在原子核中绑定质子和中子)。在我写作的那段时间，即二十世纪五十年代，现代标准模型的构想尚未出现。在该模型中除引力外的三种已知的力，现已联合在一个单一的理论之中。自二十世纪三十年代以来，人们就知道，有一条未知的定律在支配强核力遵从质子和中子(即组成原子核的两种粒子)间的对称性。
尽管支配强力的方程尚未知道，但对核属性的观察已经揭示，无论这些方程是怎么回事，如果在这些方程中我们用所有代表中子的符号来替换代表质子的符号，它们必须不发生变化，反之亦然。不仅如此，如果我们用代表质子和中子叠加的符号的代数组合来替换代表质子和中子的这些符号，方程也不变。所谓叠加，比如可能有40%的机会是一个质子而60%的机会是一个中子。这就好比用一幅将爱丽丝和鲍勃的照片叠加在一起的图来替换一张爱丽丝或鲍勃的照片。这种对称性的后果之一是两个质子之间的核力不只等于两个中子之间的力――它还与质子和中子之间的力相关。
于是随着越来越多类型的粒子被发现，上世纪六十年代人们发现，这种质子——中子对称性是一个较大的对称群的一部分：不只是质子和中子与这种对称性彼此相关，它们还与其他六个称为超子(hyperon)的亚原子粒子相关。这八种粒子的对称性于是被称为“八正道(the eightfold way)”。所有感受到强核力的粒子都归入同类的对称族，各自拥有8个、10个，或更多个的成员。
但关于这些内部对称还有一些令人费解：与空间和时间的对称性不同，这些新的对称性显然既非通用也不严谨。电磁现象并不遵从这些对称性：质子和某些超子是带电的，中子和其他超子则不。还有，质子和中子的质量相差约0.14%，而和它们的质量与那些最轻的超子相差19%。如果对称性原则是大自然在最深层面上的简单性的一种表示，我们构划出这种仅适用于某些力、甚至还仅仅是近似的对称性，究竟是些什么？
关于对称性的一项甚至更令人费解的发现产生于1956年～1957年间。镜像对称状态，即“我们在镜像中观察到的自然不会改变”这一物理定律的原则，反转了垂直于镜像的距离。也就是说，镜像中看上去在你脑后很远的东西似乎它远在你图像后面，因而远在你的前面。这不是旋转――不存在一种能旋转你的视点的途径(即具有在镜像中和镜像外逆转而非斜向或垂直方向的效应)，像其他的时间和空间对称性，是精确和通用的。1957年的实验令人信服地显示，当电磁力和强核力遵从镜像对称时，弱核力则并不。例如，实验表明，可以在衰变过程――弱核力的结果――中通过其镜像中的图像是否以相反的方向旋转而区分出钴核。
因此，我们有了一个双重之谜：是什么原因导致观察到的现象违背了八正道对称和镜面对称？理论家提出了若干种可能的答案，但如我们将会看到的，这其实是一个错误的问题。
1960年代和1970年代，可能出现于物理学中的对称性处理的概念经历了极大的扩展。近似的质子-中子对称性最初被理解为是刚性的，控制强核力的方程本来应该维持不变，除非我们将质子和中子以在空间和时间处处存在的同样方式相互混合(物理学家对于我在这里所称的刚性对称性使用了“整体性”的形容词多少有点困惑)。
但如果方程服从更高的局域性的对称性，而且如果我们在不同的时间和位置将中子和质子相互组成不同的混合物，方程仍将不变的话会发生些什么？为了实现相互间不同的局部混合而不改变方程，这样一种局域对称性需要采用某种方式在质子和中子相互间施加力。尽管光子(无质量的光粒子)为携带电磁力所需，一种新的无质量粒子――胶子――将为携带质子和中子之间的力所需。希望这种对称性力的理论能以某种方式解释将中子和质子相互保持在原子核中的强核力。
对称性的概念也在一个不同的方向上扩展。理论家在1960年代开始考虑对称性“破缺”的可能性。即，物理学的基本方程可能遵从的对称性或许在观察到的实际物理状态中并不明显。大自然中可能的物理状态表现为物理方程的解。在破缺对称性的情况下，方程的解不遵从方程自身的对称性。
太阳系中行星的椭圆轨道提供了一个很好的例证。方程控制着太阳的引力场，引力场中天体的运动遵从旋转对称――在这些方程中没有什么能将这些天体根据空间的运动方向相区别。柏拉图所想象的环形行星轨道次序也会遵从这种对称性，但在太阳系中实际遇到的椭圆轨道并非是：空间中椭圆点的长轴在定义的方向。
起初普遍认为破缺对称性或许就是对那些少有人知的对称性如镜像对称或八正道等的违背。但这是错误的理解。破缺对称完全不同于近似对称，而将粒子放入像八正道这样的族则毫无用处。
不过，破缺对称性仍有可根据经验进行检查的重要性。由于控制太阳的引力场方程是球面对称的缘故，椭圆行星轨道上的长轴可以指向空间的任何方向。这使得这些轨道对任何违反对称性的小扰动极度敏感，比如其他行星的引力场。例如，这些扰动导致水星轨道的长轴每2 254个世纪摆动约360度。.
在二十世纪六十年代理论家们意识到强核力具有破缺对称性，即所谓手征对称性。手征对称性就像上面提到的质子——中子对称性，只是对称性转换对粒子自旋是顺时针还是逆时针可以不同。这种对称性破缺要求有名为π介子的亚原子粒子存在。π介子在某种意义上是椭圆行星轨道的方向缓慢变化的模拟，正如小扰动可以在轨道方向产生大变化，可以在中子和质子碰撞中以相对较低的能量产生π介子。.
由于上世纪五十年代粒子物理学的糟糕现状，导致在研究途径中引入了局域和破缺对称性。首先，发现电磁力和弱核力受破缺的局域对称性控制(现正在伊利诺伊州的费米实验室以及瑞士CERN新加速器中进行的实验，作为他们的第一个目标，是要弄明白究竟是什么打破了这种对称性)。接下来，发现强核力可用不同的局域对称性来描述。强、弱，和电磁力的合成理论现在我们知道是标准模型，在我们的实验室中观察到的几乎所有的现象都获得了良好的记录。
3.
比起我在这里唠叨这些对称性和标准模型，或其他人提出的超越这些标准模型的对称性，这个题目有着更多的叙述空间。因此，我想从就我所知尚未对普通读者描述的对称性的某个方面开始。当标准模型1970年代初以目前形式面世时，理论家很高兴他们遇到了意想不到的东西。原来标准模型服从某种偶然对称性，在这个意义上，尽管它们不是基于标准模型的精确局域对称性，但它们是标准模型的必然结果。这些偶然对称在早些年产生许多难以理解的东西，并引发了有趣的新的可能性。
偶然对称性的起源，在于下列事实，即可接受的基本粒子理论往往钟情于特别简单的类型。原因是我开始的时候提到的避免无意义的无穷大。在足够简单的理论中这些无穷大可以通过一种称为“重整化”的数学过程消解。在这个过程中，某些物理常数如质量和电荷，被仔细重新界定以便消解那些无穷大的项，而不影响理论结果。在这些被称作是“可重整化的”理论中，只有少数粒子可以在任何给定的位置和时间相互作用，然后相互作用的能量就可以仅遵循一种简单的、有关粒子如何移动和自旋的方式。
长久以来，我们中很多人以为，为了避开难以对付的无穷大，这些可重整化的理论在物理可能性上是唯一的。这构成了一个严重的问题，因为爱因斯坦的引力理论广义相对论，不是一个可重整化的理论。该理论的基本对称性，即所谓的广义协变性(general covariance)，(即是说，无论我们采用何种坐标来描述空间和时间中的事件，方程都具有相同的形式)，不允许任何足够简单的相互作用。
上世纪七十年代，显然在某些情况下不可重整化理论(nonrenormalizable theory)在不致带来荒谬的无穷大的情况下被允许使用了。但是，即使预期这些理论是不可重整化的，这些相对较复杂的相互作用，在正常情况下是如此之弱，以致于物理学家通常可以忽略它们而仍能得到可靠的近似结果。
现在，在洛仑兹不变性和标准模型精确的局域对称性施加的强制约束下，强力和电磁力的最广义的可重整化理论只要求简单，不能太复杂以致违反镜像对称.。因此，电磁力和强核力的镜像对称就是一种偶然，它在基本层面对于用任何对称性来构建大自然无能为力。弱核力不遵从镜像对称，因为不存在它们为何要如此的任何理由。与其询问是什么破缺了镜像对称，我们还不如反问一下，为什么应该有某种镜像对称？现在我们知道了，其原因就是偶然。
质子-中子对称性是以类似的方式解释的。标准模型实际并不适用于质子和中子，而是适用于组成它们的粒子，即夸克和胶子。质子由两类夸克组成，一种称“上”夸克，一种称“下”夸克；而中子则由两个下夸克和一个上夸克组成。这只发生在满足标准模型的对称性的夸克和胶子的最广义的可重整化理论中，可以违背质子-中子对称性的唯一事情是夸克的质量。
上、下夸克的质量并不完全相等――下夸克重量几乎是上夸克的两倍――因为没有任何它们应该相等的理由。但二者的质量都非常小――质子和中子的大部分质量都来自强核力，而非来自于夸克。由于夸克质量可以忽略不计，因此我们就有了质子和中子间的偶然近似对称关系。手征对称性和八正道以同样偶然的方式出现。
所以镜像对称和质子-中子对称以及它们的概括完全不是基本的，只是更深层原理偶然、近似的结果。在某种程度上，这些对称性是我们安插在大自然最高司令部的侦探，我们正在夸大它们的重要性，如同现实的侦探也经常如此自夸。
对偶然对称性的认识并不只是解决了近似对称性的旧困惑，它还开创了令人兴奋的新的可能性。原来有某些在任何理论(只要它将具有相同的粒子和相同的严格局域的对称性作为标准模型)中均不可违反的对称性，它们简单到足以是可重整化的。如果确实有效，这些被称为是轻子数守恒和重子数守恒的对称性，确定中微子(只受弱核力和引力影响的粒子)没有质量，而质子和许多原子核则是绝对稳定的。
现在，基于实验的理由，这些对称性在标准模型出现之前很久就已为人知，通常被认为是完全有效的。但如果它们实际上是标准模型的偶然对称，如同强力的偶然质子-中子对称，那么它们也可能只是近似。正如我刚才所说，我们现在明白，使理论不可重整化的相互作用不是不可能，虽然它们可能是极为薄弱。一旦有人承认这种更复杂的不可重整化的相互作用，中微子不再必须是严格的无质量，而质子也不再具有绝对稳定。
事实上有可能存在不可重整化的相互作用，会给中微子一个极小的质量，其量级为电子质量的万分之一，给质子赋予一段有限的平均使用寿命。尽管质子是如此长寿，物质中典型的质子在今天将最终比宇宙已经拥有的寿命更长得多。近年来的实验表明中微子确实有这样的质量。
正在进行的实验检测到在一年左右的时间里衰变出的极小部分质子，我敢打赌，这些衰变最终将被观察到。如果质子衰变，宇宙最终将仅包含较轻的粒子，如中微子和光子。我们所知道的物质就将消失。.
我会在此对定律而不是对象的对称性感到担心，但有一件事是如此的重要，这就是我们的宇宙。假设我们对尽我们所能见到的、包含亿万星系的、足够大尺度的星空做一次平均，这个宇宙看上去并无优先的位置，也无优先的方向――因为它是对称的。但这个结论太有可能只是一次偶然。
有一种吸引人的理论叫混沌膨胀(chaotic inflation)。根据该理论，宇宙初始时没有任何特殊的空间对称性，处于一种完全的混沌状态。发生在这里或那里的偶然性，使整个宇宙的场有的均匀有的不太均匀。而据引力场方程，这些都是将要经历指数级快速扩张――即我们现在所称“暴胀”――的空间中的补丁，导致了现在的宇宙这样的东西。这些补丁中所有的不均匀都被扩张所抚平。在空间不同的补丁中，自然定律的对称性会以不同的方式打破。宇宙的大部分仍然是混沌的，而充分膨胀只出现在补丁中(在补丁中对称性以正确的途径打破)并可能会出现生命，所以任何正在研究宇宙学的人将会发现自身正处于此类的补丁之中。
所有这一切还完全是一种推测。有观测证据表明，早期的扩张是呈指数的，这种扩张留下了充斥宇宙的微波辐射痕迹，但还没有找到早期混沌的证据。如果混沌膨胀被证明是正确的，那么我们在大自然中观察到的许多现象将被认定为是由于我们位置特殊而造成的偶然。这是一个没法解释的偶然，除非事实证明，它只能发生在这样一个位置上。在这个位置上，其实任何生物都能存活，并不仅限于我们人。
资料来源 The New York Times Book Review
责任编辑 则 鸣
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本文部分内容是本文作者、美国物理学家史蒂文·温伯格(Steven Weinberg)于2009年8月在布达佩斯技术大学有关对称性专题讨论会上的发言。
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时空对称性探索的美学意义
……
伽利略变换立足于绝对时空，绝对时空与绝对时间截然分离。诚然，三维空间是均匀的、又是同性的，一维时间也是均匀的；这些都说明，物质的力学运动过程分别对于空间和时间的依赖关系均蕴含一定的对称性。然而，反映物质之电磁性状的光束不变的事实与伽利略变换相抵牾；爱因斯坦以延拓相对性原理的明智方法解决了这个矛盾，从而使截然分离的空间和时间结合成为四维时空统一体。于是，三维空间的均匀性和各向同性、与一维时间的均匀性结合成四维时空空间（即闵可夫斯基空间）的均匀性和各向同性；显然，这四维空间的对称性高于三维空间和一维时间各自的对称性。而洛仑兹时空变换正是闵氏空间之对称性的集中体现；它反映时空（测量值）取决于物质运动的相对性以及时间与空间之间的相互关联，成为取代牛顿绝对时空观的相对论时空观之数学表述。
闵氏空间是四维“准”欧几里得空间；其“准”字来源于在不同惯性系里保持形式不变的光传播方程，该方程的要旨就是光速不变。在闵氏空间中，时间与空间的三个（直角）坐标的地位相当、彼此相互关联、共同构成四维时空位置矢量，此乃一种洛仑兹矢量；时间与空间坐标都只是该矢量的不同分量罢了。看来，闵氏空间令人满意地显示了时空对称性；爱因斯坦指出，洛仑兹变换并非反映时空对称性的唯一形式，但确为最简洁的形式。除时空位置矢量外，所有力学量和表征物质非力学性质的物理量都是闵氏空间的各阶洛仑兹张量，它们对时空的微商仍然是洛仑兹张量；那末，表示物质种种运动规律的时空微分方程具有洛仑兹时空变换不变性，便是理所当然的；此即爱因斯坦相对性原理的全部涵义。也就是说，狭义相对论已表明，物质在惯性系里的一切运动过程对于时空统一体的依赖关系，蕴含着相当高的对称性。
摘自本刊2000年第6期“时空对称性：经典物理之美学精粹”一文“时空对称性探索的美学意义”章节
作者：沈 葹