用牛顿力学分析舞蹈运动可以深入了解美学的表演，不仅对学生和教师，而且对舞蹈观众也是有价值的。
大多致的舞蹈爱好者——舞蹈演员、教师和观众——认为舞蹈是一种有音乐伴奏的人体运动的纯粹美学表演艺术。他们承认对舞蹈演员的要求是传播舞蹈动作设计师和舞蹈演员设想的看得见的像。很多人也认识到舞蹈欣赏的问题依赖于认识表演好这些运动的困难——使物理上复杂的步子显得平滑而庄重。然而，为了理解表演者面临的这些困难，很少有人进一步分析这些运动的物理过程。为什么某些运动特别困难？有些运动显得违反了基本的物理原理。一个舞蹈演员如何创造这些幻象？舞蹈演员如何利用运动的物理原理来更好地表演，而不是违反它们？
例如，一个舞蹈演员无论如何希望跳离地板，继而开始旋转（比如说tour jeté——即旋转跳跃），角动量守恒定律绝对阻止这样一种运动。然而，对这个运动所遵循的基本原理的了解使得舞蹈演员能够创造一个跳入空中继而旋转的有效幻象。
有一个传统的惧怕，那就是试图以科学来分析这个艺术形式会牺牲舞蹈的美学效果。例如一篇关于pirouettes——即身体在脚趾上的完全旋转或独脚舞会——的报纸舞蹈批评报道，文章的标题是《他想要把芭蕾舞归结为科学》。（当然，这个科学家对这个明显的偏见是没有责任的。）
把舞蹈归结为科学忽视了美学方面和把舞蹈传输给观众的实质。如哲学家苏姗娜 · 兰格（Syzanne Langer）说：
观看一个舞蹈，你不是看呈现在你面前的身体上的东西——到处跑动着或扭动着身体的人；而是看相互作用的展示……但是这些力……不是舞蹈演员肌肉的体力……我们似乎最直接和最信服地感知的力是为我们的知觉而创造；并且仅仅为它而存在。
也有一种感觉认为，科学不能真正应用于美学的艺术形式。纽约市芭蕾舞剧团（New York City Ballet）的一个成员巴特 · 库克（Bart Cook）告诉《舞蹈杂志》说，“当你拒绝物理定律时你创造了自由的幻象”而美国芭蕾舞剧院（American Ballet Theatre）单人舞演员莉莎 · 德里蓓莱（Lisa de Ribère）认为她的天才在于对科学的仔细考察，她说物理原理的了解对舞蹈演员在发展技能上是有帮助的，但是当舞蹈演员在舞台上面对观众时要考虑的最重要的事情是控制她的转动惯量或者在转动中加大她的角动量；在这样的时刻，艺术家的敏感性必须占据一个舞蹈演员的全部注意。
因为专门注意于物理分析可能破坏作为一种艺术形式的舞蹈演出或评价，那么，这样分析的价值在哪里呢？舞蹈演员、舞蹈教师和医务人员现在已经认识到解剖学的知识使得舞蹈演员能最有效和最安全地利用他们的身体。解剖学结构的知识和加于人体运动上的限制的知识有助于极大地发挥个人的才能，防止伤害事件，避免中断许多有指望的舞蹈生涯。在舞蹈运动中，了解肌肉是如何工作的，肌肉和骨骼给予的限制是什么，以及一个舞蹈学生如何能发展这些限制所允许的运动范围，对一个舞蹈教师显然是一个有价值的工具。让我们来考虑grand battement devant——即膝不弯曲地向前大踢。当其保持两脚分开180°时，臀部的结构可以妨碍舞蹈演员作这个演习。好的教师知道教理想的位置和身体的位形，但是承认理想和可能之间的差别。教授舞蹈要在从舞蹈演员中引出最好的可能的技术和承认人类的限制两者之间进行权衡。
物理学和舞蹈
然而，分析舞蹈的物理过程在根本上仍有助于舞蹈演员在创造这个艺术时所使用的技巧。虽然舞蹈演员自己不能完全用物理词汇——如在已知力的作用下通过空间遵从物理定律运动的重物那样来理解，但是他们也决不能无视这些运动方面。按照加利福尼亚大学洛杉矶分校（UCLA）舞蹈系前系主任阿历格拉富勒 · 斯莱德（Allegra Fuller Snyder）的意见：
舞蹈不仅是一种艺术，它也是将脑的两种功能之间的分裂融合起来的一种最有力的工具——将逻辑和直觉结合起来，将分析的理解和感觉的理解结合起来，将全盘的了解和一步一步的思考结合起来。它是涉及人类的经验和概念的根本了解的一种训练。
在舞蹈中物理的作用是如何最好地被说明的呢？舞蹈由运动和线条或位置两者组成，它有动力学和静力学的两个方面。大多数的物理应用和身体对导致运动的力的响应有关。哪一个方面对美学的质量是有贡献的呢？眼睛观看运动和瞬时位置两个方面，但是它们是同时被感知的呢，还是在一个特定时间思想或者强调这一个方面或者另一个方面呢？这个问题经常使我回忆起玻尔的互补原理——即如果我们在同一时间牺牲观察粒子性方面（位置），那么我们才能清楚地观察到一个实体的波动性（运动）。当用眼和思想观察时，或许运动和位置是类似互扑的。
在讨论舞蹈的技巧方面时一个困难的问题是涉及到适当的词汇和术语的使用。像物理和舞蹈如此不同的两个方面之间如何建立起一个联系的基础呢？作为物理学家，我们知道物理学是建立在适当的词汇的精确定义上的。我们企求这些定义是尽可能客观的，以致它们是普遍有用的，不依赖于个人的独特解释的。物理学家对观察的解释可以是不一致的，但是关于词汇的定义，我们依赖一个假定的一致。
从事舞蹈的人用语言表达舞蹈演员个人的身体感觉和运动形成的像、舞蹈教师可以用具有客观定义的话，但是除非学生能把这些话翻译成像，否则这些信息的传递是抽象而无用的。
不同的学生，因其不同的年龄和背景，有不同的水平和理解方式。经常和缺乏成熟的词汇的青年人打交道的舞蹈教师塑造形象靠的是，建立起一个对表演某些运动或维持某些身体位置是如何“感觉”的共同的理解。例如在教学生表演pirouette时，导师可以说“感觉好像你的身体要挤成一个干枯的稻草”。这个像传递了这样的物理概念，“为了表演一个控制的旋转，围绕垂直轴保持紧密的对准。”或者，用更物理的术语来说就是“为了减小对于一个给定的转速所需要的力矩和角动量，请减小你绕垂直轴的转动惯量。”这些说法是相同的；学生的背景决定了“参考系”。
舞蹈演员通常依靠三种方法学习或改进一个特定的运动：在基本运动中边试边改的调整，正确地表演动作的有经验的舞蹈演员的例子以及教师和同等人的教导。教导经常建立在是什么使得运动是“正确”的直觉的感觉之上的。虽然这些传统的学习方法的效力历史的已被很好的证明，现在教舞蹈的改良的技术正变得可以取得。对一个特定的身体位置或身体位形的变化如何贡献于所希望的形式更多的分析了解能够增进教舞蹈的这些技术。
我们能扩展上边所描述的例子，使之包含piroutte的位置。导师可以告诉学生垂直的延伸，当其用头到达天花板时用支持的脚推地板。学生发现强而直的竖直身体使得pirouettes更成功，而有着弱而弯曲的背的舞蹈演员就难以作好pirouettes，物理的分析证明为什么身体位置这些状态有助于作成pirouettes，假如身体是适当地“向上拉”，质量是紧密地靠近转轴，结果减小了转动惯量，因而容许有一个大的转动速率。因此，这样一个位置不仅在美学理由方面是希望的，而且对达到一个合理的转速也是必须的。
虽然很困难的技艺经常为纯粹力量和敏捷所完成，但要把某些运动表演出来的确是不可想象的，而舞蹈演员却用更奥妙的技能创造了这些幻象。对运动进行物理的分析所得到的了解给舞蹈演员或教师一个发展可以创造或增进表演不可能的幻象的技术基础。
的确，观看舞蹈演出的观察者依靠理解物理规律所加的限制和幻象的作用两个方面能够更深刻地评价舞蹈运动。舞蹈运动在观众中常常激起赞叹，不仅因为运动的人形美丽，而且因为舞蹈演员似乎拒绝了自然界施于运动物体上的正常物理限制。适当的物理原理的了解使得观众能够区分可能的和不可能的运动，能够去评价创造了表演不可能的幻象的舞蹈演员的微妙的技能。
有关舞蹈分析的物理原理自然是构成分析任何结实的和柔软的物体运动基础的牛顿运动定律。线动量和角动量守恒，力或力矩与所引起的运动状态的变化间的关系构成我们分析的基础。
舞蹈运动可以按照分析所需要的技巧特征来分类。有些运动主要涉及作为整体的一个物体的竖直或水平运动，在这样的运动中，我们可以忽视转动。我们能用三维中线运动的简单方程来研究这些运动。这个分析导致一些有趣的幻象和技能的认识和了解，诸如在grand jeté——即在大的跳跃中，身体的重量从一支脚抛向另一支脚——中表现水平的浮动。
转动运动需要不同的方法，涉及身体质量是如何分布的，不同类型的运动的不同转轴以及产生转动所需要的力和力矩的来源。最简单的转动运动是Pirouettees（以脚尖立地旋转），但是尚有其它的涉及转动的运动。例如，Entrechates（也是一种芭蕾舞的姿势，在这个运动中，舞蹈演员跃入空中，双脚交叉数次，在空中作剪式运动），涉及绕通过臀部的水平轴的转动。Tours jetés（在这种舞姿中，演员跳起并旋转），涉及绕斜轴的转动。
物理分析能解释演员的个子大小对他们所能表演的运动的影响。大多数舞蹈动作的设计师和教师认识到小个子的演员与高个子的演员有不同的运动方式，但是这个差别的物理基础是什么呢？教师如何避免期望高个子演员做不可能的动作、而舞蹈动作设计师又如何能增大表演者使用他们的不同大小的效应呢？有使纤细的长腿的“平衡术”演员特别适于作平衡动作表演的物理原理没有呢？有没有一种方法、专门为有才能但个头不足的演员设计的动作，使他们在特定的运动和节拍中能胜过高个子的演员？物理的分析能回答许多这些问题。
大越步的“浮动”幻象
舞蹈演员在飞行中能以变化他们的身体位形来创造一种有趣的幻象。有时我们看见一个感人的大越步（grand jeté），在这种舞蹈中演员似乎跳到顶端附近作水平浮动，而不是沿一个抛物弹道，因而不受重力的作用。我们知道，一旦身体离开地板，重心将沿弹道飞行，它是完全由弹道初刻的运动情况所决定的。虽然在飞行中演员可以改变身体的形状和位形——能产生某些幻象的演习——但是不能改变重心的弹道运动。弹道反映一个不变的水平速度和与跳动联系着的竖直运动——最初是减速上升，到某一点上升速度为零，接着便是加速地向下运动了。
的确，在水平飞行中的跳跃比简单地竖直跳跃要跳得高些，因为舞蹈演员能传播一些水平动量成垂直动量。一个极端的情况是撑竿跳高，运动员使用柔软的纤维玻璃竿将水平动量极大地转变为垂直动量。
在大越步中看见的幻象部分地是由于这个简单的事实；身体的垂直运动在跳跃的开始和末了时加快，而在靠近顶端时减慢，上升时垂直速度减小到零，下降时垂直速度则从零开始增加。事实上，身体在空中总时间的一半是消耗在顶端高度的3/4以上。例如，假如在大越步中，重心升高2呎，在空中的总时间约为0.7秒，其一半即0.35秒消耗在顶端的6吋之内。舞蹈演员能操作自己的身体，使得浮动的表现甚至是更强的。
虽然舞蹈演员的重心沿着一个由跳离地板时初始情况决定的弯曲的轨道，但是演员能够移动重心相对于身体的位置。如图中，假设当演员开始跳时重心在腹部，这时两腿和两臂是相当低的。假如当重心已经升到抛物轨道途中时，腿和臂升高，重心将在身体中上升，或许到达胃以上。假如计时是准确的，舞蹈演员的躯干和头实际上将是水平运动的，而重心则在顶峰附近作弯曲的轨道运动。因为观众的眼喜欢盯着演员的头和躯干，舞蹈演员便创造了水平浮动了一会儿的幻象！为了完成这个幻象身体所必需的运动成分，是在跳到顶端时将两腿抬高，理想上要“分平”。在身体重心到达弯曲轨道的顶点时，舞蹈演员必须将腿准时分开，以便产生水平运动最平滑的表现。这样的分开经常是一个生动感人的大越步的关键，但是现在我们看见它不仅是作为一种与跳动本身无关的附加的本事，而且是作为一种直接贡献于这个“浮动”幻象的运动成分。
arabesque旋转
在经典芭蕾舞中，表演得好的arabesque旋转是一个美丽的运动。在这个运动中，舞蹈演员在旋转时用一支腿站立，另一支腿完全向后方延伸。在学习这个运动的学生中，我们能看到一个共同的错误，并且在这个错误流行的后面隐藏着一个有趣的物理原因。
arabesque旋转通常是一个“endedans”旋转，向着支持腿转动。它需要舞蹈演员用双脚在地板上行使力矩，继而把推开的腿抬高向后方伸成水平位置，因此舞蹈演员是看不见的。腿到达水平位置之后，有一个强的倾向要使它降低，如像在grand battement derrière即向后踢的运动中那样。当腿完全延伸到水平位置后，它对于身体的总的转动惯量是一个大的贡献，因而使得角速度变小，因为由最初的力矩所引起的角动量大小是一定的。当腿下落时，更靠近转轴，使转动惯量减小了。这个减小了的转动惯量，增加了角速度，使得转动似乎更容易、更快和更满意。因为降落的腿是在身体后边，舞蹈演员不容易看见它，除非在镜中才能看见。
这时一个有趣的现象发生了。因为角速度已经增加了，有一个增加的离心力离开转动轴倾向于把腿再抛向水平位置！（这里用“离心力”来讨论是合理的，因为演员是在与转动坐标系中感受到的力打交道）。这样，一个舞蹈演员可以经受一个振动，腿抬到水平，下降，继而又抬高，对于一个多重的arabesque旋转可能重复下去。事实上，我们在一些学生中能观察到这样一种振动，这些学生不专心于通过本体感受的知觉——即没有视觉暗示而用思想来确定身体位置的内在知觉——把腿保持固定在arabesque位置。我们可以问是否这个振动腿的同时存在的确不好；或许是舞蹈设计师故意要造成这样一种运动！但是在芭蕾舞中传统的arabesque旋转这个通常感人的运动是用固定在水平位置的姿势腿来理想地完成的。
在什么频率姿势腿会上下振动？这个问题不是一个简单的问题，因为倾向于把腿抛开的离心效应取决于旋转体的角速度；然而，这个角速度取决于姿势腿与竖直线所成的角度。
对这个问题的分析可作一些假定而开始，即把腿模拟为有一定直径的圆柱体，小腿有较小的直径。整个腿在竖直平面上是可以从臀部自由振动的，而转轴则位在支持点（竖直的支持腿的脚）的竖直线上。显然，姿势腿的转动惯量是腿与竖直线夹角的函数。这个转动惯量决定瞬时角速度，瞬时角速度又反过来决定离心力，而这个离心力在与重力作用于姿势腿上的效应相结合中，帮助确定姿势腿与竖直线所成的夹角。为了使得所得到的方程是可解的，我假定总的角动量使腿的平衡角为45°，并假定围绕这个角的振动是很小的。对于一个典型长度的腿，其结果是一个联系着振动频率与转动频率的方程。
对于一个身体大小和重量典型的舞蹈演员，和一个典型的arabesque旋转的角速度，计算给出一个有趣的结果。当演员大约用2秒完成一个完全的旋转时，腿的振动频率等于转动频率。两个频率间的共振可以使得克服振动腿的问题特别困难，因为振动的自然频率使得每转一圈时腿恰恰“蹦跳”一次。好的arabesque位置将发生在身体面向一个方向时，继而当身体回复到那个取向时又再次发生。其间腿是较低的，而演员转动得更快。
前 景
物理学在多少世纪以来就无所不在，而舞蹈自有人类以来就试图通过运动来解释人们的经验。因为物理学讨论运动的性质和起因，为什么这两个领域不更有成果地相得益彰呢？是什么原因使我们没有看见这种情况的变化在地平线上出现呢？
生物力学用之于运动是一个生动的受承认的方面。为什么舞蹈没有与之平行地前进呢？我们的回答在于这样的事实：在运动中表演的质量是可以定量的，而在舞蹈中质量的判断与美学的解释有关。然而，我们现在正在发现，对可用的物理原理的缺乏了解给予舞蹈演员的约束和限制与它给予运动员的限制是以非常相同的方式进行的。舞蹈演员用这种了解能跳得额外高，在tour jeté中旋转得更急剧，或者在tour en láir中能更平稳地着陆，这样的舞蹈演员有更多的工具和更多的灵活性完成美学的目的。
随着舞蹈科学研究的扩大，它能取不同的方向。日益增多的研究人员正在详细地研究特殊的运动，使用诸如高速摄影机和计算机分析等现代化的技术工具。这的确是一个有用的方向，并且这样的研究将形成一个基础，在这样的基础上，教师、演员和其他的研究者能建立起对舞蹈的一个更好的了解，不论是为了纯粹了解的缘故，还是为了舞蹈技术的改进。然而，这样的研究必须辅以物理的分析，它给舞蹈中的运动一个概括的描述。这样一种概述应当包括许多不同运动的定性分析，强调了解基本物理原理的应用，身体怎样善于利用这些物理定律，舞蹈中不同运动和其它类型的人体运动之间存在什么联系等。我们不能只见“树木”，不见“森林”，只研究个别的运动，而不研究广泛的物理上的联系。
扩展舞蹈分析的时候成熟了。舞蹈演员，特别是芭蕾舞演员，在传统上在很年轻的年纪就开始了他们的训练，以至于不能掌握抽象的物理原理并把它们用于人体运动，在他们已经发展了他们分析能力的时候，他们逐渐认为他们的工作好像不是以询问和研究而是更多地以本能、感觉和模仿来学习和推动的一种活动。然而，现在孩子们是在这样一个世界中成长起来的，他们更容易把分析的方法用到各种人类的活动中，从政治到经济，从文学到音乐。人们正在迅速地发现计算机和其它技术工具在广阔领域中对我们知识的贡献的巨大潜力。孩子们越来越容易受到思考的分析方法的影响。有些人将拒绝这些方法，至多是一种对“别人”必须应付的邪恶，有些人将乐于接受和使用这些方法，在这样的两叉中，许多舞蹈演员将看到分析的方法对于创造的和美学艺术的好处吗？
舞蹈教师将日益发现分析的了解能补充现有的技术而不是代替它们。一些学生将很好响应这个方法，有些则不然。但是教师在处理时将有附加的工具用以帮助学生学习舞蹈。
只要有对舞蹈的艺术内容不敏感的舞蹈观众，那么舞蹈将变得太分析化了以及重点将转向运动的完成而不是美学的质量这样的危险就将伴随着我们。但是舞蹈的传统总是足以抗拒这个危险的。也有这样的人，他们对新方法不舒服并被吓倒。当他们看到科学的方法是有用的而不是有害的例子以后，或许这些人将会变得信服起来。那是从事这方面工作的科学家的责任，经常把他们的思想带到地球上去，并且把这些思想联系到真实的有血有肉的舞蹈演员的世界中去。
对学习舞蹈运动的物理分析有兴趣的人如何办呢？现在大多数的这方面的文献是倾向于纯粹的了解，而不是用于改良技术。当更多的人特别是在舞蹈教学中有经验的那些人被卷入时，这些分析将带进舞蹈讲授的传统中。日益增多的专题研究组、会议和刊物将和这些分析打交道。例如《舞蹈运动学》通讯是一个具有广大的报道范围和流通量的非正式刊物。（关于这个刊物的情报读者可以与著者联系。）
我们能以极大的期望看到在舞蹈艺术中由于技术和美学，理性和情感——思想和身体的结合而引起的进步。
[physics Today，1985年第2期]
__________________
* 肯尼思·劳斯（Kenneth Laws）是美国迪肯森（Dickinson）学院的物理教授，同时进行芭蕾舞的研究，和中央宾夕法尼亚青年芭蕾舞团（Central Pennsylvania Youth Ballet）有同样的专业水平。这篇文章是劳斯从他最近的一书，《舞蹈物理学》（The Physics of Dance，1984）中选出的。